数学建模论文

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 重庆城市管理职业学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李少敏 2. 谭小梅 3. 葛 林 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘光

日期： 2010 年 9月 13日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

输布置优化方案

摘 要

石油作为一种不可再生资源，随着其数量的不断减少，很容易将会国与导致国与国之间的军事争端。它在为我们人类提供便捷的同时，也拉动了各国经济的快速发展。近年来，很多油田设计院，为了能够有效的发挥其作用，不同程度的实施“低成本”战略。我们以某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在其铁路线上增建一个车站为例，用数学建模的方法找到了其输最优化的布置方案。

首先，我们分析了问题一，它存在两种大的情况，即有无共用管线的情况。①先讨论无共用管的情况。②再讨论有共用管线的情况。在这种状况下，又有共用管费用（万元/千米）和非共用管费用（万元/千米）相同和不同的两种情况。当两种管的费用相同时：很明显，只要输的布置路径最短，管线建设费用肯定是最省的。通过查资料我有们了解到“费尔马点到三角形三个顶点的距离之和最短”。车站建立位置的不同，将会导致不同的费尔马点。不同的费尔马点将会导致一种新的路径布置方案。我们用几何证明的方法证明出最优的费尔马点，致使其输路径最少。当两种管的费用不同时，在情况②中费用相同时，我们得出“任意一种费尔马点到三个顶点的距离之和都可以转化成与之相关的一条直线”的规律。借助这条规律，我们经过假设并建立模型求解最后在进行比较，得知当非共用管线长度大于共用管线长度时，建设费用会省些。

问题二，其本质跟问题一的②情况费用相同时的本质是相同的。所以我们直接用结论，再讨论有无共用管的情况，经过量化分析。对数据进行比较，得出再有共用管时费用省些，最后用Lingo得出其最省的总费用为280.1771万元。

问题三，这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，再加上附加费用，我们也讨论有无共用管线两种情况，得出无共用管时费用省些，其费用为 224.1130万元。

关键词：几何证明 问题转化 费尔马点 Lingo软件 几何画图法

1

1.问题重述

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，

b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：

工程咨询公司 附加费用（万元/千米） 公司一 21 公司二 24 公司三 20 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给 出管线最佳布置方案及相应的费用。

2

2.模型假设与符号设定

2.1模型假设

1．三根输的交于一点时交界处没有费用。 2．在铺设管线时没材料损耗 3．在Ⅱ区域拆迁时顺利完成 2.2符号约定

x1 共用输的费用（万元/千米）

x2 A厂的非共用费用（万元/千米） x3 B 厂的非共用费用（万元/千米）

x4 附加费用（万元/千米）

s1 共用输的长度

s2 输送A厂成品油的非共用管长度

s3 输送B厂成品油的非共用管长度

s4 Ⅱ区域输的长度

Ymin 表示输的总费用

a，b，c为常数

3.问题分析

3.1问题一的第一种情况分析 （1）第一步

我们考虑特殊情况，分析直线垂直于X轴的费尔马点，然后连接三个顶点后的输布置情况，即如图1所示的C点。

3

图1

〈1〉作图步骤如下：

1. 在坐标系中任意找两点，A和B

2. 以AB为边作等边三角形直线交于点P，然后过Ｐ点作Ｘ轴的垂线交与点C[1]。 3. 以BC为边作等边三角形直线交于点Ｑ，连接Ａ，Ｑ交P，Ｃ于点O。Ｏ就是费尔马点。

4. 再过Ｃ点作A，Ｑ的平行线。

5. 在分别过O，B作垂直于Y，Ｘ轴的垂线。形成的交点依次为Ｒ，F。 在做的过程中，我们看出来一条规律。“费尔马点到三个顶点距离之和等于AQ的距离” 〈2〉规律证明过程如下：

