高考数学课时达标含答案解析——指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性

课时达标 第8讲

[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2 ，b＝4 ，c＝25 ，则( A ) A．b4

3

13

25

15

43

25

13

B．a13

13

解析 因为a＝2 ＝16 ，b＝4 ＝16 ，c＝25 ，且幂函数y＝x 在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，

所以b2．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( B )

2x－2，x≥1，解析 |f(x)|＝|2x－2|＝ x

2－2，x<1，

易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1， 3

－1，，故选B． 且过点(1,0)，(0,1)，2

3．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( C )

－

A．[9,81] C．[1,9]

B．[3,9] D．[1，＋∞)

－2

解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x

f(x)max＝f(4)＝9，故选C．

在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，

4．(2018·山西太原模拟)函数y＝2x－2x是( A )

－

A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

解析 令f(x)＝2x－2x，则f(－x)＝2x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除C项，

－

－

D项．又函数y＝－2x，y＝2x均是R上的增函数，故y＝2x－2x在R上为增函数，故选A．

－

－

5．(2018·浙江丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( C )

A

1

A．(－2,1) C．(－1,2)

1x

解析 原不等式变形为m2－m<2.

B．(－4,3) D．(－3,4)

1x∵函数y＝2在(－∞，－1]上是减函数， 1x1－1∴2≥2＝2，

1x2当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m－m<2，解得－1A．a＜0，b＜0，c＜0 C．2a＜2c

－

B．a＜0，b≥0，c＞0 D．2a＋2c＜2

解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af(c)>f(b)， 结合图象知00， ∴0<2a<1．

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D． 二、填空题

7．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是__(0,1)__. －

1x－

解析 因为f(x)＝ax＝a，且f(－2)>f(－3)，

1

所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以>1，解得0a

8．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a＝__3__. 1

≤t≤a，此二次函数图象开口解析 y＝a2x＋2ax－1(a>1)，令ax＝t，则y＝t2＋2t－1a向上，对称轴为t＝－1，

2

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又a>1，所以当t＝a，即x＝1时取最大值，所以a2＋2a－1＝14， 解得a＝3.

9．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－ax(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五

－

个命题，其中真命题是__①③④__(只需写出所有真命题的编号)．

①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称； ④当01时，函数f(|x|)的最大值是0.

解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)取最小值为0，⑤假．综上，真命题是①③④.

三、解答题

3a3b2ab210．化简：(1)1111(a>0，b>0)；

－4

a4 b2 a3 b3 27

－ －3 ＋(0.002)－2 －10(5－2)－1＋(2－3)0. (2)8解析 (1)原式＝

131

2＋6＋3－1

2

1

a3b2a3 b3  2 ab2a－ b 13

13

121

＝a ·b

1＋3

1

－2－3

1

＝ab－1．

27－21－1103(2)原式＝－8 ＋5002 －＋1

5－28

－3 ＋5002 －10(5＋2)＋1 ＝274

＝＋105－105－20＋1 9167＝－. 9

1x2－4x＋3

11．已知函数f(x)＝. 3a(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值．

A

2

1

3

1－x2－4x＋32

解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－31t

2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

24

x－2＋3－，(2)令g(x)＝ax2－4x＋3＝a∵f(x)有最大值，∴g(x)应有最小值，且g(x)minaa4

＝3－(a>0)，

a

13－a4

∴f(x)max＝ ＝3，∴3－＝－1，∴a＝1． 3a－2x＋b12．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；

(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.

－1＋b

解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所

2＋a－2x＋1

以f(x)＝x＋1.

2＋a

1－＋12－2＋1

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

4＋a1＋a－2x＋111

(2)由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x.

22＋12＋2由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0

等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2

＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得解集为

1

t>1或t<－. t3



4

4