上海市杨浦区名校2024届中考数学全真模拟试卷含解析

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A．正比例函数

B．一次函数

C．反比例函数

D．二次函数

D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，2．如图，在正三角形ABC中，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）

A．1∶3 B．2∶3

C．3∶2 D．3∶3

3．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A．五边形

B．六边形

C．七边形

D．八边形

B是两格点，4．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、如果 C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形,则这样的点C有( )

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

5．关于反比例函数y4，下列说法正确的是（ ） xB．函数图像位于第一、三象限；

A．函数图像经过点（2，2）；

C．当x0时，函数值y随着x的增大而增大； D．当x1时，y4．

6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2∶1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（ ）

A．0.2 B．0.25 C．0.4 D．0.5

7．如图，O为直线 AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE 于点 O，若∠BOC=80°，则∠AOD的度数是（ ）

A．70° 8．计算A．0

B．50° C．40° D．35°

1x结果是( ) x1x1B．1

C．﹣1

D．x

9．下列运算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 C．（﹣2x）2＝4x2

B．x2+x2＝2x4 D．（ a+b）2＝a2+b2

10．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ） A．y＝x2+3x+6

B．y＝x2+3x

C．y＝x2﹣5x+10

D．y＝x2﹣5x+4

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为____．

x11① 12．解不等式组2xx1②请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为_________．

14．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．

15．函数yx1中，自变量x的取值范围是 ． x216．分解因式：mx2﹣4m＝_____． 17．分解因式：xy4x=____ 三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分的学生成绩进行统计，绘制统计图如图（不完整）． 类别 A B C D E 分数段 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5 90.5～100.5 2

请你根据上面的信息，解答下列问题．

（1）若A组的频数比B组小24，求频数直方图中的a，b的值；

（2）在扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数直方图；

（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2 000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

19．（5分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

求该校平均每班有多少名留

守儿童？并将该条形统计图补充完整；某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．

20．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使得点P到直线m的距离等于1，则称P为直线m的平行点． （1）当直线m的表达式为y＝x时，

22PP1,1P0,2①在点1，2，32,2中，直线m的平行点是______； ②⊙O的半径为10，点Q在⊙O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标．

（2）点A的坐标为（n，0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线y3x的平行点，直接写出n的取值范围． 21．（10分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 种类 A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车

根据以上信息，回答下列问题：

（1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择B类的人数有 人； （2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；

（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．

+（22．（10分）计算：8﹣4cos45°

1﹣1

）+|﹣2|． 223．（12分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°． （1）求∠AOC的度数；

（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

24．（14分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． 求证：CF⊥DE于点F．

参

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、B 【解题分析】

根据一次函数的定义，可得答案． 【题目详解】

设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得 x+2y=180， 所以，y=﹣故选B． 【题目点拨】

本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键. 2、A 【解题分析】

∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°， ∴∠C=∠FDE，

同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF， ∴△DEF∽△CAB，

1x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系， 2DE ，

∴△DEF与△ABC的面积之比=AC又∵△ABC为正三角形， ∴∠B=∠C=∠A=60° ∴△EFD是等边三角形， ∴EF=DE=DF，

又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴△AEF≌△CDE≌△BFD， ∴BF=AE=CD，AF=BD=EC， 在Rt△DEC中， DE=DC×sin∠C=213DC，EC=cos∠C×DC=DC，

223DC， 2又∵DC+BD=BC=AC=

3DCDE32∴， 3AC3DC2DE3∴△DEF与△ABC的面积之比等于：1:3 AC3故选A．

点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边3、D 【解题分析】

根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解. 【题目详解】

设所求多边形边数为n， ∴（n﹣2）•180°＝1080°， 解得n＝8. 故选D. 【题目点拨】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理. 4、A 【解题分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰． 【题目详解】 如图：分情况讨论：

22DE之比，进而得到面积比． AC

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C．

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 5、C 【解题分析】

直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【题目详解】

4，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； x4B、关于反比例函数y=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；

x4C、关于反比例函数y=-，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；

x4D、关于反比例函数y=-，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；

xA、关于反比例函数y=-故选C． 【题目点拨】

此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 6、B 【解题分析】

设大正方形边长为2，则小正方形边长为1，所以大正方形面积为4，小正方形面积为1，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是0.1． 【题目详解】

