高一数学上期末测试卷(八)解析版

高一上期末测试卷（八）解析版

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（ ） A．M⊆N

B．N⊆M

C．M∩N={2，3}

D．M∪N={1，4}

【考点】集合的表示法．

【分析】利用集合与集合间的基本关系与基本运算判断即可． 【解答】解：∵1∈M，1∉N，∴M⊆N不正确；同理知N⊆M不正确； ∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3，4}； 故选C．

2．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．f（x）=C．f（x）=

，g（x）=（，g（x）=x

）2

B．f（x）=1，g（x）=x0 D．f（x）=x﹣1，g（x）=

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可． 【解答】解：f（x）=同的函数．

f（x）=1，g（x）=x0，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数． f（x）=

，g（x）=x，两个函数的定义域与对应法则相同，是相同的函数．

两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数． ，g（x）=（

）2，两个函数的定义域不相同，所以不是相

f（x）=x﹣1，g（x）=故选：C．

3．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（ ） A．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限

B．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限

【考点】确定直线位置的几何要素．

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【分析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．

【解答】解：直线ax+by=c 即 y=﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率 k=﹣＞0， 直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选C． 4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ③m∥n，m∥α⇒n∥α ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是（ ） A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】由题意用线面垂直和面面平行的定理，判断线面和面面平行和垂直的关系． 【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确； ②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面； ③中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；故选C．

5．已知f（x）=（x﹣m）（x﹣n）+2，并且α、β是方程f（x）=0的两根，则实数m，n，α，β的大小关系可能是（ ）

A．α＜m＜n＜β B．m＜α＜β＜n C．m＜α＜n＜β 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．

【分析】先设g（x）=（x﹣m）（x﹣n），从条件中得到f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到，然后结合图象判定实数α，β、m、n的大小关系即可． 【解答】解：设g（x）=（x﹣m）（x﹣n）， 则f（x）=（x﹣m）（x﹣n）+2，

分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象 可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到， 如图，由图可知：m＜α＜β＜n． 故选B

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D．α＜m＜β＜n

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6．若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．

【分析】由函数f（x）=logax（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间[a，2a]上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值． 【解答】解：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数．

∴logaa=3•loga2a．∴loga2a=．∴1+loga2=．∴loga2=﹣．∴a=故选A

7．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为（ ） A．3

B．6

C．36

D．9

．

【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

【分析】三棱锥扩展为四棱柱（长方体），两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．

【解答】解：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，

就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：所以该三棱锥的外接球的半径为：3．故选A．

8．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其侧面积（ ）

=6，

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A．4 B． C． D．8

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由题意可知：原几何体为正四棱锥，侧面斜高为2，底边是2，即可得出． 【解答】解：由题意可知：原几何体为正四棱锥，侧面斜高为2，底边是2，可得： 侧面积S=4×故选：D．

9．设f（x）=A．10

B．11

，则f（5）的值为（ ）

C．12

D．13

=8．

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．

【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值． 【解答】解析：∵f（x）=

，

∴f（5）=f[f（11）]=f（9）=f[f（15）]=f（13）=11．故选B． 10．定义运算：

，则函数f（x）=1⊗2x的图象是（ ）

A． B．

C． D．

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【考点】分段函数的应用．

【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函

数f（x）=1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．

【解答】解：由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数

f（x）=1⊗2x=

11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，

且EF=，则下列结论中错误的是（ ）

，因此选项A中的图象符合要求．故选A

A．AC⊥BE B．EF∥面ABCD

C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．

【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，

∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确． ∵点A、B到直线B1D1的距离不相等， ∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等， 故D错误．

故选：D．

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12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），且当x∈[0，1]时在f（x）=﹣x2+1，若a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有5个根xi（i=1，2，3，4，5），则x1+x2+x3+x4+x5的值为（ ） A．7

B．8

C．9

D．10

【考点】函数的零点与方程根的关系；数列的求和．

【分析】确定f（x）是周期为4的函数，f（x）关于（1，0）对称，从而可得 f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1．f（x）=﹣1时，x=2；0＜f（x）＜1时， 根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8，即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=﹣x2+1 ∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=f（x），

又f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的函数， ∵f（x）是偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），∴f（2+x）+f（﹣x）=0， 以x﹣1代x，可得f（1+x）+f（1﹣x）=0，

∴f（x）关于（1，0）对称，f（x）在[﹣1，5]上的图象如图

∵a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有5个根xi（i=1，2，3，4，5）， 结合函数f（x）的图象可得f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1

当f（x）=﹣1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和 为0+8=8， ∴x1+x2+x3+x4+x5的值为10 故选D．

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二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m= ﹣3 ． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】由题意可得

，解之即可得到答案．

，

【解答】解：∵直线2x+（m+1）x+4=0与直线mx+3y+4=0平行，∴由又

，解得m=﹣3，或2，

1，∴m≠2，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．

14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为

．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．

【分析】将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，进行等体积转化 V A﹣DED1=V E﹣ADD1后体积易求

【解答】解：将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则V A﹣DED1=V E﹣ADD1，

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其中S△ADD1=SA1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1， 故

