管理类联考数学精讲杨晓辉

MBA数学精讲讲义

第一章 总论

一、复习策略

1、MBA考试基础知识体系分为9个模块，模块之间相对，但是每个模块内部知识点联系较为紧密，要从区别与联系入手，形成网状知识体系概念。

2、MBA考试考点集中在特殊知识点上，如数与式中的除法，特殊方程，几何中阴影面积等题目。因此要注重每一章节中较为特殊的知识点，对解题目大有裨益。

3、经过前面两个阶段复习，本阶段重在学习解题技巧，对于基础较为薄弱同学，可以对前两个阶段讲义进行适当复习。 二、解题技巧 （1）特值法 1、设4x5y6z,则使xyz111成立的y值是 ( ) 。 （A）24 (B) 36 (C) 35 (D) 2、若k111 (E ) 以上都不正确 32ab2ca2bc，则k的值为 （ ）。 cba（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E ) 以上都不正确

3、已知

xyxy的值是（ ）。 ，则xy35（A) 8 (B) 6 （C)-4 (D)4 (E)-6 4、n为任意正整数，则nn必有约数（因数）( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)8 5、若abc1，那么

3abc。 （ ）

aba1bcb1cac1（A) -1 (B) 0 （C) 1 (D) 0或1 (E) 1

6、已知

1234ax,则的值为 ( ) axyya3y12(A)1 (B) (C) (D)1 (E)0

33

1

（2）排除法

1、 a、b、x、y是10（包括10）以内的无重复的正整数，那么值是（ ）

ab的最大xy124（A）1 （B）1 （C）2 （D）2 （E）3

3552、多项式f(x)x20003x905x187除以x31的余式是（ ）。

Ax5 Bx5 Cx25 Dx25 (E)以上都不正确

3、11111=（ ）。 .....1212312341234....2006( A) 2005 (B) 4010 ( C ) 2006 (D) 4012 20062006200720074、问题求解）★ 已知ab1，且满足2a2008a30和3b2008b20，则（ ）。 A．3a2b0 B．2a3b0 C．3a2b0 D．2a3b0 E.以上都不正确 例4.05（问题求解）★ 5．甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。 A．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样 B．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样 C．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样

D．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样 E.以上都不正确

13、将40只脚的蜈蚣与有3个头的一种怪虫同在一个笼子中，共有26个头和298只脚，

22

2

若40只脚的蜈蚣有一个头，那么3个头的怪虫有( )只脚。

(A)10 (B)12 (C)14 (D)16 (E)以上都不正确

（3）合理默认

1、三角形底边为8，另外两边之和为10，求三角形面积最大值。

2、已知x,y,z为不相等的实数，且x111yz，则x2y2z2=（ ）。 yzx（A) 1 (B) 2 （C) 111 (D) (E) 2434442222223、ABC的三边长为a,b,c满足abcabbcca则ABC为( ) (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形 (E)无法确定 4、（问题求解）★★ 3x22x2k恒成立，则正数k的取值范围为 ( ) xR,不等式2xx1(A)k2 (B)k2 (C)1k2 (D)k1或k1 (E)0k2

5、已知关于x的一元二次方程x2(m1)x(3m4mn4n2)0有实根，则m,n得值为（ ） 222111 (B)m,n1 (C)m,n1 2221 (D)m1,n (E) 以上答案都不正确

2(A)m1,n6、（问题求解）★★

若实数x,y满足条件：xy2x4y0,则x2y的最大值是 ( )。

22(A)5 (B)10 (C)9 (D)525 (E)252

7、实数x,y满是xy1,则

22xy2的最大值和最小值分别为( )。

xy23

(A)23,23 (B)25,25 (C)33,33

(D)35,35 (E)以上均不正确 （4）条件法（从条件猜答案）

1、若某公司有１０个股东，他们中任意６个股东所持有的股份的和都不少于总股份的50％，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是（ ）

Ａ．25％ Ｂ．30％ Ｃ．35％ Ｄ．40％ E.以上答案都不正确 2、一艘小轮船上午8：00起航逆流而上（设船速和水速一定），中途船上一块木板落入水中，直到8：50船员才发现这块重要的木板丢失，立即掉头去追，最终于9：20追上木板，由上述数据可以算出木板落水的时间是（ ） A.8：50 B.8：30 C.8：25 D.8：20 E.8：15

3、已知a,b,c是ABC的三条边长，并且ac1,若(bx)24(ax)(cx)0有相

同实根，则ABC为（ ）

(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形 （E）以上答案均不正确 4、（问题求解）★ 已知等差数列{an}中，a2a3a10a11,则S12(（A） (B)81 (C)128 (D)192 (E)188 5、（问题求解）★ 设a，b，c均为正数，若

)

cab，则（ ）。 abbccaA．cab B．bca C．abc D．cba (E)以上都不正确

4

第二章 数与式

一、核心知识点

1.1数：MBA考试中，数的运算法则包括加、减、乘、除四则运算，其中以除法为核心。 （1）整除定义：设a、b是任意两个整数，其中b0，如果存在一个整数q,使得等式a=bq成立，则称b整除a，或者a能被b整除，记作ba，此时把b称作a的因数，把a叫做b的倍数。

