导数专题一：单调性问题

考纲要求:

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．

基础知识回顾:

用导数研究函数的单调性

（1）用导数证明函数的单调性

'f证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内(x)（）0

（2）用导数求函数的单调区间

''f(x)fD求函数的定义域→求导→解不等式(x)＞0得解集P→求DP,得函数的单调递

增（减）区间。

'一般地，函数f(x)在某个区间可导 ，f(x)＞0  f(x)在这个区间是增函数

'ff(x)一般地，函数在某个区间可导 ，(x)＜0  f(x)在这个区间是减函数

（3）单调性的应用（已知函数单调性）

'f(x)≥()0 f(x)f(x)一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数

'f【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式(x)＞（＜)0（不

要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。

②已知函数的增（减）区间，应得到f'(x)≥（≤）0，必须要带上等号。

'③求函数的单调增（减）区间，要解不等式f(x)＞()0，此处可不带等号。

④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。

应用举例:

一、求函数的单调区间

32f(x)xkxx kR． 例1【2013广东文节选】函数

（1） 当k1时,求函数f(x)的单调区间；

f'x3x22kx1【解析】

f'x3x22x1,41280k1(1)当时

f'x0fx,在R上单调递增.

x2f(x)e(axb)x4x,曲线yf(x)在点(0,f(0))例3（2013年全国卷课标Ⅰ文20）已知函数

处切线方程为y4x4.讨论f(x)的单调性.

21【解析】f(x)e(axab)2x4，由已知得f(0)4,f(0)4,故b4,ab8

x2（fx)4e(x1)x4x, ab4从而,

1f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex).2

令f(x)0得，x=-1n2或x=-2.

x)<0. 从而当x(,2)(1n2,)时，f(x)0;当x(2,1n2)时，f（-2-1n2，+）单调递增，在（-2，-1n2）单调递减. 故f(x)在（-，），（【应用点评】

变式训练:

3f(x)4x2axa，求f(x)的单调区间 【变式1】已知a∈R,函数

方法、规律归纳:

利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

二、已知单调区间求字母参数的取值范围

1例【2013大纲理】若函数

f(x)x2axx在(12,)是增函数，则a的取值范围是（A．[1,0] B．[1,) C．[0,3] D．[3,)

例。设

(x)exf1ax2，其中a为正实数；若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。 ）

实战演练:

1f(x)f(1)ex1f(0)xx22；求f(x)的解析式及单调区间; 1、已知函数f(x)满足满足

1f(x)x3x2ax32、已知函数. 讨论f(x)的单调性;

由

f(x)x22xa011ax11a,此时此时f(x)单调递增递减

lnxkex(k为常数,e2.71828是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1))3、已知函数

f(x)处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

a

4、已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，

x求a的取值范围．

5、已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；

(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．