初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-

析)

一．选择题（共8小题）

1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A．6

B．8

C．

D．

2．下列说法中正确的是（ ）

A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2

3．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（ ）

A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm

4．如图，在水池的正有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ ）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺

5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）

A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+

6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（ ）

A．1.5米 B．0.9米 C．0.8米 D．0.5米

7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）

A．2 B．2.6 C．3 D．4

8．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）

A．13 B．19 C．25 D．169

二．填空题（共5小题）

9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图

所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．

10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为 米．

11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于 ． 12．观察下列勾股数

第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1

…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是 （只填数，不填等式） 13．观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； …

列举：13、b、c，猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ．

三．解答题（共27小题）

14．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．

15．如图：四边形ABCD中，AB=CB=

，CD=

，DA=1，且AB⊥CB于B．

试求：（1）∠BAD的度数； （2）四边形ABCD的面积．

16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．

17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100

km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地

C点，求出A、C两点之间的距离．

18．如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．

（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？

（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？

19．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；

（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．

20．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形

的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）△ABC的面积为： ． （2）若△DEF三边的长分别为

、

、

，请在图2的正方形网格中画出相

应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为 ．

（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是 m2．

21．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为角形的面积．

、、，求这个三

如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积． 请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ． 思维拓展：

（2）已知△ABC三边的长分别为面积．

我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积． 类比创新：

（3）若△ABC三边的长分别为

＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．

如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．

（m＞0，n

a（a＞0），求这个三角形的

22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

23．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．

问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．

问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．

问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．

24．如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）； （1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；

（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；

（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．

25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？

26．（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10． （2）已知

，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．

（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：

①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=

；

②画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．

27．[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言； [定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；

[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理； [知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明∵BC=a+b，AD=

又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ∴

．

＜

，其证明步骤如下：

28．观察、思考与验证

（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；

（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．

29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的速度？ （参考数据：

=1.41，

=1.73）

30．中日争端持续，我海监船加大海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

（1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程BC的长．

31．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

m n a b c 2 1 22+12 4 22﹣12 3 1 32+12 6 32﹣12 3 2 32+22 12 32﹣22 4 3 42+32 24 42﹣32 … … … … … 其中m、n为正整数，且m＞n．

（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．

（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．

（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．

32．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为

t（0＜t＜8）．

（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度； （2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．

33．阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）理解：

①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？ （填是或不是）

②若某三角形的三边长分别为1、角形． （2）探究：

若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2

，则第三边的长为 ，

、2，则该三角形 （是或不是）奇异三

且这个直角三角形的三边之比为 （从小到大排列，不得含有分母）． （3）设问：

请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答） 34．观察下列各式，你有什么发现？ 32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，… 用你的发现解决下列问题：

（1）填空：112= + ；

（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律： ； （3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

35．小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？

36．如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB=90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．

37．如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．

38．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

39．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

40．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球

从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ） A．12 B．7+

C．12或7+

D．以上都不对

2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）

A． B． C．

D．

3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）

A．

B．﹣ C．2 D．﹣2

4．如图，带阴影的正方形面积是 ．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= ．

6．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，

（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；

（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是

无理数．

初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题

(含解析)

参与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2016秋•吴江区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A．6

B．8

C．

D．

【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=公式，求出斜边上的高． 【解答】解：由题意得，斜边为故选D．

=13．再根据直角三角形的面积

=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．

【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．

2．（2016春•抚顺县期中）下列说法中正确的是（ ） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2

【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．

【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．

A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；

B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误； C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；

D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；

故选 C．

【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．

3．（2016春•临沭县期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（ ）

A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm

【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．

【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm， BC=30×6=180cm， 故AB=故选A．

=

=195cm．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．

4．（2015春•青山区期中）如图，在水池的正有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ ）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺

【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（解得：x=12，

芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）， 故选D．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

5．（2016春•南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）

）2=（x+1）2，

A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+

【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=

，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．

【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上． ∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB=∴OA=OB=∴a=﹣1﹣

