课程教育研究 Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１３年８月 中旬刊 教学・信息 小学数学以线段图建模的类型与特征研究 李媛媛 （内蒙古包头市东方希望小学 内蒙古 包头０１４０３０） 【中图分类号】Ｇ６２３．５ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５—３０８９（２０１３）０８—０１３７—０３ １．交集型线段图 “解决问题”历来是教育研究的重点．但对“解决问题”进行 综合性建模的研究却很缺乏．尤其是突破类型，以图式的模 交集型线段图的主要特征为数量关系之间有重叠部分．如 下图所示： 式化方式反映量之间的本质关系的研究。本文对小学数学问题中 囊 常用的线段图进行归纳与研究。旨在突破具体问题、具体情境的 ．抓住线段图反映数量关系的本质特征，为小学数学教学研 究提供一个研究思路。 解决问题在小学教学中占有重要地位。它是培养学生运用 数学知识解决实际问题能力的重要途径。也是提高学生逻辑思维 能力的重要手段。因此“解决问题”始终是小学数学教学中的重点 问题 但与此同时由于解决问题教学涉及的知识面广。分析推理 过程较复杂，学生学习起来比较困难，因此它又是教学的难点问 题。 一、解决问题“难”的主要原因分析 解决问题中往往涉及一些与生活实践相联系的应用问题。 解决这类问题时。首先需要把生活问题数学化，寻找问题中包含 的数学关系，并用严谨的数学语言进行表达，再用数学方法求得 结果．最后还要还原到最初的生活问题之中。在这个过程中，既需 要有从实际问题中提取数学内容的抽象能力．也需要具有能够用 数学语言表达实际问题的语言能力。而这两点对于小学生而言， 都是正处于发展初期的薄弱点。因此“解决问题是小学生学习的 难点问题”在小学是一个客观存在。 例如．数学语言具有抽象性，这决定了学生必须能对解决问 题中抽象的数学术语和符号进行形象感知，在这个过程中。需要 对它们之间的逻辑关系进行分析。形成自我建构，这导致数学解 题思考强度大。以下面的集合图来说明： 图１ 上图表示的是“非０自然数按约数的个数可分为质数、合数 和１三类”这一概念．学生如果不认识这种特殊表现形式而去观 察、比较质数和合数哪一类所占面积更大：或把集合图割裂开，孤 立地认为质数在左面．合数在右面：或是干脆当成一幅图片来记 忆．就会在理解上偏离语义的本质。 又比如．一个本１元钱．小明买了５个本花了多少元钱？ 这道题对很多学生来说很简单．可以直观求解．但是．若让 他们根据“单价×数量＝总价”来计算出５元．这对他们而言反而 具有相当的难度。 原因就在于小学生正处于具体运算阶段。这一阶段的学生 思维正处于具体、形象思维为主并逐渐向抽象逻辑思维的过渡 期。他们的理解能力有限．从实际问题中抽象出数学关系有一定 难度。 在这种现实存在下，如何采取一种小学生可以理解的方法 突破难点呢？ 考虑到小学生重直观的特点．本文从直观图示的方法入手 试图建立以图示为主的数学模型，以帮助小学生突破难点、走出 困境。 二、线段图建模类型研究 通过研究小学数学中出现的线段图的各种可能情形和分析 小学数学中各种解决问题的题目。发现解决问题的相关题目基本 上可以划归为与交集有关的线段图、与并集有关的线段图和复合 型线段图三种类型。这样就可以将三类线段图作为解决问题的数 学模型，借助线段图的直观性，发现问题中的数量关系，减少思维 难度，促使问题得到迅速解决。 （一）线段图的分类及其特征分析 如果将线段图看作是一个集合．那么数学问题中的各种数 量关系就反映为集合之间的关系．综合考虑小学数学中的应用问 题，可以发现其中主要涉及的数量关系可以通过交集型线段图、 并集型线段图和复合型线段图表现出来。 三 ～…… ……… ． 图２ 图中集合间关系：ＢｕＣ—Ａ＝Ｕ，ＢｎＣ＝Ａ 本类型线段图适合解决重叠类问题。如：一个班有学生４２ 人，参加体育代表队的有３ｏ人，参加文艺代表队的有２５人，并且 每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？ 这个问题的特点是要求重叠部分：这个班两队都参加的有 几个人？