函数列一致收敛判别法[1]

课题来源： 由指导教师提供 课题研究的目的和意义： 由于本课题在数学领域中对初学者来说比较难理解，难以掌握与应用，所以研究此课题目的是让初学者掌握该课题知识，学会分析，提高自己的综合能力，本文给出5种函数一致收敛性判别法的例题，让初学者更加形象的理解本课题的应用技巧。 函数列一致收敛性判别法在数学分析中是重点难点，有效的判别函数列的收敛性对研究函数列的性质起着重要作用 。所以本文介绍了判别收敛性的方法及案例，让初学者能深刻体会其重要性和应用的广泛性。

国内外同类课题研究现状及发展趋势： 函数列一致收敛性判别法在求解极限领域中起着极其重要的作用，它不仅有助于提高我们对极限认识清晰度，而且更能帮助我们领悟一致收敛这一性质。但在国内对于写相关课题已被广泛研究，1991年海南师范学院学报第二期张国才和方良秋的《函数列一致收敛性判别法》，这篇文章参考数学分析中函数列的性质得出了函数列一致收敛性的基本方法，包括柯西判别法。1995年吉林师范学院学报第16卷上关伟大的《关于一致收敛的判别问题》，这篇文章讨论了处处收敛与一致收敛的关系，得出了“单调的一致收敛函数列是一致收敛的”结论。1994年上海师范大学学报第23卷第3期张骏芳的《广义一致收敛与亚一致收敛》,这篇文章讨论了连续函数列的极限函数连续条件，采用了先把函数列为正则收敛减弱为弱正则收敛或一致收敛，在减弱为广义一致收敛，最后成为一个定理证明。还有很多学者研究了一致收敛判别的各个方面，不仅未来的研究指明了方向，而且在学术界得到广泛应用，同时也为本文提供了理论依据和参考。

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 主要内容： 1、函数列一致收敛性的判别法 2、函数列一致收敛性的定义 3、函数列一致收敛性的柯西准则 4、函数列一致收敛的充要条件 5、函数列一致收敛性判别法的应用 6、函数列一致收敛性判别法的意义 主要方法：查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中的应用。 文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。 归纳法：总结并整理论文。 主要问题：对于不同的题型，怎么选择正确方法解答。 解决办法：归纳总结，查询文献，请老师指导等。 课题研究起止时间和进度安排： 1.选定课题（2011.10—2011.11） 2.收集资料，研究有关课题（2011.11—2012.2） 3.完成初稿（2012.2—2012.3） 4.请指导教师指导完成论文(2012.3—2012.4)

学 士 学 位 论 文

题 目 函数列一致收敛性判别法 学 生 许月

指导教师 房维维 讲师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 文理学院

哈尔滨师范大学 2012年4月

目 录

摘要 .................................................................................................................................................. 1 关键词 .............................................................................................................................................. 1 引言 .................................................................................................................................................. 1 一 预备知识 ................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.1函数列一致收敛性定义 ......................................................................................................... 1 1.2 函数列一致收敛性柯西准则 ................................................................................................ 1 1.3函数列一致收敛性充要条件..................................................................................................2 二 函数列一致收敛性判别法的应用 ............................................................................................. 2

2.1利用函数列一致收敛性定义证明 ..................................................................................... 2 2.2利用函数列一致收敛性柯西准则 ..................................................................................... 3 2.3 利用函数列一致收敛性充要条件 .................................................................................... 5 3. 结束语.......................................................................................................................................... 6 注释 .................................................................................................................................................. 6 参考文献........................................................................................................................................... 7 英文摘要........................................................................................................................................... 8

函数列一致收敛性判别法

许月

摘要: 在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用.

关键词： 函数列；一致收敛；判别法

引言

本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.

一 预备知识

1.1函数列一致收敛的定义

定义1：设函数列｛fn｝与函数fx定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在一正整数N，使得当nN时，对一切xD，都有fnxfx，则称函数列 ｛fn｝在D上一致收敛于f，记作fnxfx n，xD.

1.2 函数列一致收敛性的柯西准则

定理1（Cauchy）函数列fn在D上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数，总存在正数N，使得当n,mN时，对一切xD，都有fnxfmx.

1

1.3函数列一致收敛性的充要条件

定理2 函数列｛fn｝在D上一致收敛的充要条件是：limsupfnxfx0.

nxD二 函数列一致收敛性判别法的应用

2.1利用函数列一致收敛性定义证明 例1：定义在,上的函数列fnxsinnx,n1,2...由于对任何实数x，都有nsinnx1 nn故对任给的0，只要nN1，就有

sinnxsinnx0,所以函数列收敛域为无nn限区间,, 极限函数fx0.