， ．

=

=

，

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．

6．（2015春•蓟县期中）一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（ ）

A．1.5米 B．0.9米 C．0.8米 D．0.5米

【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．

【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC=0.7m， ∴AC=

=

=2.4（m）．

∵梯子的顶端下滑了0.4米， ∴A′C=2m，

∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5m，A′C=2m， ∴B′C=

=1.5m，

∴BB′=B′C﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m． 故选C．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

7．（2015春•罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）

A．2 B．2.6 C．3 D．4

【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB=又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC， ∴AM=12，BN=5，

∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4． 故选D．

【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．

8．（2016春•重庆校级期中）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面

2积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）的值为（ ）

=13，

A．13 B．19 C．25 D．169

【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）

2

的值．

【解答】解：（a+b）2 =a2+b2+2ab

=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和 =13+（13﹣1） =25． 故选C．

22【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）=a+b2+2ab，

还要注意图形的面积和a，b之间的关系．

二．填空题（共5小题）

9．（2016春•固始县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 7cm≤h≤16cm ．

【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．

【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h=24﹣8=16cm；

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD=15，BD=8， ∴AB=

=17，

∴此时h=24﹣17=7cm，

所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．

故答案为：7cm≤h≤16cm．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．

10．（2015春•汕头校级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为 （1+米．

）

【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案． 【解答】解：由题意得：在直角△ABC中， AC2+AB2=BC2， 则12+22=BC2， ∴BC=

，

）m． ）．

∴则树高为：（1+故答案为：（1+

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．

11．（2016春•高安市期中）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于 24cm2 ．

【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm， ∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，

∴196﹣2ab=100，即ab=48，

则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）． 故答案为：24cm2．

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

12．（2016春•嘉祥县期中）观察下列勾股数

第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1

…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是 15，112，113 （只填数，不填等式）

【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．

【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1， 第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1， 第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1， 第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，

∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．

故答案为：15，112，113．

【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．

13．（2009春•武昌区期中）观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； …

列举：13、b、c，猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= 84 ，c= 85 ．

【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（（

），由此规律解决问题．

，5=；

；

），

【解答】解：在32=4+5中，4=在52=12+13中，12=…

则在13、b、c中，b=

，13=

=84，c==85．

【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．

三．解答题（共27小题）

14．（2016春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．

【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，

得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0， 即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0， 由非负数的性质可得：

，

解得，

∵52+122=169=132，即a2+b2=c2， ∴∠C=90°，

即三角形ABC为直角三角形．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判

断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

15．（2016秋•永登县期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=且AB⊥CB于B．

试求：（1）∠BAD的度数； （2）四边形ABCD的面积．

，CD=

，DA=1，

【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形， （1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；

（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题． 【解答】解：（1）连接AC， ∵AB⊥CB于B， ∴∠B=90°，

在△ABC中，∵∠B=90°， ∴AB2+BC2=AC2， 又∵AB=CB=

，

∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°， ∵CD=

，DA=1，

∴CD2=5，DA2=1，AC2=4． ∴AC2+DA2=CD2，

由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；

（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B， ∴S△ABC=∵AB=CB=

，S△DAC=，DA=1，AC=2，

，

∴S△ABC=1，S△DAC=1 而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC， ∴S四边形ABCD=2．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．

16．（2016春•邹城市校级期中）如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，

的三角形，请你帮助小华作出来．

【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案． 【解答】解：如图所示：△ABC即为所求．

【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键．

17．（2015春•平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100

km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走

了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．

【分析】根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【解答】解：∵AD∥BE ∴∠ABE=∠DAB=60° ∵∠CBE=30°

∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°， 在Rt△ABC中，∴

=

=200，

∴A、C两点之间的距离为200km．

【点评】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．

18．（2015秋•新泰市期中）如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．

（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？

（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？

【分析】（1）过A作AE⊥BD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果；

（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果．

【解答】解：（1）过A作AE⊥BD于E，如图1所示： ∵台风中心在BD上移动，

∴AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离， 在Rt△ABE中，∠ABE=90°﹣60°=30°， ∴AE=AB=160，

