2007年高考文科数学(北京)卷

数学（文史类）（北京卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至

9页，共150分．考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知costan0，那么角是 Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数f(x)3(0x≤2)的反函数的定义域为 Ａ．(0，)

Ｂ．(1，9]

Ｃ．(0，1)

Ｄ．[9，)

x3．函数f(x)sin2xcos2x的最小正周期是 Ａ．

π 2

Ｂ．π

Ｃ．2π

Ｄ．4π

x2y24．椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，

ab若MN≤F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是

1Ａ．0，

2

2Ｂ．0，

2

11 Ｃ．，2

2，1 Ｄ． 25．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌

照号码共有

1Ａ．C262424A10个 Ｂ．A26A10个

1 Ｃ．C261024个

Ｄ．A2610个

24xy5≥，6．若不等式组y≥a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

0≤x≤2Ａ．a5

Ｂ．a≥7

Ｃ．5≤a7

Ｄ．a5或a≥7

7．平面∥平面的一个充分条件是 Ａ．存在一条直线，a∥，a∥

Ｂ．存在一条直线a，a，a∥

Ｃ．存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥ Ｄ．存在两条异面直线a，b，a，a∥，b∥

8．对于函数①f(x)x2，②f(x)(x2)题的真假：

命题甲：f(x2)是偶函数；

2，③f(x)cos(x2)，判断如下两个命

命题乙：f(x)在(，)上是减函数，在(2，)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是

Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②

Ｄ．③

第II卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是 32 ．

，2，3，)，则此数列的通项公式为 10．若数列an的前n项和Snn10n(n1 ．

11．已知向量a=2，，4b=11，．若向量b(a+b)，则实数的值是 ．

12．在△ABC中，若tanA1，C150，BC1，则AB 3 ．

13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于 ．

14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x) 1 2

2 1

3 1 x f(x) 1 3 2 2

3 1 ．

则f[g(1)]的值为 ；当g[f(x)]2时，x

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）

xa0的解集为P，不等式x1≤1的解集为Q． x1（I）若a3，求P；

记关于x的不等式

（II）若QP，求正数a的取值范围．

16．（本小题共13分）

数列an中，a12an1ancn（c是常数，n1，且a1，a2，a3成公比不为1，2，3，）的等比数列． （I）求c的值；

（II）求an的通项公式． 17．（本小题共14分）

π，斜边AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直6线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点． （I）求证：平面COD平面AOB； A （II）求异面直线AO与CD所成角的大小．

如图，在Rt△AOB中，OAB

D

O C 18．（本小题共12分）

某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；

B

19．（本小题共14分）

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x3y60点T(11)，在AD边所在直线上． y （I）求AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆P过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外TC D M 切，求动圆P的圆心的轨迹方程． N O B A 20．（本小题共14分）

已知函数ykx与yx22(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是

yx22(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．

（I）求k的取值范围；

（II）设t为点M的横坐标，当x1x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（III）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

x 参

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 7．Ｄ 8．Ｃ

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．3 13．

10．2n11

14．1

11．3

5．Ａ

6．Ｃ

12．10 2

7 251

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） 解：（I）由

x30，得Px1x3． x1（II）Qxx1≤1x0≤x≤2．

由a0，得Px1xa，又QP，所以a2， 即a的取值范围是(2，)． 16．（共13分）

解：（I）a12，a22c，a323c， 因为a1，a2，a3成等比数列， 所以(2c)2(23c)， 解得c0或c2．

当c0时，a1a2a3，不符合题意舍去，故c2． （II）当n≥2时，由于

2a2a1c， a3a22c， 

anan1(n1)c，

所以ana1[12(n1)]cn(n1)c． 223，)． 又a12，c2，故an2n(n1)nn2(n2，当n1时，上式也成立，

所以ann2n2(n1，2，)．

17．（共14分） 解法一：

（I）由题意，COAO，BOAO， BOC是二面角BAOC是直二面角， COBO，又AOBOO，

A

CO平面AOB， 又CO平面COD．

平面COD平面AOB．

（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO， CDE是异面直线AO与CD所成的角．

1在Rt△COE中，COBO2，OEBO1，

C 2CECO2OE25．

又DED

O E B

1AO3． 2CE515． DE3315． 3在Rt△CDE中，tanCDE异面直线AO与CD所成角的大小为arctan解法二：

（I）同解法一．

0，23)，C(2，（II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O(0，0，0)，A(0，0，0)，D(0，1，3)，

OA(0，0，23)，CD(2，1，3)，

z A OACDcosOACD，

OACD66． 423226． 4D 异面直线AO与CD所成角的大小为arccosO 18．（共13分） 解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为

x C B y

6A101512P6≥.1512．

101063C6931458（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为P0.01458． 66101019．（共14分）

解：（I）因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．

又因为点T(11)，在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y13(x1)．

3xy20．

（II）由x3y60，解得点A的坐标为(0，2)，

3xy2=0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)． 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又AM(20)2(02)222．

22从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)y8．

（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以PMPN22， 即PMPN22．

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a2，半焦距c2． 所以虚半轴长bc2a22．

x2y21(x≤2)． 从而动圆P的圆心的轨迹方程为

2220．（本小题共14分）

ykx，2解：（I）由方程消得···················· ① xkx20． ·y2yx2依题意，该方程有两个正实根，

k280，故解得k22． x1x2k0，（II）由f(x)2x，求得切线l1的方程为y2x1(xx1)y1， 由y1x122，并令y0，得tx11 2x1kk284x1，x2是方程①的两实根，且x1x2，故x1，k22，

22kk8x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是(0，2)．

t是关于x1的增函数，定义域为(0，2)，所以值域为(，0)，

（III）当x1x2时，由（II）可知OMtx11． 2x1类似可得ONx21xxxx．OMON1212． 2x22x1x2由①可知x1x22． 从而OMON0．

当x2x1时，有相同的结果OMON0． 所以OMON．