注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。例如，能否由函数列每项的连续性，可导性，来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些更深刻问题的讨论，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行。

例2：设在a,b上，fnx一致收敛于fx，gnx一致收敛于gx。若存在正数列Mn,xa,b,n1,2,...。证明：fnxgnx在a,b上一致收敛于fxgx。

证明：先证fnx一致有界。

因为fnx一致收敛于fx，所以0,N0，当nN时

fnxfxxa,b

特别地对1,有fnxfx1，所以fxfnx1Mn1,即fx是有界的。

1,取 supfx，则当nN时，fnxfnx1Mn记M1xa,bMmaxM1,M2,...MN,M11

则有对于任意的nN,xa,b,fnxM同理可证gx是有界的，即M0,使得

2

gxM,xa,b，由于fnx一致收敛于fx，gnx一致收敛于gx，所以对

0,N0,当nN时对一切xa,bfnxfx所以当nN时有

2M,gnxgx2M，

fnxgnxfxgx

fnxgnxfxgxfnxgxfxgxfnxgnxgxgxfnxfxM故fnxgnx在a,b上一致收敛于fxgx.

2.2利用函数列一致收敛性的柯西准则

例3：设fnx，n1,2为定义在,上的函数列，证明它的收敛域是

n

2MM2M

1,1，且有极限函数

f(x) {0,x1 （3）

1,x1证明：任给0，（不防设1），当0x1时，由于fnxfxx，只要取N,xnln，当nN,x时，就有fnxfx，当x0和x1时，则对lnx任何正整数n，都有fn0f00，fn1f10.这就证得｛fn｝在1,上收敛，且有（3）式所表现的极限函数.

当x1时，则有xn，当x1时，对应的数列为，1,1,1,1...... 它显然是发散的。所以函数列x在区间1,1外是发散的.

注：对于不等式中含有f(b)f(a)的因子,可考虑用拉格朗日中值定理先处理以下，利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况.

nn 3

例4：可微函数列fnx在a,b上收敛，且导函数列fnx在a,b上一致有界，则fx在a,b上一致收敛。

n证明：由假设存在正数M，对一切自然数n，当xab,时，有fnxM，因此对0，只要取3M,则当xx，对一切自然数n，由微分中值定理有

fnxfnxfnxxM

3ba'，在各个小区间内任取一点x1,x2,...,xk，其中在x和x之间，现对a,b作k等分，使k在这些点上函数列fnx收敛，对0，存在自然数Ni，当nNi时，有

fnxifmxi1ik3

令NmaxNi，则当nN时，这一切x1,x2,...,xk都有，fnxifmxi设x落在xi所在的小区间上，（1），（2），及nN有

3，对任意xa,b，

fnxfmxfnxfnxifnxifmxifmxifmx

所以fnx在a,b上是一致收敛的。

注：柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么，只是根据函数列本身的特点来判断函数列是否一致收敛。

n2n例5：fnxxx在0x1是否一致收敛？

分析：考察区间收敛与一致收敛的逻辑关系注意联系闭区间连续性与一致收敛的关系. 证明：这里limfnxlimxxnnn2n令fxnx12x0，0fx,0x1,，

'n1nn得xn11，由于fnx0，而fn0fn10，所以，在xn点，fnx取极大值. nn220x1supfnxfxsupxnx2n0x1111 2242所以fnx不趋近于fx.

注：当supfnxfx不好求时，只好诉之于一致或者不一致收敛的定义或柯西准则。从

0x1n2n上例题也可看出，函数列在有限闭区间上收敛，未必一致收敛，xx在0,1上就是如此，这

 4

与有限闭区间上连续函数一定一直连续不同。

2.3 利用函数列一致收敛性的充要方法 例6：定义在上的函数列

fn(x){n122nx,0x2n1212n2nx,x,n1,2,... （8）

2nn10,x1n其中n1,2,3的图像，如图所示.