即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km．

（2）∵台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响， ∴线段CD就是气象台A受到台风影响的路程， 连接AC，如图2所示：

在Rt△ACE中，AC=200km，AE=160km， ∴CE=

=120km，

∵AC=AD，AE⊥CD， ∴CE=ED=120km， ∴CD=240km．

∴台风影响气象台的时间会持续240÷20=12（小时）．

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键．

19．（2015春•阳东县期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；

（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．

【分析】（1）我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可．

（2）△PQB形成等腰三角形，即BP=BQ，我们可设时间为t，列出方程2t=8﹣1×t，解方程即得结果．

（3）直线PQ把原三角形周长分成相等的两部分，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为24cm，则有BP+BQ=12，即2t+（8﹣1×t）=12，解方程即可． 【解答】解：（1）出发2秒后，AP=2，BQ=4， ∴BP=8﹣2=6，PQ=

=2；（3分）

（2）设时间为t，列方程得 2t=8﹣1×t， 解得t=；（6分）

（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分， 由AB=8cm，BC=6cm， 根据勾股定理可知AC=10cm， 即三角形的周长为8+6+10=24cm， 则有BP+BQ=×24=12，

设时间为t，列方程得：2t+（8﹣1×t）=12， 解得t=4，

当t=4时，点Q运动的路程是4×2=8＞6，

所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分．（10分） 【点评】本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强．

20．（2014秋•江阴市期中）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

、

、

，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）△ABC的面积为： 3.5 ． （2）若△DEF三边的长分别为

、

、

，请在图2的正方形网格中画出相

应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为 3 ．

（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论． （4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是 110 m2．

【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；

（2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；

（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ；

（4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．

【解答】解：（1）△ABC的面积=3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3， =9﹣1﹣1.5﹣3，

=9﹣5.5， =3.5；

（2）△DEF如图2所示；

面积=2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4， =8﹣1﹣2﹣2， =8﹣5， =3；

（3）∵△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=AE，∠BAE=90°，

∴∠PAE+∠BAG=180°﹣90°=90°， 又∵∠AEP+∠PAE=90°， ∴∠BAG=∠AEP， 在△ABG和△EAP中，

，

∴△ABG≌△EAP（AAS）， 同理可证，△ACG≌△FAQ， ∴EP=AG=FQ；

（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h， 在Rt△PRH中，PH=在Rt△RQH中，QH=∴PQ=

=6﹣

+

=6， ，

+13﹣h2，

==

， ，

两边平方得，25﹣h2=36﹣12

整理得，=2，

两边平方得，13﹣h2=4， 解得h=3，

∴S△PQR=×6×3=9，

∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2． 故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．

【点评】本题考查了勾股定理，构图法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键．

21．（2016春•周口期中）（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

，求这个三角形的面积．

如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积． 请你将△ABC的面积直接填写在横线上 3.5 ． 思维拓展：

（2）已知△ABC三边的长分别为

a（a＞0），求这个三角形的

、

、

面积．

我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积． 类比创新：

（3）若△ABC三边的长分别为

＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．

如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．

（m＞0，n

【分析】（1）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算即可；

（2）根据勾股定理在网格中画出相应的△ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积；

（3）根据勾股定理在网格中画出相应的△ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积．

【解答】解：（1）△ABC的面积=2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×3=3.5， 故答案为：3.5；

（2）如图2，△ABC的面积=3a×4a﹣×3a×2a﹣×a×4a﹣×2a×2a=5a2； （3）如图3，△ABC的面积=4m×4n﹣×m×4n﹣×3m×n﹣×4m×3n=6.5mn．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

22．（2015春•罗田县期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：如图，由题意知AB=3，CD=14﹣1=13，BD=24． 过A作AE⊥CD于E．则CE=13﹣3=10，AE=24， ∴在Rt△AEC中， AC2=CE2+AE2=102+242． ∴AC=26，26÷5=5.2（s）．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