（2）最大公因数定义：设a、b是任意两个整数，若整数d满足da且db，则称d是a、b的公因数，整数a、b中最大的一个公因数成为最大公因数，记作（a，b），若（a，b）=1则称a，b互质。 （3）最小公倍数定义：设a、b是任意两个整数，若整数d满足ad且bd，则称d是a、b的公倍数，整数a、b中最小的一个公倍数成为最小公倍数，记作[a，b]。整数a、b所有的倍数都是[a，b]的倍数。 （4）质数与合数定义：一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了本身和1以外还能被其他正整数所整除，那么这个数称为合数，1既不是质数也不是合数，除了最小质数2是偶数外，其余质数都是奇数。 （5）质数化定义：将合数分解为全部有质数组成的乘积形式，从大到小排列，可以使用相同的质数，并且这种分解是唯一的。 1.2式：组成代数式的基本元素的数字和字母，其中字母是代表不确定的数字，因而数字的四则运算也适合代数式，并由此产生了不同种类的代数式，因此要正确理解代数式所表示的意义，即其本质还是表示数字之间的运算。所以其核心仍然是除法。

（1）多项式因式分解定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式。注意：必须在指定的数集内分解，通常要求最后结果中的每一个因式均不能在该数集中继续分解。常用方法：十字相乘、求根法。

（2）整除及带余除法：整式F(x)除以整式f(x)的商式为g(x)，余式为r(x)，则有

F(x)f(x)g(x)r(x)，并且r(x)的次数要小于f(x)的次数。当r(x)0(xa)时，

5

此时称F(x)能被f(x)整除，记作f(x)︴F(x)。尤其，当整式F(x)F(x)f(x)g(x)，

除以(xa)的余式为r(x)，则F(x)(xa)g(x)r(x)，故F(a)r(a)（余数定理）。 二、典型例题 （1）性质判定 例1.1（问题求解）★

记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 (E)以上结论都不正确 例1.2 （充分性判断）★ ab0 1（1）ab0，2ab1 （2）a，b是有理数，是无理数，且 ab0.

例1.3 （充分性判断）★ 实数x,y,z中至少有一个大于零 （ ） (1)a,b,c是不全相等的任意实数，xa2bc,yb2ac,zc2ab (2)abbccaxyz0 xyz例1.34（问题求解）★★ 已知x是无理数，且(x1)(x3)是有理数，则

（1）x是有理数 （2）(x1)(x3)是无理数 （3）(x1)是有理数 （4）(x1)是无理数 以上结论正确的有（ ）个.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

6 222

例1.5（问题求解）★★

三个质数之积恰好等于它们和的7倍，则这三个质数之和为 （ ）

（A）11 （B）12 （C）13 （D）14 E. 15 （2）整除计算 例1.6（问题求解）★

从1到100的自然数中，能被3且不能被5整除的数的个数是（ ）个。 (A)25 (B)26 (C)27 (D)28 (E)29 例1.7（问题求解）★★

在一条长3600m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40m原已挖好一个坑。现改为每隔60m立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。 A．50和40 B．40和50 C．60和30 D．30和60 E.以上结论都不正确 例1.8（问题求解）★★ 两个正整数最大公约数为6，最小公倍数为90，满足该条件的数字有多少组？（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 E. 5组 例1.9 （充分性判断）★

.若x和y都是整数，则xy1能被3整除.

(1) 当x被3整除时，其余数为1. （2）当y被9整除时，其余数为8. （3）基本计算

例1.10（问题求解）★★

7

122232425262728292102的值是（ ）。 0123456722222222A．

11222211 B． C． D． E.以上结论都不正确 51515151例1.11（问题求解）★

201020081 ( )。 2(135791113)A、41 B、49 C、1681 D、2401 (E)以上结论都不正确 例1.12（问题求解）★★ 11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234567的值是（ ）。 0.10.20.30.40.50.60.70.80.922981A． B． C． D． (E)以上结论都不正确

81922例1.13（问题求解）★★ 23436383103123（ ） 333333369121518A.82749 B. C. D. (E)以上结论都不正确 274例1.14（问题求解）★★ 设5151的整数部分为a，小数部分为b，则ab5( )。 (A)3 (B)2 (C)1 (D)2 (E)0

（4）因式分解 例1.15（问题求解）★

在实数范围内，将2x4x1因式分解的结果是 。

8 2

例1.16（问题求解）★★

设xaxb是xx5xx1与3x3x14x13x12的公因式，则

2n32n321ab（ ）

(A)-16 (B)-17 (C)18 (D)18 (E)17

例1.17（问题求解）★

如果多项式f(x)xpxqx6含有一次因式x1和x3，则f(x)的另外一个一次因式是( )

32(A)x2 (B)x2 (C)x4 (D)x4 (E)以上结论均不正确

例1.19 （充分性判断）★

二次三项式xx60是多项式2xxaxbxab1的一个因式。 （1）a16 （2）b2 （5）带余除法

例1.20（问题求解）★★ 2432f(x)除以(x1)2的余式是x2，除以(x2)2的余式是3x4，则f(x)除以

(x1)(x2)2的余式是（ ）。

A4x219x12 B4x219x12 C4x219x12 D4x219x12 (E)以上结论都不正确

例1.21（问题求解）★

x2xm能被x5整除，则此多项式也能被下列多项式整除的是 ( )