全班人数４２人就是整体，看作全集ｕ，参加体育代表队 的３ｏ人和参加文艺代表队的２５人是部分。分别看作集合Ｂ和 ｃ，则Ａ就是所求。它们之间的关系图示为： 黼Ａ Ｌ————ＬＬ 叫 …… ｛— ………一 筠九 图３ 这个图示与原来教学中习惯采用的文氏图表示方法本质相 同（如下图）。 图４ ２．并集型线段图 并集型线段图的主要特征为数量关系之间没有重叠部分， 并且几个部分合并之后恰好就是整体。如下图所示： 矗 封 ＾ ，…—＾ ——～、，～一＾～、 Ⅵ 、 或 图５ 图中集合间关系：ＡｕＢ＝ｕ，ＡｎＢ＝ 或ＡｕＵ＝Ｕ，ＡｎＵ＝Ａ 这一类型的线段图适合解决整体和部分之间关系互求类型 的问题，如已知整体求其中的某一部分，或者已知各部分，求总共 衣多 等等 如：在暑假中。王晓伟抄写了８５个成语．还差５６个才完成老 师的要求，老师要求抄写多少个成语？ 这个问题中老师要求抄的成语数就是整体．它与已知之间 的数量关系可以用线段图表示为： 抄写辐千题整潞个 ————— — — 露瓶 写警争 ・１３７・ 教学・信息 课程教育研究 Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉ０ｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１３年８月 中旬刊 图６ ２２１。再从图中可以看出除数是一倍数。被除数如果减去１１．就正 图中数量关系清晰明确，显然便于问题的解决。 好是除数的５倍．也就是２２１－１１对应的是５＋１－－６倍．１倍就是 ３．复合型线段图 （２２１－１１）÷（５＋１）＝３５，即除数。 ． 复合型线段图的主要特征为综合包含了交集型与并集型线 段图的特征，数量关系表现的较为复杂，需要通过多层次体现。 例３修路队修一条路，第一天修了全程的 ，第二天修了 如下图所示： ３６０米，完成全部修路任务。修路队第一天修了多少米？ ＾ 分析：修路队第一天修全程的｝和第二天修３６０米构成全 一 …… ｜ … ……… 三 一 … … ｒ ～ 部修路任务，并且两者没有重叠部分，因此本题仍然可用“并集型 线段图”表示为： Ｌ……＝＝：：二二 ……一～上…………一：二二二 Ｊ ３ｅａ米 ｒ———＾—＿＿、 ＼—————～ —————Ｊ 图７ 米 图中集合间关系：ＥＵＢ＝Ａ，ＥｕＤ＝Ｃ，ＡＵＥＵＣ＝Ｕ，ＡｎＣＮＥ＝ 图１１ Ｅ 这种图示下的问题，一般涉及两步以上的应用题，需要分步 从图中可以看出３６０米相当于总任务的 。则总任务是 摸清数量关系后解决问题。 ３６０＋ ＝９００（米）。进而可知，第一天修了９００－３６０＝５４０（米）。 如：小涛有５６本书，小玉借走辜，， 剩下的书小红借走睾，ｏ 再 如上三题告诉我们，“并集型线段图”可以作为一个数学模 剩下的书小明借走 ，现在小涛还剩多少本书？ 型，不仅可以解决行程问题，还可以解决工作量等问题，如果把握 它的本质特征，那么它就可以运用到更广的范围之中。 题目中５６本书是全集，三个人分别从不同总数中借走其中 三、建立线段图模型的意义 的一部分．是造成问题解答困难的关键。现在把它们之间的关系 （一）运用线段图可以使已知条件直观呈现 用线段图表示如下： 线段图能比较形象直观地揭示应用题中的条件与条件、条 件与问题之间的关系。把数转化为形，明确显示已知与未知的内 ， 玉１臀建总傲８勺； 小 恤在联系。使隐蔽的数量关系变得明朗化，容易发现隐含的条件。激 … 倍 剁下的 ０活学生的解题思路，是分析和解决“解决问题”的有效途径。 总数 例如：小刚和妹妹二人同时从家去学校。小刚每分钟走９０ 米，妹妹每分钟走６Ｏ米。小刚到学校门口时发现忘记带作业，立 、——— 小玉偌走剿下的 即由原路回家去取，行至离学校１８０米处和妹妹相遇。他们家离 小虹惜建翘＿ｆ舯 学校多远？ 运用画线段图的方法可以发现本题隐含的条件有三个（如 图示）： 图８ 第一个是小刚和妹妹两人一共走了两个全程 即： 显然要想求最后剩余的，就必须分步求出每次剩余书的本 ’稿 蛙 数。 瓣姥 （二）线段图模型应用举例分析——以“并集型线段图”为例 枣聪 并集型线段图主要反映部分与整体的数量关系．