第２８卷第２期 ２０１２年４月 大 学 数 学 ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２８，№．２ Ａｐｒ．２０１２ 复变函数教学法探讨 刘显全 （重庆邮电大学数理学院，重庆４０００６５） ［摘 要］复变函数是高等院校工科专业一门重要的基础理论课，它是高等数学的扩展．本文主要探讨在 复变函数的教学过程中，教师可以利用“类比”、“转化”和“反例”等教学方法，使学生达到巩固旧知识、探索新 课程的目的． ［关键词］复变函数；教学法；转化；类比；反例学习 ［中图分类号］Ｏ１７４．５；Ｇ６４２ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１２）０２—０１５５—０４ 数学教学的任务之一，就是培养和提高学生的思维能力．复变函数是高等院校工科专业一门重要的 基础理论课，是数学的一个重要分支，其教学是高等院校数学教学工作的重要组成部分．复变函数课程 一般在大学工科院校的二年级开设，学生已经学习了一年的高等数学课程，不仅仅把该课程作为高等数 学后继课程，复变函数课程的相关内容可以认为是高等数学的推广与扩展，教师可以通过“类比”、“转 化”和“反例”等方法的运用，可以培养学生的思维能力，引导学生自己借助已有的基础知识和学习能力 来学习和理解新知识，培养学生的发现性思维能力． 复变函数的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相 似之处．但是，复变函数又有与实变函数不同之处．作为教师，则应放在重点介绍复变函数与高等数学中 的实函数不同本质的区别上，介绍一些重要的数学思想和数学方法．在教学中要引导学生勤于思考，善 于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点．这样，才能抓住本质，融会贯通．但专门讨论工科复变函数教 学改革的资料不多，为促进工科复变函数的教学研究，提高该课程的教学效果，作者根据自身的教学体 会，从工科专业教学实际出发，并结合我校的教学情况提出几点思考． １教学中的衔接 在复变函数的教学过程中，结合学生的实际，一般要注意三个方面的衔接问题：与中等数学的衔接， 与高等数学等学科的衔接，与其他学科的衔接． 在学习复变函数时，学生习惯于以实数为学习对象，对于“虚数”的出现，会产生认识上的不适应．对 于中等教学阶段学习过的复数的概念与性质等相关内容，大部分学生对其有些遗忘．因此，在教学实践 中，要让学生再一次充分了解由实数到复数的产生原因和发展过程，在加强复数与实数的差异性的讲 解，对它们的不同点进行比较，加深学生的认识，即对复数这一部分的内容进行复习，加强与中等数学的 衔接问题 复变函数作为高等数学的后继课程，一般是在学习完高等数学后再学习该门课程，为复变函数的学 习奠定了基础，这时学生已经掌握了高等数学的基本理论和方法，自然在教学过程中有一个与高等数学 的衔接问题．从内容上来看，在复变函数的许多概念、理论和方法是高等数学在复数域内的推广和发展， ［收稿日期］２００９—０９—１５ ［基金项目］重庆邮电大学专业提升项目：数学与应用数学专业提升计划 １５６ 大 学 数 学 第２８卷 因而它们有许多相似之处，例如，复变函数的函数极限、连续、导数、积分、级数等概念和性质，均可以看 作是从实数域推广到复数域．但其中也有不同之处，如复变函数的极限过程要比实函数的极限过程复杂 得多，相当于二元函数的极限问题．在教学中引导学生正确对待两者联系与区别，是取得良好教学效果 的重要一环．在教学过程中，要经常提醒学生注意这两门课程的关系，在相似中学习，在比较中进步．但 它们也有许多不同之处，复变函数还有许多高等数学所不具有的内容，如“解析函数”、“洛朗级数”、“留 数”等概念和理论． 另外还有与其他学科的衔接问题．复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，它是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具，通过对复变函数理 论的学习，为进一步学习和研究，以及后继课程打下坚实基础．在教学中，教师要有意识地列举一些与相 关后继学科的实例，吸引学生们的注意力，激发学习兴趣．教学中还要注意的一个衔接问题是，在实变函 数中不能解决或解决起来比较复杂的问题，利用复变函数的理论和方法可以较易地解决，如用留数的方 法来计算有理函数的积分问题． ２教学中的类比思想 类比思想，是指通过两个对象相似之处的比较，由以往获得的知识引出新的猜测的思想方法．人们 通常所说的“举一反三”、“触类旁通”就是类比思想，它是一种创造性的思维方法．在教学过程中，应引导 学生学会合理的类比思想，类比的过程是培养学生创造性思维的过程．复变函数与高等数学之间有着有 机的联系．下面通过几个例子来具体分析这一思想方法在复变函数教学过程中的应用． 复变函数的许多概念和定理都与高等数学相似．例如，复变函数极限ｌｉｍｆ（ｚ）一Ａ的概念形式上和 ＋ｚ０ 高等数学中一元函数极限ｌｉｍｆ（ｘ）一Ａ相同，通过类比使学生掌握它们之间的相似之处，学习新知识， ０ 实现从实变函数极限向复变函数的转化，相应地可根据高等数学中极限的性质引导学生推导出复变函 数极限的一些性质．