费尔马点特征有：AOCBOCAOB120

BOC120,CON90

130又PON90

260,且AOB120

360,460（对顶角相等）且BOC120 BOQ60 ①

4

又OCBD且BOC120

OBD60 ② 由①②得OBR为等边三角形

OBOR且ORBR且三个角都为60 ⑴

又四边形OCFR为平行四边形

CFBR ③

且BQCQ ④ 又5660,7860 且OCBD有57

78 ⑤

由③④⑤有QCFQBR全等

RQFQ ⑥

且FRQORB60 ⑦ 由 ⑥⑦有FRQ为等边三角形

RQRFOC ⑧ ⑵

最后由 ⑴⑵ 有AOBOCOAOORRQAQ 〈3〉AOBOCOAQ

同理，AOBOCOPC

（2）考虑不垂直的情况时，过C点做PC垂直线，同样可以证明。

假设垂直时为C点，不垂直时在E点。则三角形PCE为直角三角形。又因为PC为直角边。PE为斜边，所以PCPE. （3）综上

我们可以得出一个结论， 当共用管费用（万元/千米）和非共用管费用（万元/千米）相同时，直线垂直于X轴的费尔马点，然后连接三个顶点后的输的长度最短。费用也最省。

3.2 问题一的第二种情况分析

在情况一中，我们得出这样“任意一种费尔马点到三个顶点的距离之和都可以转化成与之相关的一条直线”的规律。

5

即“AOBOCOAOORRQAQ”

我们继续在费用相同的情况下研究，将问题转化成一条直线。结合实际问题，共用管线费用（万元/千米）高于非共用管线费用（万元/千米）。按照物价，非共用管线费用是共用管线费用的0.7倍。在下列情形中，为了更好的说明问题，我们就以非共用管的费用为0.7，共用管的费用为1来计算。2b=AQ,m是一个参数。 分三种情形：如图2所示

图2

情形一：

当公用管线和非公用管线长度相同时，即ARRQ时。有

S0.7bb1.7b①

情形二： 当公用管线和非公用管线长度不相同时，即AR>RQ时。有

S0.7(bm)bm1.7b0.3m ②

情形三： 当公用管线和非公用管线长度不相同时，即ARS0.7(bm)bm1.7b0.3m ③

比较①②③的等式的结果，很明显得出，当共用管线和非共用管线长度不相同时，即AR>RQ时，输总费用最省。然后建立模型求解。 3.3 问题二分析

问题二其本质跟问题一中费用相同时的本质是相同的，只不过是分了区域。在加上了附加值。所以本着我们问题一中费用相同时的结论，我们对其进行建模求解，就可以找到最优方案。 3.4 问题三分析

问题三在本质上是与情况相同。同理在问题一二的基础上，我们在对两炼油厂到那个交界点的路线本着问题一的第二种的原则进行合理分配，运用数学软件，即可找到最优方案。

4.模型的建立与求解

4.1模型建立

要使得输最后的总费用最省，我们很容易可以列出其费用的恒等式。即每段输

6

长度与每段输乘积之和。

ymins1*x1s2*x2x3*s3s4s4*x4

4.2模型求解

问题一：针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，我们假设两炼油厂的名字分别是A,B.假设以O为原点，OA为纵坐标建立直角坐标系（如图3），B点在A的四周。

图3

4.2.1 当0OAB4.2.1.1 没共用管线

在图3的基础上找一点B,使0OAB，以X轴为对称轴，作B的对称点B'（如

22时

图4），设A（0,a）B(b，c)则B'(b，-c)

图4

7

根据三角形的两边之和大于第三边得到最短的管线S14.2.1.2 有共用管线

(ac)2b2 （1） 共用管费用（万元/千米）与非共用管费用（万元/千米）相同时： 设A（0，a） ，B（b，c）且x1x2ca，N（g，h），点N到X轴的距离为ＮＭ．