并且部分 与部分之间没有重叠关系。如下举例说明。 黛 例１一列火车４小时行驶了４８０千米．平均每小时行驶多 图１２ 少千米？ 第二个是小刚共比妹妹多行了两个１８０米，即： 分析：题目中的总数为４８０千米，按照题意需要平均分为４ ｆ 份，这四份不能有重叠部分。因此本题可以利用“并集型线段图”。 １１８线 作图如下： 赫蜂……… … 。： ＝：：＝ 懿 ４８Ｄ千米 塞 攀捷 图１３ 第三个是同样多的时间内小刚比妹妹多走了两个１８０米。 Ｌ—— —√ （二）运用线段图可以使等量关系显性呈现 ？千米 利用线段图将问题中蕴含的抽象的数量关系以形象直观的 方式表达出来，能够使已知条件和所求问题联系起来，便于揭示 图９ ‘ 它们之间的等量关系，通过形象直观的等量关系，便于列出符合 从图中可以看出把总数４８０千米，平均分成４份。每份就是 题意的算式．有效促进问题的解决。 １小时行驶的路程。用除法计算出４８０＋４＝１２０（千米）即可。 （三）线段图可以开阔学生思维，帮助学生一题多解 例２两个数相除商５余１１．已知被除数、除数、商与余数的 和是２３７．问被除数是多少？ 工地有一堆黄沙，用去了总数的善后，叉运来４８０吨，这时 ３ 分析：根据被除数÷除数：５……１１可知，商是５，余数是１１。 的黄沙相当于原来的８０％，原来有黄沙多少吨？ 要求的被除数＝除数ｘ５＋ｌｌ，也就是说被除数比除数的５倍多 分析：解答此题的关键是求出４８０吨相当于原来黄沙的几 １１．这就是说．除数的５倍以及多出来的１１都是被除数中的一部 （百）分之几？ 分，并且没有重叠．因此本题仍然可用“并集型线段图”表示为： 根据题意画线段图如下：（为了叙述方便．图上的端点和分点 １倍数 分别用Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示） — 除数 用了＝ 被除数 一 ～ ， 、 、 ————— —————— — — ——————————— 々 卜— ——硷＝！ …“ｌＢ ４勘吨 图１０ 由已知条件首先可以算出被除数与除数的和是２３７—５—１１＝ ・１３８＂ 课程教育研究 Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１３年８月 中旬刊 教学・信息 高中数学复习课模式的探究 ——《函数与导数的应用》课堂教学设计案例 刘文杰 （青岛市崂山区第一中学山东青岛２６６１００） 【中图分类号】Ｇ６３３．６ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２ｏ９５—３０８９（２０１３）０８—０１３９—０２ 一、教学内容分析 １．任意性与存在性问题的理解： 本节课是高三理科数学二轮专题复习课——函数与导数的 ２．分类讨论思想的应用。 应用。根据高考的热点问题我将《函数与导数的应用》划分为两节 六、教学教具 课。这是第一节课，主要探究两个问题：①任意性与存在性问题； 多媒体幻灯片ＰＰＴ课件 导学案 实物投影仪 ②分类讨论思想的应用。函数与导数不仅在高考中占有重要的 七、教学过程 地位．而且在生活及生产实际中有着广泛的应用。应重点研究。 （一）创设情景。提出问题 二、学生学习情况分析 已知函数ｆ（ｌｘ）＝ｘ ＋ｘ，对任意的ｍ∈［一２，２］，ｆ（ｍｘ一２）＋ｆ（＿ｘ）＜Ｏ恒 这节课是在学生经过了一轮复习，基本掌握了函数与导数 成立．则ｘ的取值范围为——。 的基础上进行研究的。是学生对函数与导数的综合应用的提高。 教师：（采用多媒体ＰＰＴ课件展示问题），请同学们以小组为 任意性与存在性问题和分类讨论思想对学生而言，既是重点又是 单位展开讨论。 难点。 学生：小组合作讨论，解决问题。 三、设计思想 【学情预设：学生可能自行解决不了，教师用多媒体ＰＰＴ课 如何突破这节课的两个重点问题。成为本节课的学习目标。 件展示详解。】 我通过设计的导学案和具有一定思考价值的问题，来激发学生的 【设计意图：用一个实例提出问题，为引出任意性与存在性 求知欲望和持久的好奇心。 问题做准备；同时激发学生学习新知的兴趣。】 在教学中我努力做到以下两点： 教师：用多媒体ＰＰＴ课件展示正确解答过程。 １．