维普资讯 http://www.cqvip.com 第８卷第４期 解放军理工大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．８ Ｎｏ．４ ２００７年８月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＰＩ Ａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ａｕｇ．２００７ 文章编号：１００９—３４４３（２００７）０４—０３２０—０４ 一种改进的ＲＳ码代数软判决译码算法 郑学强 ，程云鹏 ，沈 良 ，赵 波。，周晓兰。 （１．解放军理工大学通信工程学院，江苏南京２１０００７；２．海军航空工程学院青岛分院，山东青岛２６６０４１； ３，总参军训和兵种部自动化工作站，北京１０００８５１） 摘 要：为了提高Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ码的纠错性能，分析并给出了能提高Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ码纠错能力的代数软 判决译码算法的译码流程，讨论了译码中需要的软信息的计算方法，推导了代数软判决译码算法的译码成功 条件。在此基础上，提出了一种改进的代数软判决译码算法，并对改进算法的运算量和译码时延进行了分析。 算法针对推导的译码成功条件，通过改变代数软判决译码算法中插值算法的选择输出准则，更有效地利用了 接收端的软信息。仿真结果表明，在译码时延基本不变的条件下，提出的算法比代数软判决译码算法提供更 多的译码增益。 关键词：ＲＳ码；代数软判决译码；软信息；多项式插值；分解因式 中图分类号：ＴＮ９１１．２２ 文献标识码：Ａ ｍｐｒｏｖｅｄ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ ＺＨＥＮＧ Ｘｕｅ—ｑｉａｎｇ ，ＣＨＥＮＧ Ｙｕｎ—ｐｅｎｇ ，ＳＨＥＮ Ｌｉａｎｇ ，ＺＨＡＯ Ｂｏ ，ＺＨＯＵ Ｘｉａｏ—ｌａｎ。 （１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＰＬＡ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｓｃｉ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１０００７，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｑｉｎｇｄａｏ Ｂｒａｎｃｈ ｏｆ Ｎａｖａｌ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０４１，Ｃｈｉｎａ； ３．Ｃｏｍｍａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｗｏｒｋｓｔａｔｉｏｎ，Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｔｒａｉｎｉｎｇ＆Ａｒｍｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ， Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｔａｆｆ Ｈｅａｄｑｕａｒｔｅｒｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００８５１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ—ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ，ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅ ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｏｆｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎｄｉｓｐｅｎｓａｂｌｅ ｔｏ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｄｅｄｕｃｅｄ．Ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｌ— ｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｈａｎｇｅｄ ｔｈｅ ｏｕｔｐｕｔ ｒｕｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｍａｋｅ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｓｏｆｔ ｂｉｔｓ ｉｎｆｏｒｍａ— ｔｉｏｎ ｍｏｒｅ ａｄｅｑｕａｔｅｌｙ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｕｓｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅ— ｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｈｉｇｈｅｒ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｇａｉｎ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｓａｍｅ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｔｉｍｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ；ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ；ｓｏｆｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎｔｅｒｐｏｌａ— ｔｉｏｎ；ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ 收稿日期：２００６一ｌ２一ｌ２． 作者简介：郑学强（１ ９８１一），男，博士生． 联系人：沈 良，教授；研究方向：短波通信、数字信号处理、 软件无线电和移动通信等；Ｅ—ｍａｉｌ：ｓｈｅｎｌｉａｎｇ＠ｌｊｌｓ． ｎｅｔ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 郑学强，等：一种改进的ＲＳ码代数软判决译码算法 ３２１ １９４８年Ｓｈａｎｎｏｎ在他的论文“通信的数学理 论”中提出了著名的信道编码定理，开创了纠错码这 一研究领域。ＲＳ码是由里德（Ｒｅｅｄ）和索洛蒙 （Ｓｏｌｏｍｏｎ）应用ＭＳ多项式于ｌ９６０年构造出来的。 ＲＳ码有严谨的代数结构，既能够纠正突发错误又能 够纠正随机错误。目前，ＲＳ码在空间通信、磁记录 设备及数字音视频传输等领域获得了广泛的应用。 ＲＳ码的硬判决译码算法易于实现但性能较差。 利用软信息译码可以获得额外的性能增益，因此研 究有效的ＲＳ码软判决译码算法具有越来越重要的 意义。在所有的软判决译码算法中，最大似然译码算 法性能最好，但它却是一个ＮＰ问题［１］。其他的软判 决译码算法都是性能和复杂度的折中，比如ＧＭＤ 算法和Ｃｈａｓｅ算法。ＧＭＤ算法易于实现但译码性 能较差 ］；Ｃｈａｓｅ一Ⅱ算法性能较好但复杂度太高。。］。 将Ｃｈａｓｅ和ＧＭＤ算法结合的ＣＧＡ算法较好地综合 了二者的优缺点，但实现复杂度仍然很大Ｌ４］。ＲＳ码 的代数软判决译码算法ｌ－５ 把译码问题转化为曲线拟 合问题，将ＲＳ码的纠错能力由（ —ｋ）／２提高到 ｎ一 是。其中，ｎ—ｑ一１为码长，ｋ—Ｋ为信息位长 度，有效扩展了ＲＳ码的纠错能力 ］。代数软判决译 码算法的研究Ｌ７叫 已成为ＲＳ码软判决译码的研究 热点之一。 本文针对代数软判决译码算法的译码成功条 件，通过改变代数软判决译码算法中插值算法的选 择输出准则，提出了一种改进的代数软判决译码算 法。在译码时延基本不变的条件下，该算法的译码性 能明显优于文献［６］中的代数软判决译码算法。 １ ＲＳ码的代数软判决译码算法 ＲＳ码的代数软判决译码算法基于插值算法和 分解因式算法，充分利用了ＲＳ码的代数结构，突破 了一般的硬判决译码的纠错极限。主要的译码流程 如图１所示。 Ｈ莲辇霹Ｈ 孽Ｈ菡篓Ｈ蠢蓄 图１ ＲＳ码代数软判决译码流程 Ｆｉｇ．１ Ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ 代数软判决译码算法主要步骤如下： （１）软信息计算。假设发送符号为 接收符号 为 ，则软信息为可信度 ． 一Ｐｒ（嘶Ｉ ），对硬判决 译码来说就是选择可信度矩阵中每一列中对应最大 ， 的嘶作为判决结果。 （２）计算重度矩阵Ｅ 。根据可信度矩阵计算重度 矩阵Ｍ，使得码字ｃ的分数ＳＭ（ｃ）尽可能的大。 （３）插值运算。插值运算就是根据重度矩阵和初 始点产生一个（１，ｋ一１）权重 最小的二元插值多项 式Ｑ（Ｘ，ｙ），使得产生的插值多项式要通过每个插 值点，且在该插值点的阶数与重度矩阵中对应的重 度一致。 （４）分解因式。分解因式是在插值运算得到的插 值多项式中提取所需的候选信息多项式厂（ｘ），即找 出插值多项式Ｑ（ｘ，ｙ）中最高次数小于ｋ的因子 厂（Ｘ）。 （５）选择输出。将各个候选信息多项式重新编 码，得到待检验的候选码字；将各个候选码字根据第 一步计算得到的后验概率矩阵选择输出，输出码字 对应的信息多项式即代数软判决译码结果，完成代 数软判决译码。 ２软信息的计算及改进的代数软判决 译码算法 ２．１软信息的计算 在代数软判决译码算法中需要利用软信息译 码，即计算可信度矩阵。而研究讨论代数软判决译码 算法的文献中对此部分的讨论很少，本节以ＡＷＧＮ 信道为例给出了一种计算代数软判决译码所需的软 信息的方法。 以ＡＷＧＮ信道和二进制调制为例，详细讨论软 信息的计算，即如何计算代数软判决译码所需的可 信度矩阵。 由于ＡＷＧＮ信道中的各个码元是互相独立的， 噪声分量是零均值、具有相同方差不相关的高斯随 机变量，故接收符号ｒ是统计独立的高斯变量。假设 接收符号为ｈ则由概率论知识可得 Ｐ（ｒ／１）一 ， （１） －／０）一 ， （２） 将两式相除，应用Ｐ（１／ｒ）＋Ｐ（Ｏ／ｒ）一１，得到比特软 值为 Ｐ（１／，）一 竺）＿。 （３） １＋ｅｘｐ（￣／２ ｒ／ａ ） 对于多进制调制，可以在接收端首先计算比特 软值，然后将比特软值转化为需要的多进制符号软 维普资讯 http://www.cqvip.com 解放军理工大学学报（自然科学版） 第８卷 值；或者直接利用式（４）进行计算 Ｐ（， Ｉ ）一 ｅｘｐ ／一（ 一ｓ ）。＼ 解再利用可信度矩阵选择输出。改进后的具体步骤 √丌 ｌ——］ ～Ｊ （４） 为（第１、２步同§１的代数软判决译码算法步骤（１） （２））： ｋ一１，２，…，Ｎ。 第３步：对经过插值运算的每一个插值多项式 Ｑ（ｘ，ｙ），检查是否满足ｄｅｇ Ｑ（Ｘ，Ｙ）＜ 其中 为接收符号；Ｓ，ｎｋ为发送符号； 。为噪声功率 谱密度。 ２（志一１）Ｃ。若满足再检查是否每一个插值点 ２．２改进的代数软判决算法 首先定义几个变量：向量Ｃ为码字，Ｃ为重度矩 阵 的成本 ，向量 一（ 。 … ＩＪ， ）的分数 ＳＭ（ ）为ＳＭ（ ）一（ ，Ｉｖ］＞。定义二元多项式Ｑ（ｘ， ｙ）的（（ｃＪｘ， ）权重为ｍａｘ｛ｉｗｘ＋ Ｉｑ ≠０｝，定义函 数 △ ． 一 ｃ 一ｍｉｎ｛ ∈ｚ： ＋ （『 ］＿（『 ］＿ ｊ ）＞ ｝。 由文献［６］中的定理３可知，当 ＳＭ（ｃ）＞△ 一１（Ｃ） （５） 时，码字必然在内插后的多项式中，本文不再证明。 因为 Ａ （Ｃ）＜ ２（志一１）Ｃ， （６） 且由函数Ａ （ ）的定义可知 ｄｅｇ１． 一ｌＱ（Ｘ，ｙ）＜Ａ１． 一１（Ｃ）， （７） 所以译码成功的条件为 Ｓ＾ｆ（ｃ）＞ｄｅｇ１． 一１Ｑ（Ｘ，ｙ）。 （８） 为了满足式（８），一般有２种方法，即使得Ｓ－Ⅵ（ｃ） 最大或ｄｅｇⅢ一 Ｑ（ｘ，ｙ）最小。几种计算重度矩阵 的方法都是围绕使ＳＭ（ｃ）最大而进行的；而插值运 算后会选择输出的准则就是使ｄｅｇⅢ一 Ｑ（ｘ，Ｙ） 最小。 插值运算会产生ｂ个二元多项式，其中： ＋ ——— —一 为了满足式（８），一般将ｂ个二元多项式中 ｄｅｇｌ 】Ｑ（ｘ，ｙ）最小的一个输出。ｄｅｇⅢ一１Ｑ（ｘ，Ｙ） 最小的多项式可能不止一个，而且ｄｅｇⅢ一 Ｑ（ｘ，Ｙ） 最小的一个Ｑ（Ｘ，ｙ）的因子中并不一定包含正确的 码字，而此时其他二元多项式Ｑ（ｘ，Ｙ）的因子中可 能含有正确的码字。 为了解决这个问题，通过改变插值算法的选择 输出准则，将原来输出一个二元多项式变为输出多 个；然后对每一个输出的二元多项式均进行因式分 （ ，ｙｉ）都通过该插值多项式，即对所有满足Ｊ ＋ ＜ ”的 、 是否满足 ｌ ＪｌＹ ２ ｑｊ＇￣，ｊ＇２ｘ ｚ … ，， （９） 其中：，”是该插值点在重度矩阵中对应的重度。若 通过上述２项检验就保存该插值多项式，否则就删 掉该多项式。 第４步：将所有通过检验的插值多项式进行分 解因式，并将分解因式后的因子作为候选信息多项 式，然后再根据可信度矩阵对候选信息多项式选择 输出。 ２．３算法运算量分析 代数软判决译码算法的译码复杂度和译码时延 主要取决于插值算法和分解因式算法。