A. x6 B. x6 C. x4 D. x4 E. x7

9

例1.22（问题求解）★

多项式xaxax1被x1除余2，则实数a等于（ ） (A)1 (B)1或0 (C) -1 (D) -1或0 (E) 1或-1 例1.23 （充分性判断）★

多项式f(x)除以x1所得余式为2 （ ） (1)多项式f(x)除以xx2所得的余式是x5 (2)多项式f(x)除以x2x3所得的余式是x3 （6）分式计算 例1.24（问题求解）★★ 若abc1，那么22322abc。 （ ）aba1bcb1cac1（A) -1 (B) 0 （C) 1 (D) 0或1 (E) 1 例1.25（问题求解）★★ 已知abc0,abc8,则111的值 ( ) abc(A)大于零 (B)等于零 (C)大于等于零 (D)小于零 (E)小于等于零 例1.26 （充分性判断）★ 11x

3(1)2x112x2x12x1(2) 22x1x133（7）绝对值计算 例1.27（问题求解）★★

设yx2x2，则下列结论正确的是（ ）

10

(A)y没有最小值 (B)只有一个x使得y取得最小值

(C)有无穷多个x使得y取得最大值 (D)有无穷多个x使得y取得最小值 (E)以上结论都不正确

例1.28（问题求解）★★

3x22x212xy18y20，则2y3x（ ）

(A) 221414 (B)  (C) 0 (D) (E) 9999

11

第三章 方程、不等式及应用题

一、核心知识点

1.1方程：含有未知数的等式 （1）一元二次方程：

1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：axbxc0 (a,b,c是已知数，a0其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。 22.一元二次方程的解法： （1）直接开平方法 （2）因式分解法（十字相乘法） bb24ac（3）公式法x1,20) 2a(4) 配方法 3.一元二次方程根的判别式（b4ac,a0） （1）0时方程有两个不相等的实数根； （2）0时方程有两不相等的实数根； （3）0时方程没有实数根.

24.一元二次方程根与系数关系（韦达定理）：

ax2bxc0 (a,b,c是已知数，a0)当≥0时，设方程两根为x1,x2则

12

xxbc233，21，x1x2，x1x2,...） x1x2,x1•x2 （如何求：x12x2x1x2aa5. 一元二次方程根的分布问题 （2）三类特殊方程 1、齐次（轮转）方程 2、未知数限定方程 3、绝对值、平方式方程 （3）分式方程

1、定义：分母含有未知数的方程。

2、解法：将分式方程化为整式方程，具体步骤如下： 首先，将方程中各分母按照未知数次数做降幂排序，第二，因式分解求共分母；第三，在方程两边同时乘以共分母，化为整式方程求解；第四，求解出根后进行检验，检验标准，分母不能为0. 1.2不等式

形如axbxc0(0,0,0)(a0)的不等式为一元二次不等式，关于一元二次不等式的最重要的解法就是抛物线法。 1．开口（a0,a0） 2．对称轴(2b) 2a23．与x的交点(b4ac>0,=0,<0)

4.一元二次不等式axbxc0(a0)与相应的函数yaxbxc(a0)、相应的方程axbxc0(a0)之间的关系。

13 222

5.不等式重要应用：求极值（MBA考试中唯一方法）。 1.3应用题

1、应用题的核心：实质是寻找要素与要素之间的关系；表现是列方程与方程求解的过程，在考试中几乎所有的应用题都是都列方程求解的。 2、应用题的分类

在MBA考试主要出现的应用题可以分为以下几种类型： 工程问题；行程问题；浓度问题；分数问题；多元未知数问题。 3、解应用题的基本思路 1）根据题目表达，确定要求的问题，对变量设定未知数； 2）根据条件把数量关系表达出来，即列方程，一般式多元一次或者一员二次方程 3）解方程，计算答案。 二、典型例题 （1）基本方程 例1.1（问题求解）★ b2a2两个不等的实数a和b，均满足方程x3x1，则的值等于（ ）。 ab2A．18 B．18 C．36 D．36 E 以上答案均不正确 例1.2（问题求解）★★

已知m,n是方程x3x10的两个实根，则2m4n6n的值（ ）。

（A) 4 (B) 12 （C) 15 (D) 17 E 以上答案均不正确 例1.3（问题求解）★★

22214

已知x1,x2是方程4x(3m5)x6m0的两实根，且

22x13。 ，则m的值为（ ）

x22（A) 1 (B) 5 （C) 7 (D) 1或5 (E）以上答案均不正确 例1.4（问题求解）★★

设关于x的方程ax(a2)x9a0有两个不等的实数根x1,x2，且x11x2，那么

的取值范围为（ ）。 (A)a2 (B)a2a22 (C)a 57(D)2a0 (E) 以上答案均不正确 11例1.5（充分性判断）★ 已知x1,x2是方程ax2bxc0的两个实数根，且x13x25（其中a,b,c为常数且

4a0)（ ） (1)常数a1,b1 (2)常数bc 例1.6（充分性判断）★★ 对一个一元二次方程xpxq0,其中p,q为已知常数,且方程的两个整数根x1,x2是可以求得的．（ ） (1)甲看错了常数项，解得两根是-7和3 (2)乙看错了一次项系数，解得两根是-3和4 （2）特殊方程 例1.7（问题求解）★