在课堂活动中通过互助合作、自主探究，培养学生积极主 （二）师生互动、探究新知（题型分类、深度剖析） 动、勇于探索的学习兴趣。 题型一任意性与存在性问题的考查 ２．在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，且在对话之 【例１】已知函数ｆｉｘ）＝８ｘ ＋１６ｘ—ｋ，ｇ（ｘ）＝２ｘ ＋５ ＋４Ｘ，ｋ为实 后重视总结、反思．力图在培养和发展学生数学素养的同时让学 数。 生掌握研究数学的思想方法。 （１）对任意Ｘ Ｅ【一３，３】，都有ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）成立，求ｋ的取值范围； 四、教学目标 （２）对存在ｘ∈［一３，３】，使ｆ（ｘ）≤ｇ（Ｘ）成立，求ｋ的取值范围； １．理解并掌握任意性与存在性问题的解决方法； （３）对任意Ｘ１，Ｘ２∈【一３，３】，都有ｆ（ｘ ）≤ｇ㈦成立，求ｋ的取值范 ２．会用分类讨论思想解决问题； 围： ３．让学生在数学活动中感受数学思想方法之美，同时通过本 （４）对任意ｘ ∈［一３，３】，Ｘ：∈【一３，３］，使ｆ（ｘ０≥ｇ㈦，求ｋ的取值 节课的学习，培养学生主动学习、合作交流的意识。 范围。 五、教学重点与难点 教师：下面请同学们看导学案上的例１。 ，，●ｌ＇’’’ ，，，●，＇＇＇，’＇●●，＇，＇，＇，’ ，，＇，，＇， ＇，’，Ｉ，＇，，＇，，＇，，，，，，’，，’，，’，，，ｌ＇，＇，＇＇，，，，＇ｌ，，，，，，，，，，， 图１４ 一题多解可以培养学生思维的深刻性、灵活性，有助于开拓 该图中，线段ＡＢ表示原有黄沙，ＢＣ表示用了的黄沙，ＣＤ表 学生的视野，克服墨守陈规的弊端，使学生敢于标新立异，从而有 示运来的黄沙。 助于学生学会创新。 解法１： 显然。归类运用线段图就是指将三类不同的线段图作为三 从线段图的左边看，ＣＤ＝ＡＤ－ＡＣ，由此可以得到：４８０吨相 种数学模型。在解决问题中，不必考虑问题的具体情境及范畴，只 当于原有黄沙的８０％一（卜告） 需关注问题中所反映的数量间的本质关系。这样可以将学生从植 树问题、年龄问题、差倍问题、行程问题等诸多具体情境问题中解 所以可以列式为：４８０＋［８０％一（１一｝）】＝１２ｏ０（吨） 放出来，透过现象看本质，既反映了数学的模式化特征，又教会学 生解决问题时综合思考的思想方法 解法２： 四、结论 从线段图的中间看，ＣＤ＝ＡＢ—ＡＣ—ＢＤ，由此可以得到：４８０ 借助线段图解题，可以化抽象的语言到具体、形象、直观的 吨相当于原有黄沙的［１－（１一｝）一（卜８ｏ％）】，所以可列式为：４８０＋ 图形；可以化难为易，促使判断准确：可以化繁为简，发展学生思 Ｊ 维；可以化知识为能力。使用线段图便于抽象建模，反映数学的模 【１一（１一｝）一（１—８ｏ％）】：１２０ｏ（吨） 式化特征。实践证明，线段图具有直观性、形象性和实用性，如果 Ｊ 学生从小掌握了用线段图辅助解题的方法，分析问题和解决问题 解法３： 的能力将会大大的提高。 从线段图的右边看，ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ。由此可以得到：４８０吨相 参考文献： 当于原有黄沙的 ３一（１—８０％）］［１】戚海行．关于数学课堂“课本阅读”的几个思考．小学数学 ，所以可以列式４８０ ｝一（１— 教与学．２０１ １，３：Ｐ１７—２０ ８Ｏ％）】＝１２０Ｏ（吨） 『２］张兴华．小学数学教学应以儿童学习心理为基础．小学数 解法４： 学教与学．２０１１，１：Ｐ３７—３９ Ｐ４３ 从线段图的两边看，ｃＤ＝ＡＤ＋Ｂｃ—ＡＢ，由此可以得到：４８０ 【３】王化强．线段图在小学数学中的应用．小学数学教与学． 吨相当于原有黄沙的（８ｏ％＋｝一１），所以 ｖＸ￣１］式为：４８０．－（＇８０％＋ ２０１１，３：Ｐ３４ Ｐ４３ ］ ［４］周陈平．寻找隐含条件开拓解题思路．小学数学教与学． ÷一１）＝１２００（吨） ２０１ １，３：Ｐ４６－４８ ［５】朱凯．关于“解决问题”学与教中三个问题的审视与阐释． 答：原来有黄沙１２００吨。 小学数学教与学．２０１ １，４：Ｐ９－１ １ ・１３９・