若h>c,即点N在直线y=c的上方时，由于NA+NB+MNAB+NM>AB+AO 所以，NA+NB+MN取得最小时，点N不可能在B的上方，故0hc。

为了便于问题的解决，我们先固定h的大小，使点N在直线y=h上移动。设点B关于直线y=h的对称点为B',则B'的坐标为（b，2h-c）。如图5

图5

因为S=AN+BN+NM=AB'+NM

22 =b(2hca)hohc

S'2(2hca)b(2hca)221

令S'0,解得h=

ac3bac3b或h=2626＞c（舍去）0hc

ac3b'在0,区间上S0 26 8

ac函数St在0,2ca3b区间是单调减函数 6在3b',c区间上S0 62ca函数St在3b,c区间是单调增函数

62S(t)min2bca3bca3bb2

32623b） 由h=ac3b得出B'的坐标（b,a263'3b)B(b,a由3A(0,a) y过直线AB'的方程式：

3xa ① 3ac3b ② 26b3(ac)ac3b,)

226直线yhy由方程①②得出N的坐标(综上所述n的坐标为(b3(ac)ac3b,)时，S最小

226

（2）共用管费用（万元/千米）与非共用管费用（万元/千米）不同时： 结合实际我们可以知道x1x2 要使费用最少就要满足SMNANBN尽量小且MNANBN

Sb2(2hca)2h

h

b2(2hca)2

9

4.2.2 当

2OAB时

4.2.2.1 没共用管线

在图3的基础上找一点B,使

2OAB，以X轴为对称轴，作A的对称点A'

（图6），设A（0,a）B(b，c)则 A'(0，-a)

图6

根据三角形的两边之和大于第三边得到最短的管线S14.2.2.2 有共用管线

（1）共用管费用（万元/千米）与非共用管费用（万元/千米）相同时（x2x3）： 设A（0，a） ，B（b，c）且c>a，N（g，h），点N到X轴的距离为ＮＭ．

若h>a,即点N在直线y=a的上方时，由于NA+NB+MNAB+NM>AB+AO 所以，NA+NB+MN取得最小时，点N不可能在A的上方，故0ha。

为了便于问题的解决，我们先固定h的大小，使点N在直线y=h上移动。设点BA关于直线y=h的对称点为A',则A'的坐标为（0，2h-a）。如图7

(ac)2b2点C是车站处。

10

图7

S=AN+BN+NM=A'B+NM

=b(2hac)hoha

22S'2(2hac)b(2hac)221

ac3bac3b令S0, 解得h=或h=＞a（舍去）0ha 2626'ac3b'在0,区间上S0 26ac函数St在0,23b区间是单调减函数 6ca3b,a区间上S'0 在62ca3b,a区间是单调增函数 函数St在26S(t)minS(ca3bca3b) 262 11

3bac3b'0,c由h=得出A的坐标（

326'3b)A(0,c由3B(b,c)）

过直线的AB方程式：

'y33xcb ① 33ac3b ② 26直线y=h者y由方程①②得N的坐标(b3(ac)ac3b,)

226综上所述n的坐标为(b3(ac)ac3b,)时，S最小

226Yminx2ac3b

2（2）共用管费用（万元/千米）与非共用管费用（万元/千米）不同时：

结合实际我们可以知共用管费用（万元/千米）大于非共用管费用（万元/千米） 要使费用最少就要满足SMNANBN尽量小且MNANBN

Sb2(2hac)2h hb2(2hac)2

4.2.3 当OAB0或时（如图8）

设A(0，a) B（0，c）

图8

12

两个厂在同一直线上时,要使Y最小，必定是A和B管线走的方向都是垂直X轴，并且不管共用管费用（万元/千米）与非共用管费用（万元/千米）是否相同，都只有此线路最省费用。所以，站点就是原点O

问题二：

4.3 .1 没共用管线（如图9）

设点C是B厂的管线刚到Ⅰ区域的点。C(15,K)

图9

'22由问题一得出没共用管线时在Ⅰ区域最短管线SminAC(ac)b

'222代入数据得整段路线SACBC(5k)15(8k)25

Ymin7.2((5k)2152(8k)225)21(8k)225 用Lingo建模求解，见附录1。

由此得出 C点的坐标（15,7.18） Ymin282.0043

4.3.2 有共用管线（如图10）

设点C是B厂的管线刚到Ⅰ区域的点。C(15,K) A(0,5) B(20,8)

