等式恒成立问题

等式恒成立问题

一、学情检测

1.已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24，则5a-b=_______.

2.动直线(2-a)x+(3a-4)y+2a-1=0(a∈R)恒过的定点坐标为_________.

3.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的，如果存在常数t，使得f(x+t)=-tf(x)恒成立，那么称f(x)是一个“t型函数”，则下列命题中正确的有_________(填写所有正确序号)

1

①f(x)=0是常值函数中唯一一个“t型函数”；②“ 型函数”至少有一个零点；

2

1

③f(x)=|x-|是一个“t型函数”；④f(x)=x2是一个“t型函数”.

2

思考：还有哪些等式恒成立问题，处理等式恒成立问题的基本策略是什么？

二、问题探究

问题1在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

问题2设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和.是否存在常数k和等差数列{an}，使kan2－1=S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由.

问题3设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明：数列{cn}不是等比数列.

三、总结提炼：

（1）等式恒成立问题表现形式通常有：①等式在R上恒成立；②f(x)为奇（偶）函数；③f（x）为周期函数；④f(x)有对称轴（或对称中心）；⑤数列{an}为等差（比）数列；⑥方程有无穷多个解；⑦定点、定值等．

（2）等式恒成立问题的解决方法：①特殊化思想（取特殊值，特殊到一般）；②恒成立思想：问题转化为对某一变量恒成立，利用多项式恒成立条件，即a0+a1x+a2x2+…+anxn=0对一切x∈R恒成立，等价于a0=a1=a2=…=an=0．

（3）处理等式不恒成立的方法：举反例．

四、跟踪训练

1.已知函数f(x)=x+a为奇函数，则常数a=______.

2-1

1

2.若函数f(x)=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2，则非零常数a的值为_______.

3.设数列{an}的前n项和为Sn,p,q是与n无关的常数，若 =pn+q(n∈N*),问：是否

Snan

存在p,q，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出p,q的值；若不存在，说明理由.

4.考虑课时问题，可以增加一道解析几何中的定点或定值问题.