文献［７］中指 出，总的译码时延中插值算法占用８３ ，分解因式占 用１７ 。插值算法的运算复杂度为０（Ｃ。），Ｒｏｔｈ— Ｒｕｃｋｅｎｓｔｅｉｎ分解因式算法ｌ＿１ 的复杂度为Ｏ（ｂｋｎ）， 相对于插值算法的运算而言比较小。 算法的改进是在插值运算之后进行的，插值运 算的复杂度仍为０（Ｃ ），插值运算后最多增加６—１ 个插值多项式，即最多增加ｂ一１次分解因式运算， 分解因式的运算复杂度最大为０（６ ｋｎ）。若对通过 检验的插值二元多项式的分解因式进行并行运算， 分解因式运算占用的译码时间不会增加，即改进前 后算法的译码时延基本不变。表１给出了２种算法 的译码运算复杂度和译码时延比较。 表１算法改进前后复杂度和占用时延比较 Ｔａｂ．１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｔｉｍｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ３算法仿真和分析 对代数软判决译码算法和改进代数软判决译码 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 郑学强，等：一种改进的ＲＳ码代数软判决译码算法 ３２３ 算法的译码性能进行了计算机仿真。具体仿真条件 为：信道为ＡＷＧＮ信道；调制方式为ＱＤＰＳＫ调制 方式；使用（７，３，２）和（１５，７，４）ＲＳ码。计算重度矩 阵使用文献［６］中提出的算法Ａ，插值运算使用文献 ［７］中介绍的二项式插值算法，分解因式运算使用文 献［１０］中提出的Ｒｏｔｈ—Ｒｕｃｋｅｎｓｔｅｉｎ分解因式算法。 图２给出了硬判决译码算法与代数软判决算法 的译码性能比较曲线，以及和改进代数软判决译码 算法的译码性能比较结果。从仿真结果中可以看出， 软判决译码的性能明显优于硬判决译码；对（７，３，２） 和（１５，７，４）ＲＳ码，在误符号率 ＝１０ 时，改进的 代数软判决译码算法比原来的代数软判决译码算法 在译码性能上分别提高０．８、０．４ ｄＢ。 褂 ／ｄＢ （ａ）（７，３，２）ＲＳ码 料 Ⅱｕ、 ／ｄＢ （ｂ）（１ ５，７，４）ＲＳ码 图２ ３种ＲＳ码译码方法的译码性能比较 Ｆｉｇ．２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｒｅｅｄ— Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅ ４ 结 语 本文研究了ＲＳ码的一种软判决译码算法—— 代数软判决译码算法。文中给出了代数软判决译码 的具体译码步骤，详细讨论了译码必需的软信息的 计算部分，推导了译码成功的条件，通过改变插值算 法的选择输出准则，提出了一种改进的代数软判决 译码算法。经过ＭＡＴＩ ＡＢ仿真验证，在译码时延基 本不变的情况下，改进的代数软判决译码算法与原 来的算法相比译码性能得到了提高，代价是运算量 略有增加。在可实现代数软判决译码运算量的实际 应用环境中，经过改进的ＲＳ码代数软判决译码算法 具有一定的实用价值。 参考文献： ［１］ ＧＵＲＵＳＷＡＭＩ Ｖ，ＶＡＲＤＹ Ａ．Ｍａｘｉｍｕｍ—ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ ｒｅｅｄ—ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ ｉｓ ＮＰ—ｈａｒｄ［ＥＢ／ＯＬ］． ＥＣＣＣ Ｒｅｐｏｒｔ，ｈｔｔｐ：／ｅｃｃｃ．ｈｐｉ—ｗｅｂ．ｄｅ／ｅｃｃｃ－ｒｅ— ｐｏｒｔｓ／２００４／Ｔｒ０４—０４０／．２００４， ［２］ ＦＯＲＮＥＹ Ｇ Ｄ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｉｎｉｍｕｍ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｃｏｄ— ｉｎｇ －ｌＪ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ， ｌ９６６，ｌ２（２）：ｌ２５一ｌ３１． ［３］ ＣＨＡＳＥ Ｄ．