福建省厦门六中2013-2014学年高二上学期期中数学理试卷

数 学（理科） 试 卷

满分150分 考试时间120分钟 考试日期：2013.10

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 1.若ab且cR，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A．ab B．acbc C．acbc D．acbc 2. 已知数列an满足：

＜0，

2222an+11=，则数列an是（ ） an2y6A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 不确定 3．如右图所示的不等式的区域为（ ） y2x3 B．y2x3A． y=-2x+3 x+2y-10=0 3x2y100x2y100y2x3y2x3C． D． O 2 4 6 8x2y100x2y100

x104.已知等比数列an的各项均为正数，前n项之积为Tn，若T5＝1，则一定有（ ） A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1 5.若x2且y1，则Mx2y24x2y的值与5 的大小关系是( ) A、M5 B、M5 C、M5 D、不能确定 6．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）

A.能构成直角三角形 B. 能构成锐角三角形 C. 能构成钝角三角形 D.不能构成三角形 7．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）  A. 400米 B. 4003米 C. 2003米 D. 200米

3328．设关于x的不等式xax20的解集为M，若2M，则实数a的取值范围是（ ）

A．(,1] B．(,1) C．[1,) D．(1,) 9．在数列an中，若a11,a2aa12,nn2nN*，则a20（ ） 2an1anan2 第1页

1119 A．17 B．2 C．()19 D．

220210、在R上定义运算:mnm(1n).若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则（ ）

A．1a1

B．0a2

C．13a 22D．31a 22二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如下表：

x

y

3 2 1 4

0

6

1

6

2

4

3 0

4 6

6

20

则不等式axbxc0的解集是___ __________。 ．．

12. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，a4,b43,则角A=________ 13.x＞0，则yx的最大值是________ x2414．在某海域，一货轮航行到M处，测得灯塔P在货轮的北偏东15，与灯塔P相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 （单位：海里／小时）． 15.数列an是各项均为正整数的等差数列，公差dN*，且an中任意两项之和也是该数列中的一项．

m（1）若a14，则d的取值集合为 ； ．．

（2）若a12(mN)，则d的所有可能取值的和为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤）

16．（本题满分13分）

已知等差数列{an}中，若a223,a517， （1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}前n项和Sn的最大值；

（3）设各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn.若b3a8-7,T37,求Tn.

17．（本题满分13分）

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资 人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%， 可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可 能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能 的盈利最大？

18．（本题满分13分）

第2页

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC. （I）求角B的大小；

（II）若|BABC|2,求ABC的面积的最大值。 19. （本题满分13分）

某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯利润总和。

（注：f(n)=前n年的总收入－前n前的总支出－投资额） （1）从第几年开始获利？

（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂； ．．．．．②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂； ．．．．．

问哪种方案最合算？为什么？

20. （本题满分14分）

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2n-1，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和为Tn。

（3）是否存在等差数列{cn}，使得a1cn+a2cn1a3cn2+anc12在，求出cn；若不存在，说明理由

21．(本小题满分14分)

阅读下面给出的定义与定理：

定义：对于给定数列{xn}，如果存在实常数p、q,使得xn+1=pxn+q 对于任意nN都成立，我们称数列{xn}是 “线性数列”．

②定理：“若线性数列{xn}满足关系xn+1=pxn+q，其中p、q为常数，且p≠1，p≠0，则数列{xn

第3页

n1n2对一切n∈N*都成立？若存

q}是1p以p为公比的等比数列。”

（I）如果an2n，bn32n，nN，利用定义判断数列{an}、{bn}是否为“线性数列”？若是，分别指出它们对应的实常数p、q；若不是，请说明理由；

（II）如果数列{cn}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，都有Sn=2cn－3n， ①利用定义证明：数列{cn}为“线性数列”； ②应用定理，求数列{cn}的通项公式； ③求数列{cn}的前n项和Sn 。 线封密 名 姓 ） 题 号答座止 禁 内 线 封 密 级（班 校 学

线封 密

厦门六中2013—2014学年上学期高二期中考试

数学（理科）答题卷

满分150分 考试时间120分钟 考试日期：2013.10

二、填空题（每小题4分，共20分）

11．___ ___ 12．____ ___ 13.___ _____14． ___ 15．_________

三、解答题（本大题共6小题，满分80分）

16．（本小题满分13分） 解：

17. （本小题满分13分） 解：

第4页

18. （本小题满分13分）解：

19（本小题满分13分）解：

第5页

20.（本小题满分14分）解：

21.（本小题满分14分）解： 第6页密封线 密封线 密封线

厦门六中2013—2014学年高二上期中考试数学（理科）参

m+11-10DABBA；BACDC。11.（-2,3）；12. ；13. 1；14. 20(62)；15. 1,2,4,，2-1

a+d23,16．解：（1）设等差数列{an}的公差为d。由a223,a517，得1„„2分

a+4d17,1 第7页

a1=25, 得„3分ana1+n-1d=-2n+27,„„4分 d-2,（2）解法一：由an=27-2n≥0，即n≤13．5．„„5分

∴数列前13项和最大．„„6分，最大值为S13=25×13+

解法二：Sn=25n+

13(131)（－2）=169„„8分 2n(n1)（－2）=－（n－13）2+169．„„„„6分 2由二次函数性质，故前13项和最大，最大值为169. „„„„8分 （3）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q0)

