2018年湖南省怀化市中考数学试卷(带解析)

A．2018 B．﹣2018 C． D．±2018 2018【解答】解：﹣2018的绝对值是：2018． 故选：A． 　 2．（4分）如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2=（　　） A．30° B．60° C．45° D．120° 【解答】解：∵a∥b， ∴∠2=∠1， ∵∠1=60°， ∴∠2=60°． 故选：B． 　 3．（4分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途径城市和国家最多的一趟专列全程长13000km，将13000用科学记数法表示为（　　） A．13×103 B．1.3×103 C．13×104 D．1.3×104 【解答】解：将13000用科学记数法表示为1.3×104． 故选：D． 　 第1页（共13页） 4．（4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　） A． B． C． D．

【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形， ∴A不符合题意； B、正方体的主视图为正方形， ∴B不符合题意； C、球体的主视图为圆形， ∴C不符合题意； D、圆锥的主视图为三角形， ∴D符合题意． 故选：D． 　 5．（4分）下列说法正确的是（　　） A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式 B．数据2，0，﹣2，1，3的中位数是﹣2 C．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生 D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生 【解答】解：A、调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确； B、数据2，0，﹣2，1，3的中位数是1，错误； C、可能性是99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误； D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000，错误； 故选：A． 　 6．（4分）使𝑥‒3有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3

B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3 【解答】解：∵式子𝑥‒3有意义， ∴x﹣3≥0， 第2页（共13页） 解得x≥3． 故选：C． 　 𝑥+𝑦=2

7．（4分）二元一次方程组𝑥‒𝑦=‒2的解是（　　） 𝑥=0𝑥=0A．𝑦=‒2 B．𝑦=2 {{{𝑥=2C．{𝑦=0 𝑥=‒2D．𝑦=0 {𝑥+𝑦=2①

【解答】解：𝑥‒𝑦=‒2②， ①+②得：2x=0， 解得：x=0， 把x=0代入①得：y=2， 𝑥=0

则方程组的解为𝑦=2， 故选：B． 　 8．（4分）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．相似三角形的面积比等于相似比 C．菱形的对角线相等 D．相等的两个角是对顶角 【解答】解：两直线平行，同位角相等，A是真命题； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题； 菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题； 故选：A． 　 9．（4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则可列方程为（　　） 1008010080A．= B．= 𝑣+30𝑣‒3030‒𝑣30+𝑣

第3页（共13页） {{10080C．= 30+𝑣30‒𝑣10080D．= 𝑣‒30𝑣+30

【解答】解：江水的流速为v km/h，则以最大航速沿江顺流航行的速度为（30+v）km/h，以最大航速逆流航行的速度为（30﹣v）km/h， 10080

根据题意得，， =

30+𝑣30‒𝑣故选：C． 　 𝑘

10．（4分）函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） 𝑥

A． B． C． D．

𝑘

【解答】解：∵当k＞0时，y=kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、𝑥三象限， 𝑘

当k＜0时，y=kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限， 𝑥∴B正确； 故选：B． 　 二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上) 11．（4分）因式分解：ab+ac=　a（b+c）　． 【解答】解：ab+ac=a（b+c）． 故答案为：a（b+c）． 　 12．（4分）计算：a2•a3=　a5　． 【解答】解：a2•a3=a2+3=a5． 故答案为：a5． 　 13．（4分）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号

第4页（共13页） 3

1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是　　． 53

【解答】解：摸出的小球标号为奇数的概率是：， 5

3

故答案为：． 5　 14．（4分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　1　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴22﹣4m=0， ∴m=1， 故答案为：1． 　 15．（4分）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　10　． 【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°， ∴多边形的边数为360°÷36°=10． 故答案为：10． 　 16．（4分）根据下列材料，解答问题． 等比数列求和： 概念：对于一列数a1，a2，a3，…an…（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即

=q（常数），那么这一列数a1，a2，

𝑎𝑘‒1

𝑎𝑘

a3，…，an，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比． 例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和， 解：令S=1+3+32+33+…+3100 则3S=3+32+33+…+3100+3101 3101‒1