Ａ ｎｅｗ ｃｌａｓｓ ｆｏｒ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｂｌｏｃｋ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｃｈａｎｎｅｌ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｌ，Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃ— ｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｌ９７２，ｌ８（１）：ｌ７０一ｌ８２． ［４］ ＴＡＮＧ Ｈ，ＬＩＵ Ｙ，ＦＯＳＳＯＲＩＥＲ Ｍ Ｐ Ｃ，ｅｔ ａ１．Ｏｎ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｃｈａｓｅ一２ ａｎｄ ＧＭＤ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｎｏｎｂｉｎａｒｙ ｂｌｏｃｋ ｃｏｄｅｓ －ｌＪ］．ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｌｅｔ— ｔｅｒ，２００ｌ，５（５）：２０９—２ｌ１＿ Ｉ－ｓ］ ＧＵＲＵＳＷＡＭＩ Ｖ，ＳＵＤＡＮ Ｍ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ａｎｄ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，１９９９，４５ （６）：ｌ７５７一ｌ７６７． ［６］ ＫＯＥＴＴＥＲ Ｒ。ＶＡＲＤＥＲ Ａ．Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ－ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃ— ｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，２００３，４９（１ １）：２８０９— ２８２５． ［７］ ＧＲＯＳＳ Ｗ Ｊ，ＫＳＣＨＩＳＣＨＡＮＧ Ｆ Ｒ，ＫＯＥＴＴＥＲ Ｒ， ｅｔ ａ１．Ｔｏｗａｒｄｓ ａ ＶＬＳＩ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ ｆｏｒ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ－ ｂａｓｅｄ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｄｅｃｏｄｅｒｓ －ｌＪ］．Ｊｏｕｒ． ｎａｌ ｏｆ ＶＬＳＩ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，３９（１－２）：９３－ ｌｌ１． ［８］ ＧＲＯＳＳ Ｗ Ｊ，ＫＳＣＨＩＳＣＨＡＮＧ Ｆ Ｒ，ＫＯＥＴＴＥＲ Ｒ， ｅｔ ａ１．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ—ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ ｌ，Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２００６，５４（７）：ｌ２２４—１２３５． ［９］ ＫＨＡＭＹ Ｅ，ＭＣＥＬＩＥＣＥ Ｊ．Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｏｆｔ— ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｌｉｓｔ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｅｄ—Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｓｅｌｅｃｔｅｄ Ａｒｅａｓ ｉｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ２００６，２４（３）：４８１—４９０． ［１０１ ＲＯＴＨ Ｍ，ＲＵＣＫＥＮＳＴＥＩＮ Ｒ．Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｅｄ－Ｓｏｌｏｍｏｎ ｃｏｄｅｓ ｂｅｙｏｎｄ ｈａｌｆ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｄｉｓ— ｔａｎｃｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ， ２０００，４６（１）：２４６—２５７． （责任编辑：程群）