然后再指出它们的不同之处，使学生在区别中学习．在讨论极限ｌｉｍｆ（ｘ）一Ａ时， ｚ—’ｚ０ 由于．２７仅在ｚ轴上取值，实际上就是两个方向（ｚ只能沿实数轴从ｚ。左右两侧趋于ｚ。）；而在讨论 ｌｉｍｆ（ｚ）一Ａ时，因为ｚ—ｚ。不仅可从 的左右两个方向趋于ｚ。， 趋于ｚ。还可以在复平面上沿任何 。一 方向或任何曲线趋向于 ，而对于 —ｚ。的任何方式都要求厂（ｚ）趋于同一值Ａ，这正是复变函数与实 变函数有许多不同点的原因所在．这种ｌｉｍｆ（ｚ）极限，相当于高等数学中的二元函数的极限问题，相应 ＃ ÷￡０ 地可通过转化的方法来处理，我们在后面要进行详细的讨论．在教学过程中，这种合理地使用类比思想， 可以引导学生进行恰当的类比，加深对新知识的理解，同时又对旧知识进行了巩固与复习． 又如，在讲到正弦函数ｓｉｎｚ，可以先引导学生把ｓｉｎｘ的性质列出来，再探讨ｓｉｎｚ是否有那些性质， 最后讨论它与实变初等函数ｓｉｎｘ的关系，当学生弄清了ｓｉｎｚ在实轴上即为ｓｉｎｘ时，这样推广到复 平面后，正弦函数ｓｉｎｚ的周期性、奇偶性、可微性、积化和差公式等都成立，但有界性Ｉ ｓｉｎｚ１≤１不成 立．这样教学过程活跃了课堂，调动了学生探索新知识的积极性． 最后，学习到洛朗级数时，也可看作是数域推广到复数域上的情形，从两者的级数形式上看，它们是 相同的，泰勒级数是它的特殊情形，可以它与实变函数中的泰勒级数相类比．若函数在点ｚ。处解析时， 洛朗系数等于泰勒系数，洛朗级数就是泰勒级数，但洛朗级数是由正幂项与负幂项组成的双边幂级数， 而泰勒级数只含有正幂项部分．同时教师还应强调的是，但是展开为洛朗级数条件要弱一些，只要求复 变函数厂（ ）在点 。处解析即可，而一元实变函数．厂（ｚ）要在３２。处展开为泰勒级数，需要在ｚ。处任意阶 导数存在，这一点往往是很难满足的；其次，一元实变函数还要求泰勒公式中余项趋于零，而对于解析函 数来说，余项自然趋向于零． ， ３教学中的转化思想 转化是数学教学中一种重要的思想．它是利用一定的技术和手段把一个未解决的数学问题转化为 第２期 刘显全：复变函数教学法探讨 １５７ 另外一个或几个较简单问题，实现对原问题的解决一种数学方法．在复变函数的教学与学习过程中，教 师可以引导学生把相关的问题转化为对应的高等数学中的问题，利用高等数学知识实现对原问题的解 决．下面通过例子具体来说明转化思想在复变函数教学中的应用． 例如，求复变函数极限ｌｉｍｆ（ｚ）时，复变函数ｆ（ｚ）一ｕ（ｘ， ）＋ｉｖ（ｘ， ）的实部和虚部都是实函数， 一 可转化为高等数学问题来解决．若 ＝＝＝ 。＋ｉｙ。，先分别求出实部和虚部的极限ｌｉｍｕ（ｘ， ）一 。， ｚ— ０ 一 ｌｉｍｖ（ｘ， ）一 ，那么极限ｌｉｍｆ（ｚ）的值为Ａ一 。＋ｉｖ。．函数ｆ（ｚ）一ｕ（ｘ， ）＋ｉｖ（ｘ， ）的连续性判 ｚ—’ｚ０ 一 ０ 断问题也相应转化为判断实部ｕ（ｘ， ）和虚部ｖ（ｘ， ）的连续性问题．同理，复变函数的积分、复数列的 收敛性等等均可转化为实部和虚部来解决． 同样，在教学过程中，还可以通过把相关的问题转化，利用其它知识实现对问题的解决．对于某些积 ’ 分理论不能解决的复积分问题，可利用洛朗级数转化为简单复积分来计算，即把积分问题转化为求级数 的系数问题．例如，求闭区域上的积分ｄ）≠ ｄｚ，直接计ｇ－较为繁琐，则可利用转化法，先计算洛朗 Ｊ Ｊ 一２ Ｊ １一Ｚ 展开式中的系数ｃ～ ，利用 ，（ｚ）ｄｚ一２￣ｒｉｃ一 来计算原来的积分．又如，对于求解闭区域上的积分，可利 Ｊ 用留数定理来转化计算． ４教学中的反例学习 复变函数是由实变函数在复数域内的推广，它的许多概念，与高等数学有联系，但是原有的一些结 论、性质不再成立．在教学过程中，既要引导学生注意复变函数与高等数学相互联系，又要揭示复变函数 与高等数学的本质差异，通过反例的学习可以更清楚地理解高等数学中一些内容的实质．但在初学复变 函数时常常出现与实数范围的概念相混淆的情况． 例如，判别级数∑ ＣＯ ＳＺ的敛散性．在教学过程中，大部分学生都是这样求解：因为Ｉ ＣＯＳ－２：Ｉ ＝１ ０ ｌｏ ’ Ｉ ｌ１ 。。 ：＝： ≤ ，而级数∑１收敛，所以原级数收敛．但在复数范围内ＣＯＳｚ有界性不成立，即ｌ ｓｉｎｚ Ｉｕ ｕ １一 Ｉ １ ｌ ≤１，ｌ ＣＯＳＩ￣ｌ≤１在复数范围内不再满足．事实上，若令 —ｙｉ（ ∈ ），则ｌ ｓｉｎｚ ｌ—Ｉ击（ｅ 一ｅ ）Ｉ 一妻Ｉ ｅ－ 一ｅｕ ｌ，当Ｙ一＋。。时，有ｌ ｓｉｎｚ ｌ一十Ｃｘ５３．同理Ｉ ｓｉｎｚ ｌ≤１在复数范围内也不成立．这样可 厶 以通过在发现错误的过程中，加深对复数数域的重视． 又如：计算 ．在教学过程中，学生往往会认为它的解为ｇｚ－８’一一２，而忽略其余两个根 ，当 的值不为零时，就有 个 表示的是 个不同的根．再如，在复数范围内，也可举出（ｎ ） 一ａ 不成立实 １＋√ ｉ与１一 ｉ．这是因为 表示的是方程∞ 一 的根ｃＵ，即∞一 不同的 与它对应，即 例，只有当ｃ为整数时，才有（ｎ ） 一ａ ．