13

图10

有问题一我们知道当管线的单价相同时路线是Smin在Ⅰ区域的最短管线Sminca3b

2k5153

2整段路线Sk5153(8k)225 2Ymin7.2(k5153(8k)225)21(8k)225 2用Lingo软件进行求解，见附录2

由此得出C点的坐标（15,7.36）和Ymin280.1771

问题三：

4.4.1 没共用管线时（如图11）

设点C是B厂的管线刚到Ⅰ区域的点。C(15,K) M(t，0)

14

图11

2222总的管线St25(15t)k(8k)25 Ymin5.6t2256((15t)2k2(8k)225)21(8k)225

用Lingo建模求解，见附录3

由此得出C,M点的坐标分别时（15,7.09）（6.86,0）Ymin224.1130Ymin224.1130 4.4.2 有共用管线时（如图12）：

设点C是B厂的管线刚到Ⅰ区域的点。C(15,K) N(t，g)

图12

S(g5)2t2(15t)2(kg)252(8k)2g

Ymin5.6(g5)2t26((15t)2(kg)252(8k)2)7.2g2152(8k)2用Lingo建模求解，见附录4

15

由此得出C,N点的坐标分别时(15,7.27) (6.74,0.13) Ymin249.4422 4.5 结果分析

我们在同一个三角形中找出费尔马点，使输铺设路径最短距离之和最短。而且我们在不同的三角形之中，找出最适合的车站点。然后在这种最优的站点上将其按不同的费用将路径再次分配。最后找出最省钱的输布置方案。 具体量化，得到值与现实是接近的。

5.模型优缺点及改进方向

5.1模型优缺点： 5.1.1模型的优点

1）在建立数学模型中，我们把两个炼油厂和车站变相的作为三角形，使问题变的简单和清晰化，设计的解法考虑的条件较少，简单明了，具有一定的通用性；

2）模型在实际运用中，相对与每一种输布置方案都是合理的，也是教普遍的。 5.1.2模型的缺点

模型的缺点是不同费用的输布置时，只是很单一的分析了一种情况，所以要寻找一种更有效的模型。 5.2模型的改进：

对于不同的坐标点，可能也会得出不同的具体量化结果，所以我们做最好将点设出来，用未知参数能比较出大小更好。也可以根据不同要求确定不同的输布置方案。

参考文献

[1]百度，费尔马点的作法，http://zhidao.baidu.com/question/41884493.html，2007

附件

附录1 MODEL:

MIN=7.2*(@SQRT((5+k)^2+225)+@SQRT((8-K)^2+25))+21*@SQRT((8-K)^2+25); END

Local optimal solution found.

Objective value: 282.0043 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 88

16

Variable Value Reduced Cost

K 7.184472 -0.2685622E-08

Row Slack or Surplus Dual Price 1 282.0043 -1.000000 附录2 MODEL:

MIN=7.2*((k+5+15*@SQRT(3))/2+@SQRT((8-k)^2+25))+21*@SQRT((8-k)^2+25); END

Local optimal solution found.

Objective value: 280.1771 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 86

Variable Value Reduced Cost

K 7.3537 -0.1782193E-08

Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.1771 -1.000000 附录3 model:

min=5.6*@sqrt(t^2+25)+6*(@sqrt((15-t)^2+k^2))+@sqrt((8-k)^2+25)+21*@sqrt((8-k)^2+25); end

Local optimal solution found.

Objective value: 224.1130 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 188

Variable Value Reduced Cost

T 6.857778 0.3006837E-08 K 7.0803 -0.3943757E-08

Row Slack or Surplus Dual Price 1 224.1130 -1.000000 附录4 model:

17

min=5.6*@sqrt((g-5)^2+t^2)+6*@sqrt((15-t)^2+(k-g)^2)+6*@sqrt(25+(8-k)^2)+(21)*@sqrt(25+(8-k)^2)+7.2*g; END

Local optimal solution found.

Objective value: 249.4422 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 206

Variable Value Reduced Cost

G 0.1326951 0.15670E-07 T 6.742378 0.1562390E-08 K 7.265875 0.6637132E-08

Row Slack or Surplus Dual Price 1 249.4422 -1.000000

18