23．（2014春•镇原县校级期中）（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．

问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．

问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．

问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．

【分析】这三道题主要在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得到相同的结论．

【解答】解：探究1：由等边三角形的性质知：S′=则S′+S″=

（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．

a2，S″=

b2，S=

c2，

探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′=a2，S″=b2，S=c2． 则S′+S″=（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．

探究3：由圆的面积计算公式知：S′=πa2，S″=πb2，S=πc2．

则S′+S″=π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．

【点评】熟悉各种图形的面积公式，结合勾股定理，运用等式的性质进行变形．

24．（2014春•三水区校级期中）如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）；

（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；

（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；

（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．

【分析】（1）过C点、D点向x轴、y轴作垂线，运用勾股定理计算，结合全等可证；

（2）连接DA，证△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=根据勾股定理逆定理可证∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°；

（3）作CF⊥OA，F为垂足，有CF2=CE2﹣EF2，CF2=CA2﹣AF2=CA2﹣（AE+EF）2，设EF=x，列出关于x的方程，求得x=，再在Rt△CEF中，根据勾股定理求得CF=

，然后由三角形的面积公式即可求解．

，

【解答】（1）证明：过C点、D点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N． ∵C（a，b），D（b，﹣a）（a、b均大于0）， ∴OM=ON=a，CM=DN=b， ∴△OCM≌△ODN（SAS）， ∴∠COM=∠DON． ∵∠DON+∠MOD=90°， ∴∠COM+∠MOD=90°，

∵OC=OD=，

∴△COD是等腰直角三角形， ∴∠ODC=45°；

（2）解：连接DA． 在△OCB与△ODA中，

，

∴△OCB≌△ODA（SAS）， ∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA． ∵OC=OD=2， ∴CD=

．

∵AD2+CD2=1+8=9，AC2=9， ∴AD2+CD2=AC2， ∴∠ADC=90°，

∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；

（3）解：作CF⊥OA，F为垂足，由勾股定理得 CF2=CE2﹣EF2，CF2=CA2﹣AF2=CA2﹣（AE+EF）2， 设EF=x，可得52﹣x2=72﹣（3+x）2， 解得x=．

在Rt△CEF中，得CF=∴OF=CF=

，

=

=

．

=

，

∴△OCA的面积=

【点评】本题考查了全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．

25．（2015春•定州市期中）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？

【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可． 【解答】解：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度． 由题意得：AB=20，DC=30，BC=50， 设EC为x肘尺，BE为（50﹣x）肘尺，

在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=202+（50﹣x）2，DE2=DC2+EC2=302+x2， 又∵AE=DE，

∴x2+302=（50﹣x）2+202， x=20，

答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺

另解：设：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的树根（50﹣x）肘尺． 得方程：x2+302=（50﹣x）2+202 可解的：x=20；

答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．

【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．

26．（2009秋•曲阜市校级期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10． （2）已知

，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．

（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：

①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=

；

②画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．

【分析】（1）（2）根据化简整式的方法，化简方程式； （3）

=

，所以画

的线段，让其成为直角三角形的斜边即可，该直

角三角形一条直角边为2，一条直角边为4，根据题意解题． 【解答】解：

（1）x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1） =x2﹣2x﹣（x2﹣1） =x2﹣2x﹣x2+1 =﹣2x+1，

代入x=10时，原式=﹣2x+1=﹣19． （2）（x+1）2﹣4（x+1）+4 =x2+2x+1﹣4x﹣4+4 =x2﹣2x+1， 代入x=原式==3+1﹣=7﹣

， ﹣2（﹣

+2+1

）+1

（3）①根据勾股定理，AB==，

②根据题意画出等腰直角三角形，

∵∠ACB=90°∴AC2+BC2=AB2，且AC=BC， ∴AC=BC=

．

，图形见上图．

答：该直角三角形腰长为

【点评】本题考查的是整式的化简，考查等腰直角三角形中勾股定理的运用，画出图形是解本题的关键．

27．（2015春•新泰市期中）[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根

据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言； [定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；