解：设大正方形边长为2，则小正方形边长为1， 因为面积比是相似比的平方，

所以大正方形面积为4，小正方形面积为1， 则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是故选：B． 【题目点拨】

本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率PA7、B 【解题分析】

10.25； 4m． n分析：由OE是∠BOC的平分线得∠COE=40°，由OD⊥OE得∠DOC=50°，从而可求出∠AOD的度数. 详解：∵OE是∠BOC的平分线，∠BOC=80°， ∴∠COE=

11∠BOC=×80°=40°， 22∵OD⊥OE ∴∠DOE=90°，

∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°，

∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°. 故选B.

点睛：本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=8、C 【解题分析】 试题解析：故选C.

考点：分式的加减法. 9、C 【解题分析】

根据同底数幂的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可． 【题目详解】

A、x2•x3＝x5，故A选项错误； B、x2+x2＝2x2，故B选项错误； C、(﹣2x)2＝4x2，故C选项正确； D、( a+b)2＝a2+2ab+b2，故D选项错误， 故选C． 【题目点拨】

本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键 10、A 【解题分析】

先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可. 【题目详解】

1∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC． 21x1x(x1)1. x1x1x1x1 ，

当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得

.

故选A． 【题目点拨】

本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、2 【解题分析】

试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr=

1206，解得r=2cm．

180考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系． 12、详见解析. 【解题分析】

先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，根据数轴找出不等式组公共部分即可. 【题目详解】

（Ⅰ）解不等式①，得：x＜1； （Ⅱ）解不等式②，得：x≥﹣1；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜1， 故答案为：x＜1、x≥﹣1、﹣1≤x＜1． 【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组的概念. 13、6 【解题分析】

过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，先根据“AAS”证明△DAM≌△BAN,再证明四边形AMCN为正方形,

可求得AC=6,从而当BD⊥AC时BD最小，且最小值为6. 【题目详解】

, 如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，则∠MAN＝90°∠DAM＋∠BAM＝90°, ，∠BAM＋∠BAN＝90°∴∠DAM＝∠BAN.

∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD, ∴△DAM≌△BAN, ∴AM＝AN,

∴四边形AMCN为正方形, ∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝∴AC=6,

∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6. 故答案为：6.

12

AC, 2

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键. 14、4n﹣1． 【解题分析】

由图可知：第一个图案有阴影小三角形1个，第二图案有阴影小三角形1+4=6个，第三个图案有阴影小三角形1+8=11··个，·那么第n个就有阴影小三角形1+4（n﹣1）=4n﹣1个． 15、x1且x2. 【解题分析】

试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式

x+10x1x1{{x1且x2. 分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须

x20x2x2考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式和分式有意义的条件.

16、m（x+2）（x﹣2） 【解题分析】

提取公因式法和公式法相结合因式分解即可. 【题目详解】 原式mx4,

2mx2x2.

故答案为mx2x2. 【题目点拨】

本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底. 17、x(y+2)(y-2) 【解题分析】

原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【题目详解】

原式=x（y2-4）=x（y+2）（y-2）， 故答案为x（y+2）（y-2）. 【题目点拨】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分） 18、（1）40（2）126°，1（3）940名 【解题分析】

（1）根据若A组的频数比B组小24，且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a、b的值；

（2）利用360°乘以对应的比例即可求解； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【题目详解】

（1）学生总数是24÷（20%﹣8%）=200（人）， 8%=16，b=200×20%=40； 则a=200×（2）n=360×

70=126°． 200C组的人数是：200×25%=1．

；

（3）样本D、E两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣8%=47%， ∴2000×47%=940（名）

答估计成绩优秀的学生有940名． 【题目点拨】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20%=20（个）19、解：（1）该校班级个数为4÷，

只有2名留守儿童的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个）， 该校平均每班留守儿童的人数为：

=4（名），

补图如下：

（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，

有树状图可知，共有12中等可能的情况，其中来自一个班的共有4种情况， 则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：