． 故答案为：

15．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+ex（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为 ln6﹣ ． 【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．

【分析】由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．

【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x+ex，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6 又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣ 故答案为：ln6﹣ 16．

是（﹣∞，+∞）上的减函数，a的取值范围是 [，） ．

【考点】函数单调性的性质． 【分析】根据题意可得

，从而可求得a的取值范围．

【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，

∴解得≤a＜．故答案为：[，）．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．计算下列各式： （1）（

×

）6+（

）

﹣4（

）．

﹣

×80.25﹣（﹣2017）0

（2）log2.56.25+lg0.01+ln

【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．

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【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可， （2）根据对数的运算性质计算即可 【解答】 解：（1）原式=

×

+（

）

﹣4×（）

﹣

2

﹣1

=4×27+2﹣7﹣2﹣1=100

（2）原式=2﹣2+﹣2×3=﹣

．

18．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}． （1）求A∩B；B∪（∁UA）；

（2）已知集合C={x|a≤x≤2﹣a}，若C∪（∁UB）=R，求实数a的取值范围． 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】（1）根据交集与并集、补集的定义进行计算即可；

（2）根据补集与并集的定义，得出关于a的不等式组，求出解集即可． 【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}；

∴A∩B={x|2＜x≤5}； ∁UA={x|x≤2或x≥9}， ∴B∪（CUA）={x|x≤5，或x≥9}； （2）∵∁UB={x|x＜﹣2或x＞5}，

又集合C={x|a≤x≤2﹣a}，且C∪（∁UB）=R，∴解得a≤﹣3，∴实数a的取值范围是a≤﹣3． 19．直线l过点

，且与x轴，y轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，

，

当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 【考点】直线的点斜式方程．

【分析】设出直线方程，求出直线和x轴和y轴的交点坐标，根据三角形的面积求出直线方程即可．

【解答】解：设直线l方程为y=kx+b，k＜0，

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故直线l交x轴的交点为，y轴交点为（0，b）．

当△AOB的面积为6时，，解得，或，

∴直线l的方程为或y=﹣3x+6．

20．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上一点

（Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D﹣D1CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积

（Ⅱ） 当点E在AB上移动时，是否始终有D1E⊥A1D，证明你的结论．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

【分析】（ I）由于△DCE的体积不变，点E到平面DCC1D1的距离不变，因此三棱锥

D﹣D1CE的体积不变．

（II）利用正方形的性质、线面垂直的判定余弦值定理可得A1D⊥平面AD1E，即可证明． 【解答】解：（ I）三棱锥D﹣D1CE的体积不变， ∵S△DCE=∴

=

==

=1，DD1=1．

=

．

（ II）当点E在AB上移动时，始终有D1E⊥A1D， 证明：连接AD1，∵四边形ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1， ∵AE⊥平面ADD1A1，A1D⊆平面ADD1A1，∴A1D⊥AB． 又AB∩AD1=A，AB⊂平面AD1E，∴A1D⊥平面AD1E， 又D1E⊂平面AD1E，∴D1E⊥A1D．

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21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC． （1）求证：平面POB⊥平面PAD； （2）若PA∥平面BMO，求

的值．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）证明四边形BCDO是平行四边形，得出OB⊥AD；再证明BO⊥平面PAD，从而证明平面POB⊥平面PAD； （2）解法一：由

，M为PC中点，证明N是AC的中点，MN∥PA，PA∥平面BMO．

．

解法二：由PA∥平面BMO，证明N是AC的中点，M是PC的中点，得【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO； 又∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°，即OB⊥AD；

，O为AD的中点，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD； 又∵BO⊂平面POB，∴平面POB⊥平面PAD； （2）解法一：

，即M为PC中点，以下证明：

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连结AC，交BO于N，连结MN，

∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，∴N是AC的中点， 又点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，

∵PA⊄平面BMO，MN⊂平面BMO，∴PA∥平面BMO． 解法二：连接AC，交BO于N，连结MN，

∵PA∥平面BMO，平面BMO∩平面PAC=MN，∴PA∥MN； 又∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC， ∴N是AC的中点， ∴M是PC的中点，则

22．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．

设f（x）=

．

．

（1）求a、b的值；

（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若f（|2x﹣1|）+k•

﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．

【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故

，由此解得a、b的值．

﹣2≥k•2x，故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，

（2）不等式可化为 2x+

求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围． （3）方程f（|2x﹣1|）+k•

﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，

（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数 h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围． 【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

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∵a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，故（2）由已知可得f（x）=x+﹣2， 所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+可化为 1+（

）2﹣2•

≥k，令t=

，即，解得．

﹣2≥k•2x，

，则 k≤t2﹣2t+1．

因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立． 记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）min=h（1）=0， 所以k的取值范围是（﹣∞，0]． （3）方程f（|2x﹣1|）+k•

﹣3k=0可化为：

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0， 令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）， ∵方程f（|2k﹣1|）+k•∴由t=|2x﹣1|的图象知，

﹣3k=0有三个不同的实数解，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2， 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或

∴k＞0

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