[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理； [知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明∵BC=a+b，AD= ＜

，其证明步骤如下：

又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 BC＜AD ∴

．

【分析】（1）根据勾股定理用文字及符号语言叙述；

（2）利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED=90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2=c2； （3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=

c，从而可证

＜

．

【解答】解：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

（2）如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴∠AEB=∠EDC； 又∵∠EDC+∠DEC=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°； ∴∠AED=90°；

S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED=（a+b）（a+b）=ab+ab+c2； （a2+2ab+b2）=ab+ab+c2； 整理得a2+b2=c2． （3）∵AD=∴a+b＜

c，BC＜AD，

＜

．

c，即

故答案为：；BC＜AD

【点评】考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．

28．（2015秋•贵阳校级期中）观察、思考与验证

（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 （a+b）

2

=a2+2ab+b2 ；

（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．

【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；

（2）由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出结论；

（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．

【解答】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；理由如下：

∵大正方形的边长为a+b， ∴大正方形的面积=（a+b）2，

又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）证明：∵△ABC≌△CDE， ∴∠BAC=∠DCE， ∵∠ACB+∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠DCE=90°， ∴∠ACE=90°；

（3）证明：∵∠B=∠D=90°， ∴∠B+∠D=180°，

∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，

∴四边形ABDE的面积=（a+b）（a+b）=ab+c2+ab， 整理得：a2+b2=c2．

【点评】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．

29．（2016春•平定县期中）超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的速度？ （参考数据：

=1.41，

=1.73）

【分析】首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度．

【解答】解：由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°， 在直角三角形BPO中， ∵∠BPO=45°， ∴BO=PO=100m

在直角三角形APO中， ∵∠APO=60°， ∴AO=PO•tan60°=100∴AB=AO﹣BO=（100

m，

﹣100）≈73（米），

∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，

∴速度为73÷3≈24.3米/秒=87.6千米/时＞80千米/时， 答：此车超过每小时80千米的速度．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．

30．（2016秋•锡山区期中）中日争端持续，我海监船加大海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程BC的长．

【分析】（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可． （2）利用第（1）题中的BC=AC设BC=x海里，则AC=x海里．在直角三角形BOC中，BC=x海里、OC=（45﹣x）海里，利用勾股定理列出方程152+（45﹣x）2=x2，解得即可．

【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；

（2）设BC为x海里，则CA也为x海里， ∵∠O=90°，

∴在Rt△OBC中，BO2+OC2=BC2， 即：152+（45﹣x）2=x2， 解得：x=25，

答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．

31．（2015秋•南京期中）在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

m n a b c 2 1 22+12 4 22﹣12 3 1 32+12 6 32﹣12 3 2 32+22 12 32﹣22 4 3 42+32 24 42﹣32 … … … … … 其中m、n为正整数，且m＞n．

（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．

（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= m2+n2 ，b= 2mn ，c= m2﹣n2 ．

（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；

如果不是，请举出反例．

【分析】（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据给出的数据总结即可；

（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断． 【解答】解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3， ∵32+42=52，

∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长； （2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；

（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形， ∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，

b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4， ∴a2=b2+c2，

∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．

32．（2016秋•盐城期中）如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．

（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度； （2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．

【分析】（1）根据点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位可知，当t=6秒时，DP=6，AQ=3即可画出线段PQ；

（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了t个单位，Q运动了t个单位，由题意

得 PQ=BQ，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解得t即可． 【解答】解：（1）如图所示，由勾股定理得PQ=

=5；

（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了t格，Q运动了t格，由题意得PQ=BQ， 即（t﹣t）2+42=（8﹣t）2，解得t=6（秒）．

答：当t为6秒时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

33．（2015秋•青岛校级期中）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）理解：

①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？ 是 （填是或不是）

②若某三角形的三边长分别为1、三角形． （2）探究：

、2，则该三角形 是 （是或不是）奇异

若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为 2 ，且这个直角三角形的三边之比为 1：： （从小到大排列，不得含有分母）． （3）设问：