=．

【解题分析】

（1）首先求出班级数，然后根据条形统计图求出只有2名留守儿童的班级数，再求出总的留守儿童数，最后求出每班平均留守儿童数；

（2）利用树状图确定可能种数和来自同一班的种数，然后就能算出来自同一个班级的概率. 20、（1）①P2，P3;②【解题分析】

(1)①根据平行点的定义即可判断；

②分两种情形：如图1，当点B在原点上方时，作OH⊥AB于点H，可知OH=1.如图2，当点B在原点下方时，同法可求；

(2)如图，直线OE的解析式为y3x，设直线BC//OE交x轴于C，作CD⊥OE于D. 设⊙A与直线BC相切于点F，想办法求出点A的坐标，再根据对称性求出左侧点A的坐标即可解决问题； 【题目详解】

解：（1）①因为P2、P3到直线y＝x的距离为1，

所以根据平行点的定义可知，直线m的平行点是P2，P3， 故答案为P2，P3．

②解：由题意可知，直线m的所有平行点组成平行于直线m，且到直线m的距离为1的直线． 设该直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

如图1，当点B在原点上方时，作OH⊥AB于点H，可知OH＝1．

2,22，22,2，22,2，2,22;（2）43n43．

33

由直线m的表达式为y＝x，可知∠OAB＝∠OBA＝45°． 所以OB2．

直线AB与⊙O的交点即为满足条件的点Q． 连接OQ1，作Q1Ny轴于点N，可知OQ110．

在RtOHQ1中，可求HQ13． 所以BQ12．

在RtBHQ1中，可求NQ1NB2． 所以ON22． 所以点Q1的坐标为

2,22．

同理可求点Q2的坐标为22,2．



如图2，当点B在原点下方时，可求点Q3的坐标为22,2点Q4的坐标为2,22， 综上所述，点Q的坐标为

2,22，22,2，22,2，2,22．

（2）如图，直线OE的解析式为y3x，设直线BC∥OE交x轴于C，作CD⊥OE于D．

当CD＝1时，在Rt△COD中，∠COD＝60°， ∴OCCD23， sin603设⊙A与直线BC相切于点F，

在Rt△ACE中，同法可得AC23， 3∴OA43， 3∴n43， 343， 3根据对称性可知，当⊙A在y轴左侧时，n观察图象可知满足条件的N的值为：【题目点拨】

4343． n33此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21、（1）800，240；（2）补图见解析；（3）9.6万人． 【解题分析】

试题分析：（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得； （2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360°和总人数可分别求得； （3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案． 25%=800（人）试题解析：（1）本次调查的市民有200÷， ∴B类别的人数为800×30%=240（人）， 故答案为800，240；

（2）∵A类人数所占百分比为1﹣（30%+25%+14%+6%）=25%，

∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%=90°25%=200（人），A类的人数为800×， 补全条形图如下：

（3）12×（25%+30%+25%）=9.6（万人）， 答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．

考点：1、条形统计图；2、用样本估计总体；3、统计表；4、扇形统计图 22、4 【解题分析】 分析：

代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”进行计算即可. 详解： 原式=2242224． 2p点睛：熟记“特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义：a1（a0，p为正整数）”是正确解答本题的关键. pa23、（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）． 【解题分析】

（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．

（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．

（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解． 【题目详解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°， ∴△OAC是等边三角形， 故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC； ∴AC=

1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°， 2而OC是⊙O的半径，

故PC与⊙O的位置关系是相切． （3）如图；有三种情况：

①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）； 劣弧MA的长为：

6044； 1803②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）； 劣弧MA的长为：

12048；

1803③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）； 优弧MA的长为：

240416；

1803④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）； 优弧MA的长为：

300420；

1803481620,,,M（对应的M点坐标分别为：﹣23）、12，3333综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为

M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）． 【题目点拨】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解． 24、证明见解析． 【解题分析】

根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可． 【题目详解】

∵AD∥BE，∴∠A＝∠B． 在△ACD和△BEC中 ∵

，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC＝CE．

∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE（三线合一）．

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．