三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为 （ ）

2

15

（A）11 （B）12 （C）13 （D）14 （E）15 例1.8（问题求解）★ 若abc0,2ab2bc2ca。 k，则k的值为（ ）

cab(A)2 (B)3 (C) -2 (D) -3 (E)1 例1.9（问题求解）★

3x22x212xy18y20，则2y3x（ ） (A) 221414 (B)  (C) 0 (D) (E) 9999（3）不等式 例1.10（问题求解）★★ 若某公司有１０个股东，他们中任意６个股东所持有的股份的和都不少于总股份的50％，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是（ ） Ａ．25％ Ｂ．30％ Ｃ．35％ Ｄ．40％ E 以上答案均不正确 例1.11（问题求解）★★ 3x22x2k恒成立，则正数k的取值范围为 ( ) xR,不等式2xx1(A)0k2 (B)k2 (C)1k2 (D)k1或k1 (E) 以上答案均不正确

例1.12（问题求解）★ 设a，b，c均为正数，若

cab，则（ ）。 abbccaA．cab B．bca C．abc

16

D．cba E 以上答案均不正确 例1.13（问题求解）★

已知不等式xaxb0的解集是1x2，不等式xbxa0的解集为（ ）。

22(A)x3 (B)x2 (C)x1 (D)xR (E)x1

例1.14（问题求解）★

不等式2x(2ab)xb0的解集为x1或x2，则ab=（ ）。

（A) 1 (B) 3 （C) 5 (D) 7 (E) 2 例1.15（充分性判断）★ 不等式|x2||x|成立．（ ）

2(1)x1 (2)x1

（4）应用题

例1.16（问题求解）★ 例1.17（问题求解）★★ 甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。 A．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样 B．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样 C．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样 D．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样 E 以上答案均不正确 例1.18（问题求解）★★

17

在一条公路上，汽车A，B，C分别以80、70、50km/h的速度行驶，汽车A从甲站开向乙站，同时车B、车C从乙站出发与车A相向而行开往甲站，途中车A与车B相遇2h后再与车C相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。

A．2010km B．2005km C．1690km D．1950km E 以上答案均不正确 例1.19（问题求解）★★

在实验室密闭容器*培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长 1 倍，它在 20 天内密度增长到 4 百万株/m，那么该细菌密度增长到 313百万株/m 时用了( )天． 4A． 2 B．4 C．8 D．16 E 18 例1.20（问题求解）★ 把浓度为50%的酒精溶液90千克全部稀释为浓度为30%的酒精溶液，需要加水（ ）千克。

A.60 B.70 C.85 D.105 E 以上答案均不正确 例1.21（问题求解）★ 某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。

1 9911C．4月份与2月份产值减少 D．4月份与2月份产值减少

10099A．4月份与2月份产值相等 B．4月份与2月份产值增加E 以上答案均不正确 例1.22（问题求解）★

2005年，我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国内生产总值的d%，乙省人口

18

是全国人口的e%，其生产总值占国内生产总值的f%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）。

A．

cdcedecf B． C． D． E 以上答案均不正确 efdfcfde例1.23（问题求解）★

．甲、乙两种茶叶以x:y（）重量比（混合成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种茶斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x:y等于（ ）。

A．1:1 B．5:4 C．4:5 D．5:6 E 以上答案均不正确

例1.24（问题求解）★

若某单位员工的平均年龄为 45 岁，男员工的平均年龄为 55 岁、女员工的平均年龄为 40 岁，则该单位男、女员工人数之比为( )．

A. 2：3 B. 3：2 C. 1：2 D. 2：1 E 以上答案均不正确 例1.25（问题求解）★

100个学生中，88个有手机，76个有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。

A．25 B．15 C．5 D．3 E 以上答案均不正确 例1.26（问题求解）★★

2．某校有若干女生住校，若每间房4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一

19

间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7 E 以上答案均不正确 例1.27（问题求解）★

蜈蚣与有3个头的一种怪虫同在一个笼子中，共有26个头和298只脚，若40只脚的蜈蚣有一个头，那么3个头的怪虫有( )只脚。

(A)10 (B)12 (C)14 (D)16 (E)18

20

第四章 几何学

一、知识体系回顾 1.1平面几何 (1)平行线

同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁角互补，两直线平行 垂直于同一直线的的两条直线平行 平行于同一直线的的两条直线平行 （2）三角形

两个三角形的全等（ABC≌ABC）

1、 2、 3、

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（边角边） 两角及其家变对应相等的两个三角形全等（角边角） 三边对应相等的两个三角形全等（边边边）

''''''两个三角形的相似（ABC～ABC） 1、 2、 3、

有两角对应相等； 三条边对应成比例

有一角相等，且夹这等角的两边对应成比例

（3）圆

1、连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径. 2、弦到圆心的距离叫做弦心距.

21

3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧；任意一条直径的两个端点分圆成两天弧，每一条弧都叫半圆。

4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；圆心不相同，半径相等的两个圆叫做等圆。

5、顶点在圆心的角叫圆心角；顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角；直径所对的圆周角为直角。

6、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 7、不在同一条直线的三个点可以确定一个圆 8、若圆的半径是r,则面积=r ,周长=2 r. （4）立体几何

1、长方体的表面积为S2(abbcac)，a,b,c分别为长方体的长宽高； 长方体的体积为：Vabc 2、圆柱体的表面积为：S2rl2r ，r为底面圆的半径，l为圆柱体的高； 圆柱体的体积为：Vrl； 3、球体的表面积：S4r； 球体的体积为：V1.2解析几何 （1）点

1、点的坐标化：解析几何本质特点是在几何图形中引入坐标系，使之具有距离的概念。对于平面内任何一点，引入坐标系之后，点P到坐标轴的距离，即其坐标值，就唯一的被

22 22243r； 3

确定了，其确定形式为一组有序的实数，如P（x,y）。 2、点的基本公式

221、两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2)之间的距离为：d(x1x2)(y1y2) 2、两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2)的中点为x1x2y1y2, 22y1y2 x1x23、两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2)所组成的直线的斜率k(2)直线

1、直线的方程化：在平面坐标系中，直线是有一系列点组成的，可以看做一个动点按照一定规律运动形成的轨迹，而这个规律就是x与y的关系，这个关系可以用x与y一次函数表示，即直线的方程。 2、直线方程： 一般式：axbyc0； 斜截试：ykxb 点斜式：yy0k(xx0)或 yy0k xx0（其中斜率代表了该直线与x轴正方向夹角的正切值） 截距式：

xy1，其中a,b分别为x轴、y轴上的截距； abxx1yy1

x2x1y2y1两点式：

3、点到直线的距离：

23

l:axbyc0，点(x0,y0)到直线l的距离为d4、两平行直线之间的距离：

ax0by0cab22

l1:axbyc10,l2:axbyc20，那么直线l1与l2之间的距离为

dc1c2ab22 5、关于直线对称的问题

两点关于直线对称，代表两点到该直线的距离相同，且两点的连线与该直线垂直。 两直线关于直线对称，代表两直线到该直线的距离（或相交）相同，且两直线与该直线夹角相同。

两圆关于直线对称，代表两圆的圆心关于该直线对称，且两圆的半径相同。 （3）圆

1、圆的方程化：在平面坐标系中，圆是有一系列点组成的，可以看做一个动点按照一定规律运动形成的轨迹，而这个规律就是x与y的关系，这个关系可以用x与y二次函数表示，即圆线的方程。其本质是距离公式，即圆的轨迹是所有到圆心距离为半径的点的集合。 2、圆的方程：

一般式：xyaxbyc0；

222标准式：(xx0)(yy0)r

223、直线与圆的关系：

222直线l： ykxb， 圆○：(xx0)(yy0)r，d为圆心(x0,y0)到直线

24

l的距离。

直线与圆相离： dr ； 直线与圆相切： dr； 直线与圆相交： dr 4、圆与圆的关系

圆与圆相离： dRr或者 dRr； 圆与圆相切： dRr； 原与圆相交： RrdRr 典型例题 （1）三角形 例1.1（问题求解）★★ 如图，直角ABC中，C为直角，点E和D、F分别在直角边AC和斜边AB上，且。 AFFEEDDCCB，则A（ ） A．

C

E

第2题图

B D F A  B． C． D． (E)以上答案均不正确

1011例1.2（问题求解）★★

25

该三角形BC边上的中线长是x的函数yf(x)，AB5,AC3,Ax，ABC中中，

则当x在0,中变化时，函数f(x)的取值的范围是（ ）。

A．（0，5） B．（1，4） C．（3，4） D．（2，5 (E)以上答案均不正确 例1.3（问题求解）★

已知两平等平面,之间的距离为dd0，l是平面内的一条直线，则在平面内与直线l平行且距离为2d的直线的有（ ）。 A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 (E)以上答案均不正确 例1.4（问题求解）★★ 如图4，正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点．已知 BD=8 厘米，CE=6 厘米，则 FG=( )厘米． A．13 B．37 C．48 D．７ (E)以上答案均不正确 例1.5（问题求解）★ 等腰⊿ABC中，AB＝AC=3，底边BC＞3,则顶角∠A的取值范围是（ ）。 A、（0，

22） B、（,） C、（,） D、（,） (E)以上答案均不正确

433334B

A

45F30。 例1.6（问题求解）★ ．如图，

C60。 D

。 E第7题图

26

BAFFEBEBCVECD900,ABF300,BFE450,BCE600，且AB2CD，则tanCDE（ ）。

A．

42328652 B． C． D． (E)以上答案均不正确 3836例1.7（充分性判断）★

等腰三角形的面积为82.（ ） (1)等腰三角形两边长为4和6． (2)等腰三角形两边长为3和5． (2)四边形

例1.8（问题求解）★ 如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是 AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。 EA D

BF第9题图 C

1323A． B． C． D． (E)以上答案均不正确 2435例1.9（问题求解）★ 图中，大长方形被平等于边的直线分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（ ）。 A．22 B．20 C．18 D．11.25 (E)以上答案均不正确

12 第9题图 9 15 4 8

27 第10题图

例1.10（问题求解）★★

已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。

A．8 B．10 C．12 D．14 (E)以上答案均不正确 例1.11（问题求解）★★

如图，长方形ABCD由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为A，则正方形EFGH的面积为（ ）。 A．

A 第11题图 AAAA B． C． D． (E)以上答案均不正确

1012148D H F G E C B 例1.12（问题求解）★ 在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点，若AC30，BD36，则四边形ABCD的面积为（ ）。 A．1080 B．840 C．720 D．0 (E)以上答案均不正确 例1.13（问题求解）★

在边长为10的正方形ABCD中，若按图5所示 嵌入6个边长一样的小正方形，使得P，Q，M，N四

28

个顶点落在大正方形的边上，则这六个小正方形的面积之和是（ ）。 A、32

16144 B、30 C、32 D、30 (E)以上答案均不正确 25555例1.14（充分性判断）★

如图，等腰梯形的上底与腰均为x，下底为x+10 , 则x=13。（ ）

(1) 该梯形的上底与下底之比为13:23。 （2）该梯形的面积为216。 x y x-10 （3）圆

例1.15（问题求解）★ 如图所示，小半圆的直径落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB10cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm。 A．10 B．12.5 C．20 D．25 (E)以上答案均不正确

A ME

BN2

F

第15题图

例1.16（问题求解）★在ABC中，AB10,AC8,BC6，过C点以C到AB的距

29

离为直径作圆，该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（ ）。 A．33411 B．4 C．7 D．13 (E)以上答案均不正确 4523例1.17（问题求解）★

如图1，MN是圆O的一条直径，ABCD是 一个正方形，BC在MN上，A,D在圆O上， 如果正方形的面积等于8，则圆O的面积等于（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 (E)以上答案均不正确 例1.18（问题求解）★★ 半圆ADB以C为圆心，半径为1，且CDAB，分别延长BD和AD至E和F，使得圆

弧AE和BF分别以B和A为圆心，则图中阴影部分的面积为 ( )

(A)

21 (B)(12) (C)1 (D)32 (E)以上答案均不正确 222例1.19（问题求解）★ 如图，长方形ABCD中，AB10厘米，BC5厘米，以AB和AD分别为半径作

则图中阴影部分的面积为 ( )

1圆，425125平方厘米 (B)25平方厘米 4225125(C)50平方厘米 (D)50平方厘米

44(A)25

30

(E)以上答案均不正确 例1.20（充分性判断）★

如图17 -8所示，在圆O中，CD是直径，AB是弦，

。 ABCD于M，则AB12厘米（ ）

(1)CD15厘米 (2)OM:OC3:5

（4）立体几何

例1.21（问题求解）★★

一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒，当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯中边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（ ）cm。 A．72 B．96 C．288 D．384 (E)以上答案均不正确 例1.22（问题求解）★

一个圆锥形形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如图所示（单位：dm），若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。 A．6 B．8 C．12 D．16 (E)以上答案均不正确

第22题图

31 2 1 例1.23（问题求解）★

31

一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入该容器中，环境污染的走私等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）。

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm (E)以上答案均不正确

10cm

20cm 13131313第23题图 例1.24（问题求解）★ 一个长方形的对角线长为14厘米，全面积为22平方厘米，则这个长方体所有的棱长之和为（ ）厘米。 A.22 B.24 C.26 D.28 (E)以上答案均不正确 例1.25（问题求解）★ 一个四面体木块的体积是立方厘米，若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的4个“角”（小四面体），则剩余部分的体积是（ ）. A、44立方厘米 B、40立方厘米 C、36立方厘米 D、32立方厘米 (E)以上答案均不正确 例1.26（问题求解）★★

一个封闭透明的正四面体容器内装有水,正四面体的一个面放置在水平桌面时。体内水面

32

高度为四面体高h的值为（ ）

1，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时的水面高度与h的比23332471Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (E)以上答案均不正确

2222（4）点的坐标化 例1.27（问题求解）★ 如果图 2 中四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形 ABCD 的面积等于( )． A．16.5 B．15 C．13.5 D．12 (E)以上答案均不正确 例1.28（问题求解）★ P(a,b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如图所示，则

b的最大值与最小值依次是（ ）。 apqqpqqppA．, B．, C．, D．, (E)以上答案均不正确

mnmnmnmny

（5）直线方程 例1.29（问题求解）★

33

O A(m,p) P(a,b) B(m,q) 第28题图

D(n,p)

C(n,q)

x

直线l与直线2xy1关于直线xy0对称，则直线l的方程是（ ）。 A．x2y1 B．x2y1 C．2xy1 D．2xy1 (E)以上答案均不正确 例1.30（问题求解）★

如果AC0,且BC0,那么直线AxByC0不通过（ ）象限

A 第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 (E)以上答案均不正确 例1.31（问题求解）★★ 2x4(x3)在直角坐标系中，若直线y=kx 与函数y=2(3x3)的图像恰有3个不同的交点，2x8(x3)则k的取值范围是（ ） A、（-∞，0） B、（0,例1.32（充分性判断）★ 下列三条直线l1:4xy4,l2:mxy0,l3:2x3my4不能构成三角形 （1）m2 （2）m2 （6）圆的方程 例1.33（问题求解）★ 过点P0,2作圆xy1的切线PA、PB，A、B是两个切点，则AB所在直线的方程

2222） C、（，2） D、（2,+∞） (E)以上答案均不正确 33为（ ）。 A．x1111 B．y C．x D．y (E)以上答案均不正确 2222例1.34（问题求解）★★

34

设点x0,y0在圆C:x2y21的内部，则直线x0xy0y1和圆C（ ）。

A．不相交 B．有一个交点 C．有两个交点，且两交点间的距离小于2 D．有两个交点，且两交点间的距离等于2 E.以上答案均不正确 例1.35（问题求解）★★ 在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）。 A．14条 B．24条 C．12条 D．11条 (E)以上答案均不正确 例1.36（问题求解）★ 设一个圆P的圆心为P(6,m)，该圆与坐标轴交于A(0,4)、B(0,12)两点，则P到坐标原点的距离是（ ）。 A．213 B．8 C．10 D．102 (E)以上答案均不正确 例1.37（问题求解）★★ 在圆xy6x8y210所围区域（含边界）中，P(x,y)和Q(x,y)是使得取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是（ ）。

22y分别xA．221223421423 B． C． D． (E)以上答案均不正确 5555例1.38（问题求解）★

在平面直角坐标系中，已知两点Acos110,sin110,Bcos50,sin50,则由坐标原

35 

点O到线段AB中点M的距离是（ ）

A.

231 B. C. D.1 (E)以上答案均不正确

222例1.39（充分性判断）★

y14的最大值为

3x2(1)圆O的方程为xy1。 (2)动点P(x,y)在圆O上运动。 例1.40（充分性判断）★ 直线axbyc0被xy1所截的弦长为2。 （1）ab2c0 （2）ab3c0

2222222222

36

第五章 离散数学（数列、排列组合与概率）

一、知识体系回顾 1.1数列 （1）基本数列

如果数列中的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，则称这个公式为通项公式。知道了一个数列的通项公式，就可以求出这个数列中的任意一项。

数列｛an｝的前n项的和记为Sn，即Sn=a1+a2+…+an. （2）等差数列 1、等差数列的通项公式：ana1(n1)d或anam(nm)d； 2、等差数列的前项和公式：Snn(a1an)n(n1)或Snna1d； 223、公差非零的等差数列的通项公式为n的一次函数； 4、公差非零的等差数列的前n项和公式是关于n不含有常数项的二次函数； 5、若mnpq，则amanapaq；特别地，当mn2p时，aman2ap； 6、设Aa1a2...an,Ban1an2...a2n,Ca2n1a2n2...a3n，则有

2BAC; 即Sn,S2nSn,S3nS2n...是等差数列，它的公差为n2d。 （3）等比数列

n1n11、等比数列的通项公式：ana1q(a1•q0)或anamq(a1•q0)；

na1(q1)Sna1(1qn)a1anq2、等比数列的前项和公式：

1q1q(q1)； 

37

3、等比中项：；

4、若mnpq，则am•anap•aq；特别地，当mn2p时，amana2p； 5、设Aa1a2...an,Ban1an2...a2n,Ca2n1a2n2...a3n，则有

B2A•C; 即Sn,S2nSn,S3nS2n...是等比数列，它的公比为qn。

1.2排列组合

（1）基本原理

1、加法原理（分类求和）

如果完成一件事有n类办法，第i个步骤有mi种不同的方法（i=1,2，…n），若不论用哪一类方法中的哪一种方法，都可以完成这件事，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同方法。

2、乘法原理（分步求积）

如果完成一件事需要经过n个步骤，第i个步骤有mi种不同的方法（i=1,2，…n），那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同方法。 （2）排列

1、定义：从n个不同的元素中，任取m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列。所有这些排列的个数，称为排列数，记为或记为或

PmnnnAmn。 当m=n时，即n个不同元素全部取出的排列数，称为全排列，记为

PAnn

由排列定义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素完全相同，而且元素排列的顺序也必须完全相同。

2、排列数公式：记n！=1×2×3×…×n，规定0!=1!=1

P

mn=

nnn！=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）

（n-m）！=n！

P

38

（3）组合

1、定义：从n个不同元素中，任取m个元素（m≤n）不论顺序组成一组，称为从n个不同元素中取出n个元素的一个组合。所有这些组合的个数，称为组合数，记为为（m）。

由组合的定义可知，如果两个组合中所包含的元素相同，则这两个组合相同。 2、组合数公式

nCmn，或记

C组合数有下列性质 1.

mn=n！0 Cn=1 m！（n-m）！CCnm=

n-mn 2. Cm=n1CCnm+m-1n 1.3概率

（1）古典概型及基本公式 做一个实验，事件A出现的可能性的大小，即称为事件A的概率，记为P(A). 定义 做一个实验，若具有以下两个特征： （1）样本空间是由有限个基本事件构成的； （2）个基本事件发生的可能性相等。 则称这种实验为古典概型。 定义 在一个古典概型中，设样本空间是由n个不同的基本事件组成，事件A中包含m个不同的基本事件，则P(A)= （2）事件的性

定义 若事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B相互（两两或）。

(3)伯努利概型

进行n次试验，如果每次试验的条件都相同，且各次试验相互（即每次试验的结果都不受其他各次试验结果发生情况的影响），则称为n次重复试验。

39 m. n

定义 如果某试验的可能结果只有两个：A与A，且P(A)=P>0，p(A)=1-P>0，则称这一试验为贝努利试验。将贝努利试验地重复n次所得到的n次重复试验，称为n重贝努利试验。

定理 在n重贝努利试验中，事件A恰好发生K次的概率为

CnP(1p)二、典型例题 （1）数列

例1.1（问题求解）★★

若将正偶数2，4，6，8，10，12，14，16，……依次排成一行：246810121416…… 则从左向右数的第101个数码是（ ）。

A、1 B、2 C、3 D、4 (E)以上答案均不正确 例1.2（问题求解）★★

在等差数列{an}中，若amn,anm(mn)，则amn( )。

kknk （k=0,1,2….,n）

(A)nm (B)mn (C)mn (D)mn (E)以上答案均不正确

例1.3（问题求解）★★ 在等差数列{an}中，已知S41,S84.设Sa17a18a19a20，则S=（ ）。

(A) 8 (B) 9 (C)10 (D)11 (E)12 例1.4（问题求解）★

7个数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列且奇数项的和与偶数项的积的差

为42，首项、末项、中间项之和27，则中间项为（ ）

40

A -2 B -1 C 0 D 1 E 2

例1.5（问题求解）★

设{an}为等比数列，已知a2a42a3a5a4a625，则a3a5( )。

(A) -5 (B) -4 (C)-3 (D)3 (E)4 例1.6（问题求解）★

设n为正整数，在1与n1之间插入n个正数，使这n2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。 A．(1n) B．(1n) C．(1n)例1.7（问题求解）★ 2若数列{an}中，an0(n1),a11，前n项和Sn满足an2Sn(n2)，则{1}是（ ）

22Sn1Snn2n2n D．(1n) (E)以上答案均不正确

3n(A) 首项为2，公比为1的等比数列 2(B) 首项为2，公比为2的等比数列 (C) 既非等差数列也非等比数列 (D) 首项为2，公差为1的等差数列 2(E) 首项为2，公差为2的等差数列 例1.8（充分性判断）★

1222a12a2a3...an(4n1)

3n（1）数列{an}的通项公式为an2

n（2）在数列{an}中，对任意正整数n，有a1a2...an21

41

例1.9（充分性判断）★

已知数列{an}中，a1a310，则a4的值一定是1. （1）{an}是等差数列，且a4a62 （2）{an}是等比数列，且a4a6（2）排列组合 例1.10（问题求解）★

某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别是48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。

A．8 B．9 C．10 D．12 (E)以上答案均不正确 例1.11（问题求解）★

5种不同的商品在货架上排成一排，其中A,B两种必须连排，二C,D两种不能连排，则不同的排法共有（ ）。 (A)12种 (B)20种 (C)24种 (D)48种 (E)50种 例1.12（问题求解）★ 某班元旦联欢晚会原定的5个学生节目已排成节目单，开始前又增加了两个教师节目，如果将这两个教 师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）。

(A)42 (B)30 (C)20 (D)12 (E)36

例1.13（问题求解）★★

若将10只相同的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则每个盒子不空的投放方法有( )

5 442

Ａ.７２ Ｂ.８４ Ｃ.９６ Ｄ.１２０ (E)以上答案均不正确 例1.14（问题求解）★

1x1x34其中a3的值是（ ）。 ......1xa0a1xa2x2...a50x50，

5044333 BC50 CC51 DC50 E2C50 AC51例1.15（问题求解）★

从１，２，３，４，……２０这２０个自然数中任选３个不同的数，使它们成等差数列，这样的等差数列共有（ ）

Ａ.90个 Ｂ.120个 Ｃ.200个 Ｄ.180个 Ｅ.200个 例1.16（充分性判断）★

m20

（1）有50张3元邮票和30张5元邮票，用这些邮票能组成不同邮资有m种； （2）从1，2,3,4,5,6,7,8,9种任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有m种不同

的选法； 例1.17（充分性判断）★ 现有3名男生和2名女生参加面试，则面试的排序法有24种。（ ） （1）第一位面试的是女生。 （2）第二位面试的是指定的某位男生。 （3）概率

例1.18（问题求解）★

有3张奖券，其中2张可中奖，那3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到

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中奖券的概率是( )。

A1121 B C D E以上都不正确 3632例1.19（问题求解）★

一个袋中有4个珠子，其中2个红色的，2个蓝色的，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色的概率是（ ）。

A1111 B C D E以上都不正确 2346例1.20（问题求解）★ 在1、2、3、4四个数中，任选出两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率为（ ）。

A21111 B C D E 32384例1.21（问题求解）★ 某班级有18名男生，12名女生，从中选举3名班干部，则所选出的干部为2男1女以及

至少2名女生的概率分别为 ( ) 21123C18C12C18C12C12(A),33C30C3022123C18P12C18C12C12(B),33C30C302112C18C12C12C29(C),33CC30

12123C18C12C18C12C12 (E)以上答案均不正确 (D),33C30C30例1.22（问题求解）★ 将3位旅客排到4间房中，每人被安排到各房间的概率都是概率为（ ）。

1，则3位旅客住不同房间的4A1335 B C D E以上都不正确 43288

例1.23（问题求解）★

某乒乓球男子单打决赛在甲、乙两选手间进行，比赛采用7局4胜制，已知每局比赛甲选

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手战胜乙选手的概率均为0.7，则甲选手以4：1战胜乙选手的概率为（ ） A.0.840.7 B. 0.70.7 C. 0.30.7 D. 0.90.7 E. 以上结论均不正确 例1.24（问题求解）★

掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为( ） A.33332，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是38812632 B. C. D. E. 812722781例1.25（问题求解）★ 某轻轨列车有4节车厢，现在有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢的等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1,2,3的概率是）（ ）。

A43413937 B C D E 128128128128128例1.26（充分性判断）★ 甲、乙两个人各进行一次射击，至少有1人击中目标的概率为0.84 （1）在一次射击中，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5 （2）在一次射击中，甲、乙击中目标的概率都是0.6 例1.27（充分性判断）★

某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰。已知某选手各轮问题正确回答互不影响，则该选手至少进入第三轮考核的概率为

23。 2321,,，； 5555（1）该选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

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（2）该选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为例1.28（充分性判断）★

63,,， 77771n1kpCn() 12（1）掷一枚硬币，第n次投掷前已取得k次（kn1）正面向上的概率为p； (2) 将一枚硬币掷n1次，正面向上的次数为k次（kn1）的概率为p；

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