因此，3S﹣S=3101﹣1，所以S= 2

第5页（共13页） 即1+3+32+33…+3100=

3101‒12

52019‒1

仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为　　 4【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52017+52018 则5S=1+5+52+53+…+52017+52019 52019‒1

因此，5S﹣S=52019﹣1，所以S=． 452019‒1

故答案为：．． 4　 三、解答题（本大题共8小题，共86分) 1

17．（8分）计算：2sin30°﹣（π﹣2）0+|3﹣1|+（）﹣1 2

1

【解答】解：原式=2×﹣1+3﹣1+2 2=1+3． 　 3𝑥+3≤2𝑥+7①

18．（8分）解不等式组5(𝑥‒1)＞3𝑥‒1②，并把它的解集在数轴上表示出来． {【解答】解：解①得：x≤4， 解②得：x＞2， 故不等式组的解为：2＜x≤4，　 19．（10分）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长． 第6页（共13页） 【解答】证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C， ∠𝐴=∠𝐶

在△ABE与△CDF中𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∠𝐵=∠𝐷∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点， 1

∴ED=CD， 2∵EG=5， ∴CD=10， ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10． 　 20．（10分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． （1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21； （2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470， 所以函数解析式为：y=20x+1470； （2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量， ∴21﹣x＜x， 解得：x＞10.5， 又∵y=20x+1470，且x取整数， ∴当x=11时，y有最小值=1690， ∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690

第7页（共13页） {元． 　 21．（12分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了　100　名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为　36°　； （4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%=100名， 故答案为：100； （2）“民乐”的人数为100×20%=20人， 补全图形如下： （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%=36°， 第8页（共13页） 故答案为：36°； （4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%=500人． 　 22．（12分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D． （1）求扇形OBC的面积（结果保留π）； （2）求证：CD是⊙O的切线． 【解答】解：（1）∵AB=4， ∴OB=2 ∵∠COB=60°， 60𝜋×42𝜋

∴S扇形OBC== 3603（2）∵AC平分∠FAB， ∴∠FAC=∠CAO， ∵AO=CO， ∴∠ACO=∠CAO ∴∠FAC=∠ACO ∴AD∥OC， ∵CD⊥AF， ∴CD⊥OC ∵C在圆上， ∴CD是⊙O的切线 　 第9页（共13页） 23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线． （1）请你添加一个适当的条件　AD=BC　，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若

AE=4，sin∠AGF=4

5

，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为： 证明：∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：AD=BC； （2）作出相应的图形，如图所示； （3）∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠AEB=90°， ∵AB为圆O的直径，点F在圆O上， ∴∠AFB=90°， ∴∠FAG+∠FGA=90°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠FAG=∠EAB， ∴∠AGF=∠ABE， ∴sin∠ABE=sin∠AGF=4𝐴𝐸

5=𝐴𝐵， ∵AE=4， 第10页（共13页） ∴AB=5， 则圆O的半径为2.5． 　 24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q， 把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

=0𝑝=3

，解得{‒𝑝+𝑞{𝑞=3𝑞=3， 第11页（共13页） ∴直线AC的解析式为y=3x+3； （2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）， 作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0）， ∵MB=MB′， ∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变， ∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在． 过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2， ∵直线AC的解析式为y=3x+3， 1

∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 3把C（0，3）代入得b=3， 1

∴直线PC的解析式为y=﹣x+3， 3

7

𝑦=‒𝑥+2𝑥+3𝑥=720𝑥=031解方程组，解得𝑦=3或20，则此时P点坐标为（3，9𝑦=‒𝑥+3

3𝑦=

9

{2

{{）； 1

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 3

11

把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣， 33

11

∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣， 3310

𝑦=‒𝑥+2𝑥+3𝑥=10𝑥=‒1311解方程组，解得𝑦=0或13，则此时P点坐标为（3𝑦=‒𝑥‒

33𝑦=‒

9

{2

{{第12页（共13页） 13，﹣）， 9

7201013

综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）， 3939

第13页（共13页）