三角函数诱导公式

三角函数题型I 考试要求

三角函数概念、同角三角形的基本关系、三角函数恒等变换

典题精讲

板块一：角的概念推广 任意角的三角函数定义：

以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系， 角的终边与单位圆的交点为P(x,y)，

则sin ；cos ；tan

定义拓展：在角的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin ；cos ；tan ；

注意：

1. 锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 sin 1 22 22 21 3 21 2cos 3 23 31 0 －1 0 tan

3 0 0

【例1】 判定下列各角是第几象限角①60②585. 【变式1】

1.已知点P(tan,cos)在第三象限，则角的终边在第____象限. 2.若cos0且tan0，则是第_____象限.

3.若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形的形状为____________． 5

【例2】已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．

13【变式2】

2π

1.若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．

32

2.若4π<α<6π且α与－π终边相同，则α＝________.

3板块二：同角三角形的基本关系 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：________________________. (2)商数关系：______________.

yx

同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如：∵sin α＝，cos α＝，

rrx2＋y2

∴sinα＋cosα＝2＝1.

r

2

2

求值题型一：sin,cos,tan三个中知一求二，特别用平方关系时注意角所在的象限即三角函数值的正负

【例3】 1.cos

2.若tan15，求sin，cos的值。

【变式3】

4,(0,)，求sin，tan的值 5

1，求cos=______tan=______. 5sincos2，则sincos的值为 2.已知

sincos1.已知sin ．

3.已知sinm342m,cos，则m=_________；tan ． m5m5求值题型二：已知tan，求关于sin，cos的齐次分式表达式的值 【例4】 已知

【变式4】

sin3costan求：①1，

sincostan1；②

12sinsincos2 ③；2cossin2sin32cos31.若tan3，则=________________．

sin32cos3222.已知tan2，则sinsincos2cos_______________．

sinxcosx” 三个方程等式： 求值题型三：正余弦“三兄妹—sinxcosx、 “知一求二”，并与同角关系综合考察。 【例5】已知sincos1，且0． 5①求sincos、sincos的值；②求sin、cos、tan的值．

【变式5】

1.若(0,),sincos1，求tan的值。

2

1

2.已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. 5

(1)求tan α的值； (2)把

1

用tan α表示出来，并求其值．

cosα－sin2α

2

板块三：三角函数的诱导公式 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 图示 与角α 终边的 关系 角 π－α π－α 2π＋α 2 图示 与角α 终边的 关系 诱导公式（一）

sin(2k)sin cos(2k)cos结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等

tan(2k)tan

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0～2角的三角函数值问题。

诱导公式（二）

sin()sin cos()costan()tan

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）

②把求（）的三角函数值转化为求的三角函数值。 诱导公式（三）

sin()sin cos()costan()tan

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角）

②把求（）的三角函数值转化为求的三角函数值

诱导公式（四）

sin()sin cos()cos诱导公式（五）

tan()tan

 c o s ()sin sin()cos22诱导公式（六）



sin(2)cos cos(2)sin

【例6】求下列各三角函数值:①cos225②tan（-）

【变式6】 1. 求下列函数值：

(1)cos

6531, (2)sin(), (3)sin670, (4)tan580 252525costan()＝ ． 634π7π1

α＋＝，则cosα＋的值为________． 【例7】已知sin123122. 计算：sin【变式7】

π2π2

－α＝，则sinα－＝________. 1.已知cos363

)3,求： 2.已知tan(

2cos()3sin()的值.

4cos()sin(2)

1.若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为

课堂检测

( )

A．2kπ＋β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z)

B．2kπ－β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z)

2.设θ∈（0，2π），点P（sinθ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．

3.cos(－2 013π)的值为

( )

1 A.

2

B．－1 C．－

3

2

D．0

5

4.已知cos α＝－，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.

13

5.若(0,),sincos1，求tan的值.

2

课后复习

3π3π

cos ，sin ，则sin β＝__________，tan β＝________. 1. 若β的终边所在直线经过点P44

2. 设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，5)，且cos α＝

3. 已知sincos2

m，则sin α的值为________． 4

1，且0． 5（1）求sincos、sincos的值；

（2）求sin、cos、tan的值．