通过这些反例的学习，让学生在复数范围内混淆的理论有进一 步的认识，引起足够的重视，对比记忆，印象深刻． ５教学改革中的思考 传统的教学模式是以掌握知识、考试为主要目的，而忽略了数学思想的建立、数学方法的使用和学 习能力与自主精神的培养，具有较强的封闭性和保守性．大学数学的教学目的不仅仅是教给学生数学知 识，更重要的是培养他们应用数学的意识和能力，应着意让他们学会用数学的思维方式观察周围的事 物，用数学思想和方法分析、解决实际问题，以达到教会学生学习、培养学生学习自主精神的目的，“教学 １５８ 大 学 数 学 第２８卷 生学会”变为“教学生会学”． 在教学过程中教师要综合运用前面所述的方法，注意“衔接”、“类比”、“转化”和“反例”等教学方法． 在教学中，应制定完善的教学计划，优化教学内容．注意运用启发式教学，前后衔接自然，合理设置疑问， 对有些问题引导学生根据已知知识与经验去猜测其结论，培养学生的探索精神，注重利用类比方法教 学，例如复与实类比、无限与有限类比、结构的类比等．要善于利用转化思想，实现对新问题的解决．通过 构造反例，容易揭示概念、性质的本质．总之，复变函数的教学是教无定法． ［参 考 文 献］ ［１］ 西安交通大学高等数学教研室．复变函数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９６． ［２］钟玉泉．复变函数论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４． ［３］ 同济大学应用数学系．高等数学（上、下）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２． ［４］王国俊．讲授艺术论［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版社，１９９２． Ｓｏｍｅ Ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｌ Ｕ Ｘｉａｎ—ｑｕａｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｏｓｔｓ ａｎｄ Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００６５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｇｅ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ，Ｃｏｍｐｌｅｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ａ ｂａｓｉｃ ｃｏｕｒｓｅ ｆｏｒ ｃｏｌｌｅｇｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｓｅｅｎ ａｓ ｓｏｍｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｕｃｃｅｓｓｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｈａｖｅ ｍａｉｎｌｙ ｆｏｃｕｓ ｏｎ ｓｏｍｅ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｂｏｕｔ ｄｅｅｐｅｎｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｅｗ ｉｎ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｘ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｙ ｓｏｍｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ａｎａｌｏｇｉｅｓ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｅｘａｍｐｌｅｓ，ａｎｄ ｆｏｃｕｓ ｈｏｗ ｔＯ ｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎ ｔｈｅｓｅ ｏｌｄ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ ｔｒａｉｎ ｃｒｅａｔｉｖｅ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｉｎ ｓｔｕｄｙｉｎｇ，ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｈｅｌｐ ｔｏ ｓｔｕｄｙ Ｃｏｍｐｌｅｘ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ；ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ａｎａｌｏｇｙ；ｃｏｕｎｔｅｒｅｘａｍｐｌｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ
