中考数学复习必备教案直角三角形与勾股定理

知识点回顾

知识点一：直角三角形的概念与性质

1．有一个角是 的三角形叫做直角三角形； 2．直角三角形的两个锐角 ；

3．直角三角形斜边上的中线等于 的一半.

例1．（2009湖北省荆门市）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点

A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB = （ ）

A、40° B、30° C、20° D、10° 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=90°－50°=40° 由折叠得∠DA′C=∠A=50°， ∵∠DA′C=∠B+∠A′DB

∴∠A′DB=50°－40°=10°，选D.

例2．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是 cm. 解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm. ∴直角三角形的面积是

同步检测一：

1．（湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度．

2．如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则

12

×24×10=120cm. 22

BA'DC（图1）

ABE= ，BD= .

12AB（图2）

ED（图3）

C知识点二：勾股定理

直角三角形 的平方和等于 的平方．

例3．（四川省宜宾市）已知：如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积和为 ． 解：过点E作ED⊥AB于点D，可证得ED=112

∴SABEABED=AB，

241AB， 2HCF（图4） BAE同理SAHC=

121AC，SBFC=BC2， 441222

（AB+ AC+ BC） 4从而图中阴影部分的面积和为=

1922

（AB+ AB）=. 42例4．（湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线

BD重合，折痕为DG，则AG的长为 （ ）

A、1

B、

43 C、 32 D、2

DA′AGBC解：Rt△DAB中，BD=32425， 设AG=x，则BG=4－x

由折叠得A′D=AD=3，A′G=AG=x，∠DA′G=∠A=90°， ∴A′B=BD－A′D=5－3=2，∠GA′B=90°， 从而Rt△GA′B中，x+2=（4－x）. 解得x=

3，选C. 22

2

2

（图5）

同步检测二：

3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 . 4．（四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E的面积是 （ ） A、13 B、26 C、47 D、94★5．（黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD的边长为4，

（图6）

E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM 交正方形的一边于点F，且BF＝AE，求BM的长.

知识点三：直角三角形的判定方法

1．根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形；

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C=90°.

例5．（湖南省衡阳市）如图7，A、B、C分别表示三个 村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位 置应在 （ ） A、AB中点 C、AC中点

B、BC中点

D、∠C的平分线与AB的交点

C（图7）

AB解：显然到A、B、C三个村庄距离相等的点P应该是AB、BC、AC三边垂直平分线的交点. 又∵BC+AC=600+800=1000000；AB=1000=1000000 ∴BC+AC=AB， ∴∠ACB=90°,

由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P的位置应在AB的中点处，选A.

例6．如图8，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. （1）答：AP=CQ

证：∵△ABC为等边三角形 ∴AB=BC，∠ABC=60° ∵∠PBQ=60° ∴∠ABC=∠PBQ ∴∠ABP=∠CBQ

ABCB在△ABP与△CBQ中，ABPCBQ

BPBQBQ（图8） PA2

2

2

2

2

2

2

2

2

C∴△ABP≌△CBQ（SAS） ∴AP=CQ

（2）答：△PQC为直角三角形.

理由是：设PA=3k，则PB=4k，PC=5k（k>0），CQ=AP=3k

∵BQ=BP，∠PBQ=60°

∴△PBQ为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形） ∴PQ=PB=4k

又CQ=9k，PQ=16k，PC=25k， ∴CQ+PQ=PC

∴△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°. 同步检测三：

6、（黑龙江省牡丹江市）如图9， △ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：①∠1=∠A；②

CDDB；ADCD2

2

2

2

2

2

2

2

2

③∠B+∠2=90°；④BC∶AC∶AB=3∶4∶5；⑤AC×BD=AC×CD，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是 （ ） A、1

B、2

C、3

D、4

7、（甘肃省定西市）如图10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，

D为AB边上一点，

求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD+DB=DE.

随堂检测：

1．（湖南沙市）如图11，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．

2．(上海市)如图12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， M为边BC上的点，联结AM．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 .

A2

2

2

AC21DEAAD（图9）

BC（图10）

BBD（图11）

C

CS1 S2 B

MCA（图14）

（图13）

B（图12）

3．（贵州省安顺市）如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个

全等的直角三角形围成的. 在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______.

4．（浙江省湖州市）如图14，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 .