请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）

【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可； （2）分2

是斜边和直角边两种情况讨论，再根据勾股定理判断出所给的三角

形是否符合奇异三角形的定义；（3）结合（2）提出问题即可． 【解答】解：（1）①设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2， ∴符合“奇异三角形”的定义．

∴“等边三角形一定是奇异三角形”，正确； 故答案为：是； ②∵12+（

）2=8=2×22，

、2，则该三角形是奇异三角形；

∴若某三角形的三边长分别为1、故答案为：是； （2）分两种情况： ①当2∵22+（2

为斜边时，第三边长=）2≠2×22，

=2，

∴不是奇异三角形； ②当2∵22+（2

为直角边长时，第三边长=）2=2×（2

）2，

=2

，

∴是奇异三角形；

直角三角形的三边之比为2：2故答案为：2

，1：

：

；

：2

=1：

：

；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，a：b：c的比是多少．

【点评】本题考查的是奇异三角形的定义、勾股定理的应用，在解答（2）时要注意分类讨论是解题关键．

34．（2015秋•东海县期中）观察下列各式，你有什么发现？ 32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，… 用你的发现解决下列问题： （1）填空：112= 60 + 61 ；

（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律： （2n+1）2=（

）+（

） ；

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

【分析】认真观察三个数之间的关系可得出规律：第n组数为（2n+1），（

），（

），由此规律解决问题．

【解答】解：（1）112=b+c，这是第5个式子， 故112=

+

=60+61；

故答案为：60，61； （2）（2n+1）2=（故答案为：（2n+1）2=（

）+（

）+（

）；

）；

（3）由已知各式中的勾股数特征， [=[

=（2n+1）2． 所以得证．

【点评】本题考查了勾股定理的知识及数字的规律变化，解答本题的关键是仔细观察所给式子，要求同学们能有一般得出特殊规律．

35．（2015春•岱岳区期中）小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．若

]2﹣[+

][]2

﹣

]=（2n+1）2×1

施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？

【分析】根据题意得出∠ACD=90°，再利用勾股定理得出BC的长即可得出答案． 【解答】解：∵∠ABD=130°，∠D=40°， ∴∠DBC=50°，则∠ACD=90°， ∵BD=1000米，CD=800米， ∴BC=600m，

故600÷100=6（天）， 答：施工队6天能挖完．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出∠ACD的度数是解题关键．

36．（2016春•胶州市期中）如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB=90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．

【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC=BE=7cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE=7cm， ∴AC=∴BC=2

，

×

=37（cm2）．

=

=

（cm），

，

∴该零件的面积为：×

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．

37．（2013秋•东台市期中）如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．

【分析】首先确定5秒时P、Q的位置，此时P与D重合，Q在AB边上，且BQ=4厘米，然后根据勾股定理的逆定理判定△BPQ为直角三角形，且∠BQP=90°，再由邻补角定义得到∠AQP=90°，从而得出△APQ为直角三角形．

【解答】解：∵AB=BD=5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，

∴5秒时P点运动路程为2×5=10（厘米），

而AB+BD=10厘米， ∴此时P与D重合．

∵AB=BC=CD=5厘米，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒，

∴5秒时Q点运动路程为2.8×5=14（厘米）， 而DC+CB+BA=15厘米，

∴Q在AB边上，且BQ=4厘米，如图．

在△BPQ中，∵BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP=5厘米， ∴BQ2+PQ2=BP2，

∴△BPQ为直角三角形，∠BQP=90°， ∴∠AQP=180°﹣∠BQP=90°， ∴△APQ为直角三角形．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，行程问题中路程、速度、时间的关系，邻补角定义，难度适中．利用数形结合思想确定5秒时P、Q的位置是解题的关键．