由于fn(0)0，故fn(0)limfn00。当0x1时，只

n1，就有fn(x)0，故在0,1上有fn(0)limfn00于

nx是函数列（8），在[0,1]上的极限函数f(x)0，又由于

1 supfnxfxfnnn，所以函数列（8）在0,1上不一致收敛。

2nx0,1例7：讨论函数列fnxnxe2n2x2，x0,1的一致收敛性。

22证明：因为fxlimnxe2nn2x20,x0,1，于是，fnxf0n2xenx.容易

验证nxe2n2x2在0,1上只有唯一的极大点x01，因此为最大值点。于是 2nn1supfnxfxe2

2因此该函数列在0,1上不一致收敛。

不一致收敛是因为函数列余项的数值在x0的附近不能随n的

增大一致趋于零，因此对任何不含原点的区间a,10a1，fxnxe在该区

注：fnxnxe2n2x22n2x2n间上一致收敛于零。

例8：讨论fnxx21,n1,2,...D1,1是否一致收敛，并说明理由。 n2证明：由于limfnxxfx,xD1,1，且

n 5

limsupfnxfxlimsupnxDnxDx21x n2121nlimsuplim0

nxDnn12x2xn故x21x,n,x1,1. n2x,n1,2,...,D,是否一致收敛，并说明理由。

1n2x2例9：讨论fnxn证明：由于limfnx0fx,x,，且

limsupfnxfxlimsupnxDnxDx1n2x2lim10n2n

故

x0,0,x,.

1n2x2结束语

初等数学中的常用方法有很多，在数学的学习过程中，函数列一致收敛性证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在极限上，虽然函数列一致收敛性判别法广泛的存在于现实的世界里，但是人们对函数列一致收敛性判别法的认识尚浅.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.

但一般来说比较讲究解题技巧.而用上述函数列一致收敛性判别法，有时可大大降低解题技巧的需要，简化解题过程.所以以上方法给我们提供了便利的条件.

注释：

[1]李长明,周焕山:初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263.

[2]叶慧萍:反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究,2005,10(3):-91. [3]胡炳生,吴俊:现代数学观点下的中学数学[M].北京:高等教育出版社,1998,45-50. [4]宋庆:函数列一致收敛性判别法的再推广[J].中等数学,2006,45(5):29-31.

6

[5]蒋昌林:也谈一类函数列一致收敛性的统一证明[J].数学通报,2005,15(2):75-79. [6]张新全.函数列一致收敛性的证明[J].数学通报,2006,45(4):-55.

参考文献：

[1] 孙 涛：数学分析经典习题解析[M]，高等教育出版社，2004. [2] 孙清华：数学分析内容、方法与技巧[M]，华中科技大学出版社，2003. [3] 谢惠民：数学分析习题课讲义[M]，高等教育出版社，2003. [4] 陈传璋：数学分析[M]，人民教育出版社，1980.

[5] 黄先开,曹显兵：历届考研试题[M]，世界图书出版公司, 2004.

7

英文摘要

Uniform Convergence Of Function Sequence Of Discriminant Method

XuYue

Abstract: Higher Mathematics in uniform convergence of function sequence is one of the important properties, effective discriminant function uniformly convergence method, to study the properties of sequence of functions play an important role. The method of defining method, a sufficient and necessary condition of guidelines, and other important method, through the study of these proven methods, which can help us to solve some practical problems, developing logical reasoning ability and abstract thinking ability, and the various methods to summarize, in order to scholars of skilled and flexible use.

Keywords: function list; uniform convergence; discriminant method

8

论文评阅人意见

论文（设计）题目 函数列一致收敛性判别法 作 者 许月 评阅人 房维维 评阅人职称 讲师 意 见 评阅人 签字

评阅意见

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论文（设计）题目 函数列一致收敛性判别法 作 者 许月 评阅人 职称 意 见 评阅人 签字

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论文（设计）题目 函数列一致收敛性判别法 作 者 许月 指导教师 房维维 职 称 讲师 评 语 指导教师签字

论文等级

本科毕业论文（设计）答辩过程记录

院系 数学系 专业 数学与应用数学 年级 2008级 答辩人姓名 许月 学号 2008210977 毕业论文（设计）题目 函数列一致收敛性判别法 毕业论文（设计）答辩过程记录：

答辩是否通过：通过（ ） 记录员 年 月 日

未通过（ ）

答辩小组组长签字 年 月 日

本科毕业论文（设计）答辩登记表

院（系）： 数学系 专业： 数学与应用数学 年级：2007 论文（设计）题目：函数列一致收敛性判别法 答辩人：许月 评阅人： 指导教师： 房维维 论文（设计）等级： 答辩小组成员： 学号：2008210977 答辩小组意见： 秘书签名： 年 月 日 论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ） 论文（设计）最终等级： 答辩小组组长签名：

答辩委员会签名：