专题突破 班级 姓名 得分 特征值与特征向量 １．矩阵Ａ＝＝［ ］的一个特征值是——，相应的一个特征向量为——． ２．已知Ａ一［ ］，则矩阵Ａ的特征多项式为——． ３．矩阵Ａ一［：；］的属于特征值 一１的特征向量是——，属于特征值 ｚ＝：：２的 特征向量是，——它们——（填“共线”或“不共线”）． ４．… ［ 一． ５．已知二阶矩阵Ａ的属于特征值一２的一个特征向量为［ ３］，属于特征值２的一个 特征向量为［ ］，求矩阵Ａ． ・ ６ ・ ６．已知 是矩阵Ｍ的属于特征值 一３的一个特征向量，其中Ｍ—Ｉ： Ｊ 一 ６ ｍ］ 『Ｌ＿ ＿＿＝ｂ ］Ｊ ，且口ｄ－ｂ＋ｍ＿３，求 ，ｍ的值． 对任意实数ｚ，矩阵『Ｌ－ ６——ｍ ６２ ｍ］ ＿Ｊ 总存在特征向量，求ｍ的取值范围． （命题人：吴宝莹） ・ ７ ・ 口 ＝ ｎ～ ～ 第二次开关闭合后出现红灯的概率为 ３—５ ２—５ ］ ● ● ●Ｊ ， ． Ｌ ＆ ｌ一３ ｆ ｎ一 ¨一 （２）由，（ ）一 ，，●●●●●●●● ●●●●Ｊ ＾一 １ 知 １１ ．一 一 ～ ＝ ＼¨ 一 ２—３ ４ｌＩ ］●● ●● ，Ｊ９ ３ 、 ＾一 ２ ０ 所 一。解得Ａ 一１， 。一～砉，把＾ ， 代入特征方程求 以 一 一 磐 一 ６ 以 ｆ）０ Ａ ｌｌ 出对应的特征向量分别为 ［ ］，锄 ［ ］，令臣］一 口 ＋ 。，即［ ＝优［ ］＋ ［ ］，解 得 【ｌ—Ｌ＿Ｊ 一 一 ∞ １●，一 ＝ 所以有Ｍ。 圉 ＝＂￣９Ｘ１９Ｘ［ ］＋去×（一蠢） ×［ ］一 １＿．●．．＿１ ．＾Ｌ Ｚ］ ●啪 —ｌ ｌ 专题突破矩阵的乘法 １● ，Ｊ ［．，￣，１ －－ Ｆ ｛ ｌ一［。 ］．２．田 ３．（３，８）．４．３． ５． ［ ６．３． — 一 ＋ 一 ４一，ｆ× 一 骼 一／４一，× 船 ＼●／＼●／三 ］［ 。］一［二 ］ ［ ］，所Ｉ）Ａ ｂ＝ｄ￣１， ， ＝－＿＾］ ≈ ｒ＿● ●● ●●ｊ 专题突破特征值与特征向量 一 一 １・因为［ ］［ ］一［ ］一ｓ［ ］，所以它的一个特征值为。，特征向量为［ ］． ２・特征多项式为 ，＝ｆ 』一ｃ —ｚ ｚ一 一 。一４ ＋４一 一 一４ ＋。． ３ ．１￣Ｉ 为［： ］［ ］一［ ］，所以ｍ ［；］．又［ ］［ ］一［ ］＝ｚ［ ］，所以 一［ ］，所以ａ 与 不共线． 一 … ＦＩ ｏ－Ｉ 矩阵Ａ—Ｌｏ Ｊ的属于特征值 一１的特征向量为∞ ［ ］，属于特征值Ａ ＝专的特征向量 ：一 ｚ，得［ ］一ｓ［ ］＋ｚ［ ］，ｓ＝１，ｔ－ａＪ）ｉ：ＶＡａａ￣［￣］＝ｌＸｌＺＯＸ［ ］＋ｓ×刍×［“ ］： 朗＋ ５・设Ａ一［ 椭意知［ 一嘲，［ ｛ｆ ３口一 ～，ｂ＝２ 解得 ｌｆ＋ｄ＝２。 ・ ３ ・ ｒｎ一１， ｛ ： 所以Ａ一［ ］． １ ＝一１， ６．因为口是矩阵Ｍ的属于特征值Ａ一３的一个特征向量，所以Ｍａ＝Ａａ，即Ｉ『 盘９ ］［ ］一 ｓ［ ］，所以，（＼－一ａ ＋５ ６ｍ一＝ －， 由ｎ＋６＋ｍ—ｓ，解得ｎ ，６：警，ｍ一～ １７・ ７．由题意知对任意实数 ，矩阵［３二ｍ Ｊｉ３－ｍ］总存在特征向量，设Ａ为矩阵［３二优。 ］的一个 特征值，则，（ ）一Ｉ 一 ＿１ ＿ ｌ一（ —ｚ）（ 一３）一（一２一ｍ）（ｍ一３）．令，（ ）一０，由题意知（｜＝Ｌ—ｚ）・ （Ａ一３）一（－－２－－ｍ）（ｍ－－３）一０对任意实数ｚ恒成立，所以△＝（３＋ｚ）。～１２ｘ＋４（ｍ＋２）・（３一ｍ）≥０恒 成立，即（ 一３）ｚ＋４（ ＋２）（３－－ｍ）≥Ｏ恒成立，由ｚ的任意性可知４（ｍ－Ｆ２）（３一优）≥Ｏ恒成立，所以 ２≤ｍ≤３．ｍ的取值范围为［一２，３］． 考题小牛刀——矩阵与变换 １．设Ｐ（ｚ， ）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Ｑ（ｚ ，３， ），则｛ｆ【 ｚ，一 ，一 解 ｚ ＋ 一 ， 得｛ 一【 一 （ ＋ 一 ’代入ｚ，一 ，一１：。中，得 （ｚ＋ ）一 （ —ｚ）一１一。，化简可得所求曲线方程为 — ２．设直线ｚ— 一１—０上任意一点Ｐ（ ， ）在变换 的作用下变成点Ｐ （ｚ ，ｙ ），由 ［ ］［ ｙ］一［ 得 ｃ 在直线一 ＿Ｏ上，删 １＝０，即 （－－１—６） ＋（ｎ一３）ｙ－－１＝０．又因为Ｐ（ｘ， ）在直线Ｘ－－ｙ－－１—０上，所以３：－Ｙ一１＝０・ 因此ｆ６一’解得ｎ一２， ＝一２． ａ－ ３＝－ ｌ，３．因为Ｂ一 ］删 ］ ：［ ；］［ ］ 巴 设鳓上 任意 ）在矩阵 对应的变换下 ｚ ０ ］一［ 所以 代入 ：（ｘ－－２ｙ）＋（２ ）－－２＝０，化简后得ｌ：ｘ－＝２． ４．㈤由Ｍ一［。Ｏ． 所以 ： ０］． （２）设点Ｐ（ｘ，ｙ）是曲线３，一２ｚ上任意一点，在矩阵 对应的变换作用下得到的为点Ｑ（－ｚ ，Ｙ ），则 ［ 删 》 １ ’且… …一 ，ｚ，２ ：ｚ ，即直线ｙ一２ 在矩阵Ｍ一 对应的变换作用下的曲线方程为 一专ｚ． ５．由题意，ｆ１＇ｆ２是方程，（ｆ）一｝ ６ 。ｆ＝ｌ￣－ａｂ＝Ｏ的两根． 因为Ｚ 一１，所以ｎｂ＝１．①