38．（2015春•嵊州市校级期中）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

【分析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，由题意得：AC=20t，AE=AB﹣BE=100﹣40t，EC=20，根据勾股定理可得（20t）2+（100﹣40t）2=202，方程无解，进而可得不会受影响．

【解答】解：不会受影响，

假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE， 则AC=20t，

AE=AB﹣BE=100﹣40t， AC2+AE2=EC2．

（20t）2+（100﹣40t）2=202， 整理得：5t2﹣20t+24=0 ∵△=（﹣20）2﹣4×5×24＜0 ∴方程无实数根， ∴不会受影响．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

39．（2014秋•江宁区期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

【分析】设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设OA=OB=x尺， ∵EC=BD=5尺，AC=1尺，

∴EA=EC﹣AC=5﹣1=4（尺），OE=OA﹣AE=（x﹣4）尺， 在Rt△OEB中，OE=（x﹣4）尺，OB=x尺，EB=10尺， 根据勾股定理得：x2=（x﹣4）2+102， 整理得：8x=116，即2x=29，

解得：x=14.5．

则秋千绳索的长度额14.5尺．

【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

40．（2012秋•盱眙县期中）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的长．

【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，设AC为x，则OC=45﹣x， 由勾股定理可知OB2+OC2=BC2， 又∵OA=45，OB=15，

把它代入关系式152+（45﹣x）2=x2，

解方程得出x=25（cm）．

答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．

【点评】根据题意找出等量关系，再由勾股定理即可得到答案．

1．（2016秋•兰州期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ） A．12 B．7+

C．12或7+ D．以上都不对

【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论． 【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，

①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，

由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得，x=故选C．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．

2．（2016秋•深圳校级期中）图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）

，此时这个三角形的周长=3+4+

，

A． B． C．

D．

【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案． 【解答】解：A、A代表的正方形的面积为400﹣225=175；

B、D代表的正方形的面积为400﹣120=280； C、B代表的正方形的面积为400+225=625； D、C代表的正方形的面积为256﹣112=144． 故选D．

【点评】本题考查了勾股定理，仔细观察选项所给图形的特点，利用勾股定理进行解答是关键．

3．（2016春•乐东县期中）如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）

A． B．﹣ C．2 D．﹣2

【分析】根据图形特点，求出斜边的长，即得OA的长，可求出x的值． 【解答】解：由图中可知直角三角形的两直角边为：1，1， 那么斜边长为：在原点的左边，则x=﹣故选B．

【点评】本题需注意：确定点A的符号后，点A所表示的数的大小是距离原点的距离．

二．填空题（共2小题）

4．（2016秋•肃州区校级期中）如图，带阴影的正方形面积是 100 ．

=

，那么0到A的距离为．

，

【分析】设带阴影的正方形面的边长为a，在该直角三角形中，由勾股定理可求出a2，正方形的面积=边长×边长=a2，将求出的a2代入即可求出该正方形的面积．

【解答】解：设带阴影的正方形面的边长为a，如上图所示： 在直角三角形中，由勾股定理可得：

a2=62+82=100，

该正方形的面积为a2=100．

【点评】本题考查了勾股定理和求正方形的面积公式，在直角三角形，由勾股定理可求出正方形边长的平方，即求出了正方形的面积．

5．（2016秋•盐都区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= 1.4 ．

【分析】设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．

【解答】解：设CD=x，则BC=5+x， 在Rt△ACD中，AC2=AD2﹣CD2=25﹣x2， 在Rt△ABC中，AC2=AB2﹣BC2=﹣（5+x）2， 所以，25﹣x2=﹣（5+x）2， 解得x=1.4， 即CD=1.4． 故答案为：1.4．

【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键．

三．解答题（共1小题）

6．（2016春•宜昌校级期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点， （1）在图①中，画一个面积为10的正方形；

（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是

无理数．

【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为正方形即可； （2）①画一个边长为②画一个边长为

，

，2，

，

的直角三角形即可；

，画一个边长为

的直角三角形即可；

【解答】解：（1）如图①所示：

（2）如图②③所示．

【点评】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．