5．（湖北省恩施自治州）如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离

为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 （ ）

A、521 B、25 C、105+5 D、35

20 B 5 C A C l2 l3 l1

15 A 10 B （图15） （图16）

6．（浙江省丽江市）如图16，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 ， l2，l3之间的距离为3 ，则

AC的长是 （ ）

A、217 B、25 C、42 D、7

7．（维吾尔自治区）如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．

bacbacbacbcca（图17）

c8．（湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路

X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一

服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点

A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．

（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

图（1） B A P X P B Q A A X O P X Y B A 图（2） （图18）

图（3） 9．（黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 10．（湖北省咸宁市）

问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图19中的图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：__________________ 思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a、22a、．．．

17a（a>0），请利用图19中的图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相

应的△ABC，并求出它的面积． 探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为m216n2、9m24n2、2m2n2（m>0，n>0，且m≠n），

试运用构图法求出这三角形的面积． ．．． 答案：

B A C （图①）

（图19）

（图②）

知识点回顾的答案

知识点一：直角；互为余角；斜边； 知识点二：两直角边；斜边； 知识点三：直角；a+b=c. 同步测试的答案 1．90°； 2．BE=

255168，BD=； 3．2或； 4．A； 22252

2

2

5．（1）当点F在DC上时，如图1，先证△ABE≌△BCF，可得AE=BF=5，BE=CF=3，AE⊥BF，再由面积公式AEBMABBE得BM=

ADFMBCE12. 5CEDFMA（图2） （图1）

（第5题答案图） B（2）当点F在AD上时，如图2，先证△ABE≌△BAF，可得BE=AF=3，∴AE=BF=5，连结EF，证□ABEF，∴BM=

15BF=. 226．C（提示：能确定△ABC为直角三角形的有①②④，共3个） 7．证明:（1） ∵ ∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB－∠ACD=∠ECD－∠ACD， 即 ∠BCD=∠ACE ∵BC=AC，DC=EC， ∴△ACE≌△BCD.

（2）∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45°． ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE=∠B=45°．

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°． ∴Rt△DAE中，AD+AE=DE. ∵△ACE≌△BCD ∴ AE＝DB， ∴AD+DB=DE.

随堂检测的答案：

2

2

2

2

2

2

1．4cm； 2．2； 3．76； 4．2π； 5．B； 6．A 7．解：（1）如图，

abcccbacab

（2）证明：

ba（第7（1）题答案图）

1大正方形的面积表示为ab2，大正方形的面积也可表示为c24ab，

21∴ab2=c24ab，即a2b22abc22ab，

2∴a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

8．解：（1）图18（1）中过B作BC⊥AP，交PA的延长线于点C，则PC＝40，又AP＝10，

∴AC＝30.

在Rt△ABC 中，AB＝50 ，AC＝30，∴BC＝40 ，∴ BP＝CP2BC2402， ∴S1＝40210；

图18（2）中，过B作BC⊥AA′，交A′A的延长线于点C，则A′C＝50，又BC＝40， ∴BA′＝4025021041，

由轴对称知：PA＝PA′，∴S2＝BA′＝1041， ∴S1>S2.

（2）如 图18（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA′，∴MB+MA＝MB+MA′>A′B，∴S2＝BA′为最小.

（3）如图，过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.

过A′、 B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，A′B′＝1002502505， ∴所求四边形的周长为50505.

OPB′QAXYB9．解：设在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6. 由勾股定理有：AC=10.

（第8题答案图）

A′扩充部分为Rt△ABD，扩充成等腰△ACD，应分以下三种情况： ①如图1，当AC=AD=10时，可求BD=CB=6，得△ACD的周长为32m；

②如图2，当AC=CD=10时，可求BD=4，由勾股定理得：AD=45，得△ACD的周长为（20+45）m；

③如图3，当AC为底时，设AD=CD=x，则BD=x－6，由勾股定理得：x=长为

10．（1）3.5；

（2）如图②，构造△ABC，使AB=5a，BC=22a，AC=17a，∴△ABC的面积为×2a－

（3）如图③，先构造长和宽分别为4n、3m的长方形网格，再构造△ABC，使AC=m216n2，

（图②）

25，得△ACD的周380m. 3AAADB（图1）

CDB（图2）

CDB（图3）

C（第9题答案图）

1×（2a+4a）2112

×a×2a－×a×4a=3a； 224nAB（图③）

C3m（第10题答案图）

BC=9m24n2，AB=2m2n2，∴△ABC的面积为3m×4n－

×2n×2m=5mn.

111×m×4n－×2n×3m－222