八年级数学上册 同步练习第十一章第一节全等三角形 人教新课标版

第一节 全等三角形 一. 教学内容： 全等三角形

1. 什么是全等形和全等三角形？如何表示全等三角形？ 2. 全等三角形有哪些性质？

3. 如何确定全等三角形的对应角、对应边？

二. 知识要点：

1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形.

注：①形状、大小相同；②能够完全重合.

2. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

请同学们准备好一个含60°角的三角板，完成下面的操作：

注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.

3. 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 4. 寻找对应边、对应角的方法、规律 （1）有公共边的，公共边一定是对应边； （2）有公共角的，公共角一定是对应角； （3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.

请你找出下列各图中的对应边和对应角.

三. 重点难点：

1. 重点：全等三角形的性质的运用.

2. 难点：正确地找出全等三角形的对应边和对应角.

【考点分析】

本讲内容在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但全等三角形的性质往往以综合题的形式出现在其它题目当中，因此作为基础内容来讲还是比较重要的.

【典型例题】

例1、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.

分析：先将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B＝∠C，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对

应边.

解：对应角有：∠BAE和∠CAD；对应边有：AB和AC，AE和AD，BE和CD. 评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE≌△ACD”，按字母的对应位置写出对应边：AB与AC，AE与AD，BE与CD；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.

例2、如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC. 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

分析：同学们很容易错选D. 错误的原因是：没有正确识图，把∠FAC和∠EAB误以为也是对应角，从视觉上认为其相等，而没有根据. 解：C

评析：利用掌握的规律确定对应边和对应角. 另外要正确识图，得到相等的边和角，然后利用这些条件再判断其它的线段和角的相等情况. 例3、（2006年广东）如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝__________.

分析：首先在△OBC中，由三角形内角和可知∠OBC＝180°－∠O－∠C＝95°，由△OAD≌△OBC可知∠OAD＝∠OBC＝95°. 解：95°

评析：这类题目主要运用全等三角形的性质和三角形中内角和与外角的知识.

例4、已知△ABC≌△DEF，且AB＝5，S△ABC＝10. 求DE边上的高.

分析：根据全等三角形的性质可知DE＝AB＝5，同时，△ABC和△DEF的面积相等. 利用面积可求出DE边上的高.

解：因为△ABC≌△DEF，所以： DE＝AB＝5，S△DEF＝S△ABC＝10. 设DE边上的高为h，

评析：全等三角形的对应边、对应角相等，面积也相等. 要求三角形一边上的高，我们必须求得这条边的长和它所在三角形的面积.

例5、已知：如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A＝52°，∠B＝31°21′，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长.

分析：根据全等三角形的性质易知AB＝DE＝10cm，∠F＝∠C，而根据三角形内角和定理可求出∠C.

解：因为△ABC≌△DEF，所以AB＝DE＝10cm，∠F＝∠C， 又∠C＝180°－（∠A＋∠B） ＝180°－（52°＋31°21′） ＝96°39′

所以∠F＝96°39′.

评析：目前求线段和角的有关问题往往利用全等三角形的性质求解，在求解的过程中我们要善于将未知问题转化为已知条件来解答.

例6. 如图所示，已知AB＝CD，BE＝DF，△ABE≌△CDF，求证：AB∥CD，AE∥CF.

分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB∥CD，只要∠ABE＝∠CDF，而这两个角是△ABE和△CDF的一对对应角，至于AE与CF的平行，只需∠AED＝∠CFB，这两个角不在△ABE和△CDF中，但却是∠AEB与∠CFD的邻补角. 证明：△ABE≌△CDF，AB＝CD，BE＝DF ∴∠ABE＝∠CDF

∠AEB＝∠CFD（全等三角形的对应角相等） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 而∠AED＝180°－∠AEB ∠CFB＝180°－∠CFD

∴∠AED＝∠CFB（等角的补角相等） 则AE∥CF

评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.

【方法总结】

1. 全等三角形的概念和性质是以后我们证明线段相等和角相等的依据.

2. 在找全等三角形的对应边和对应角的时候，如果图形比较复杂，同学们要学会把全等的三角形从复杂的图形中分离出来的方法，把复杂问题简单化.

3. 无论是平移、翻折、旋转，变化前后的两个图形全等，具有全等图形的所有性质.

【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一. 选择题

1. 下列说法正确的是（ ）

A. 全等三角形是指形状相同的三角形 B. 全等三角形是指面积相等的三角形 C. 全等三角形的周长和面积都相等 D. 所有的等边三角形都全等

2. 如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）

A. 30° B. 50° C. 60° D. 100°

3. （2006年黑龙江）如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）

A. 15° 20° 25° D. 30°

4. 已知△ABC≌△A´B´C´，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A´C´等于（ ） A. 5 6 7 D. 8

5. 如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）

B. C.

B. C.

A. ∠1＝∠2 B. AC＝CA C. ∠B＝∠D D. AC＝BC

6. 如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）

A. △ADC B. △BDC´ C. △ADC´ D. 不存在 7. 下图中，全等的图形有（ ）

A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组

8. △ABC与△DFE是全等三角形，A与D对应，B与F对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）

A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组

二. 填空题

9. 已知△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，则AC的对应边是__________，∠ACB的对应角是__________. 10. 如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.

11. 如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，则∠CAE＝__________°.

12. 如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.

13. 如图所示，△APB与△CPD全等.

（1）相等的边是：AB＝CD，__________，__________； （2）相等的角是：∠A＝∠C，__________，__________；

（3）△APB如何变换得到△CPD？________________________________________. 14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝__________.

三. 解答题

15. 如图所示，已知△ABD≌△ACE，∠B＝∠C，试指出这两个三角形的对应边和对应角.

16. 如图所示，已知△ABC≌△FED，且BC＝ED，那么AB与EF平行吗？为什么？

17. 如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B＝30°，∠ACB＝85°，求△AEC各内角的度数.

18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.

19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°. （1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）

（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？

20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换. 问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并

指出它们相等的边和角.

【试题答案】 一. 选择题

1. C 2. D 3. D 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D

二. 填空题

9. DF，∠DFE 10. 是，2

11. 5 12. ∠OBA，OA＝OC、OB＝OD、AB＝CD

13. （1）BP＝DP，AP＝CP （2）∠B＝∠D，∠APB＝∠CPD （3）以P点为中心旋转180° 14. 27cm

三. 解答题

15. 对应边是：AD与AE，AB与AC，BD与CE；对应角是：∠B和∠C，∠ADB和∠AEC，∠BAD和∠CAE. 16. 因为△ABC≌△FED，BC＝ED（已知），所以∠A与∠F为对应角. 所以∠A＝∠F（全等三角形对应角相等）. 所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. 17. ∠ACE＝85°，∠E＝30°，∠EAC＝65°

18. 因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF. 故BC的质量应等于EF的质量30克. 所以（30－25）克＜AB的质量＜（30＋25）克. 即5克＜AB的质量＜55克. 19. （1）110°（2）70°

20. 把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B点重合，则△ABC与△DEF重合.

相等的边为：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF.

相等的角为：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.