由（I）知an27-2n,a811, b3a8-74,又T37,q1„„„„9分

b1q24,  b1(1q3)1q7.2q2,q,„„„„10分 解得或3（舍去）„„„11分 b11,b9.1y18 bn2n1.Tn2n1.„„„„13分

17、投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目…………………………1分

10xy100.3x0.1y1.8则„„„„„„4分 x0y0Mx0610目标函数为 zx0.5y„„„5分， 作可行域如图„„„.8分

xy10x4............10分即M4，6时，Z140.567万元...........11分 0.3x0.1y1.8y670当x4,y6时Z取到最大值.....12分,答：........13分

18．解：（I）在ABC中，(2ac)cosBbcosC, 根据正弦定理有(2sinAsinC)cosBsinBcosC, 2sinAcosBsin(CB),即2sinAcoBssinA.

„„„„3分

A0,cosB sin 又B(0,),B1, 23.

„„„„5分 „„„„6分

 （II）|BABC|2, |CA|2,即b2.„„„„8分

第8页

根据余弦定理b2a2c22accosB,有4a2c2ac

22 ac2ac（当且仅当ac2时取“=”号）

„„„„9分 „„„„10分

4a2c2ac2acacac,

即ac4,ABC的面积S13acsinBac3, 24„„„„13分

即当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为3.

19．解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，……1' 设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)50n[12nn(n1)4]722n240n72 ……3'

2 （1）纯利润就是要求f(n)0,2n240n720,………………4'

由nN知从第三年开始获利 …………6' 解得 2n18. （2）①年平均利润f(n)36402(n)16.当且仅当n=6时取等号. …………8' nn 故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，…………9' ②f(n)2(n10)2128. 当n=10时，f(n)max128.

故第②种方案共获利128+16=144（万美元），…12'故比较两种方案，获利都是144万美元。 但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案. …………13' 20解：(1)当n=1时，a1=2-1，∴a1=1，…………1'

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1，……3' 又n=1时成立， ∴an=2n-1.…………4' (2)∵bn+1=an+bn，∴bn+1-bn=2n-1. …………5' 从而bn-bn-1=2n-2， bn-1-bn-2=2n-3, ……

b2-b1=1，

以上等式相加，得bn-b1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又b1=2，∴bn=2n-1+1…………7' Tn=b1+b2+…+bn=(20+21+…+2n-1)+n.=2n-1+n. …………9' （3）设存在等差数列{cn}使得a1cn+a2cn1a3cn2+anc12时有a1c1212=1，∴c11；………10'

则n=2时有a1c2+a2c1222=4，∴c12………11' ∴等差数列{cn}的公差d=1，∴cnn………12'

第9页

32n1n2对一切n∈N*都成立，则n=1

设S=a1cn+a2cn1a3cn2+anc1 ∴

2S=1n+（2n-1）2（n-2）+2n-22+2n-112S= 2n + 2（n-1）+22+21（21-2n）n1=2n2……13' ∴2S-S=S=-n+22+2+2 =-n+1-22n-1n2n-1n

∴存在等差数列{cn}且cn=n满足题意。……14'

*21.解：（I）因为an2n,则有an1an2,nN，

故数列{an}是“线性数列”， 对应的实常数p、q分别为1,2.„„„2分

n因为，则有bn12bn , nN b32n

*故数列{bn}是“线性数列”， 对应的实常数p、q分别为2,0„„„4分 （II）①令n=1,S1=2a1－3。∴a1 =3 ，………5分

又n≥2时。Sn+1=2an+1－3(n+1), Sn=2an－3n,两式相减得，an+1 =2an+1－2an－3， 则an+1 =2an+3，n=1时也成立，则an+1 =2an+3，………8分 对应的实常数p、q分别为2，3„„„9分

②按照定理：A=2，B=3，∴{ an+3}是公比为2的等比数列。 则an+3=（a1+3）·2n1=6·2n1，∴an =6·2n1－3 。………12分

－

－

－

6(12n)③Sn3n62n3n6。………14分

12

第10页