分式方程及应用复习教案

分式方程及应用复习教案

教学目标：1.使学生进一步掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的根。

2.能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．

教学重点 解分式方程的基本思想和方法。

教学难点 解决分式方程有关的实际问题。

教学过程

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；

3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整

式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根

代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6分式方程的解法有 和 。

（二）：【课前练习】

1. 把分式方程 的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）

A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2

2. 方程 的根是（ ）

A.－2 B. C.－2， D.－2，1

3. 当 =_____时，方程 的根为

4. 如果 ，则 A=____ B＝________.

5. 若方程 有增根，则增根为_____，a=________.

二：【经典考题剖析】

1. 解下列分式方程：

分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别设 ， ， 解后勿忘检验。

2. 解方程组： 分析：此题不宜去分母，可设 ＝A， ＝B得： ，用根与系数的关系可解出A、B，再求 ，解出后仍需要检验。

3. 若关于x的分式方程 有增根，求m的值。

4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．

解：设市去年居民用水的价格为x元／m3，则今年用水价格为(1+25％) x元／m3．根据题意，得

经检验，x=1．8是原方程的解．所以 ．

答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m3．

点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本题的关键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m3.

5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？

略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将 吨蔬菜精加工，用时间列方程解得 ，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。

三：【课后训练】

1.方程 去分母后，可得方程（ ）

2.解方程 ，设 ，将原方程化为（ ）

3. 已知方程 的解相同，则a等于（ ）

A．3 B．－3 C、2 D．－2

4. 方程 的解是 。

5. 分式方程 有增根x=1，则 k的值为________

6. 满足分式方程 的x值是（ ）

A．2 B．－2 C．1 D．0

7. 解方程：

8. 先阅读下面解方程x＋ ＝2的过程，然后填空.

解：（第一步）将方程整理为x－2＋ ＝0；（第二步）设y＝ ，原方程可化为y2＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，

＝0；解得 x＝2，当y＝－1时， ＝－1，方程无解；（第五步）所以

x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 ，第四步中，能够判定方程 ＝－1无解原根据是 。上述解题过程不完整，缺少的一步是 。

9. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．

四：【课后小结】

布置作业

第十二章 分式和分式方程

总体说明

本节是第二章《分式》的最后一节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生回顾在分式方程解法的基本步骤与解分式方程应用题的基本步骤，让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过螺旋式上升的认识，让学生逐步了解怎样解决现实生活中的实际问题，培养学生的代数表达能力，使学生对实际问题的解决能有更深的认识和更强的数学能力及数学素养．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：学生已经学习了分式方程及分式方程应用题等有关概念，对解决与分式方程相关的实际问题有了一定的基础与认识．

学生活动经验基础： 在学习解方程及解决方程的应用题等实际问题的过程中，学生已经经历了观察、探究、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验

基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

在本章的学习中，学生已经掌握了分式方程和它的应用，本课时安排让学生对本部分内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对就的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：

知识与技能：

（1）能熟练地解分式方程；

（2）能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示．

数学能力：

（1）通过解分式方程，使学生了解转化的思想方法；

（2）关注对算理的理解，发展学生的代数表达能力，运算能力和有条理地思考问题的能力；

（2）提高学生解决实际问题的能力，发展学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力．

情感与态度：

（1）让学生了解数学与生活是不可分离的，生活是数学的载体；

（2）通过经历观察、归纳、类比、猜想等思维过程，进而学会反思自己的思维过程．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：回顾——做一做——试一试——想一想——反馈练习——课后练习．

第一环节 回顾

活动内容：

1、解分式方程有哪些步骤？

2、解分式方程应用题有哪些步骤？

活动目的：

通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识．

教学效果：

有了前几节课的学习，学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤有了较清楚的认识

与理解．

第二环节 做一做

活动内容：

解下列分式方程：

1253x22x1x11xx1（1） （2）

2365x121（3）x44x （4）x11xx1

活动目的：

通过对分式方程的解答，使学生明白解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程．

教学效果：

学生能够理解解分式方程的步骤，但有部分学生在去分母时，会出现整数不乘公分母，如第（2）（3）两小题．

第三环节 试一试

活动内容：

1、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．

（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；

（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．

2、A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度．

活动目的：

（1）让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．

（2）通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．

教学效果：

由于在前一阶段学生已经有了一些解决实际问题的基础，学生在解决比较简单的问题时较好，但也有少数学生很难把生活中的实际问题与数学结合到一起，思维上有一定的障碍．

第四环节 想一想

活动内容：

某顾客第一次在商店买了若干件小商品花去了5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他这一次购买该小商品的数量是第一次的两倍，这样，第二次共花去2元，问他第一次买的小商品是多少件？

活动目的：

通过螺旋式上升的认识，进一步发展学生的符号感，提高解决实际问题的能力．

教学效果：

学生对抽象思维较难理解，但可以进行现场模拟这个情景，使学生从感性认识中发展到抽象思维，让大多数学生能够找到解决问题的钥匙．

第五环节 反馈练习

活动内容：

1、选择题：

（1）一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天里完成且多生产10个，若设原计划每天生产x个，则这个工人原计划每天生产多少个零件？根据题意可列方程（ ）

30x1018018030x1030x263262610A、x5 B、x5 C、x5 D、x2x

（2）几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的学生共有x人，则根据题意可列方程 （ ）

18018018018033A、xx2 B、x2x

18018018018033C、xx2 D、x2x

2、解下列方程：

3x2x142（1）x1x （2）x22x

3、某厂第一车间加工一批毛衣，4天完成了任务的一半，这时，第二车间加入，两车

1间共同工作两天后就完成了任务并超额完成任务的12，求第二车间单独加工这批毛衣所用

的天数．

活动目的：

通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．

教学效果：

部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能．

第六环节 课后练习

课本第96页复习题第4、9、10、11题；

四、教学反思

分式方程 同步练习

215x23xy1．在有理式x，3（x+y），3，a1，6中，分式有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

x331x1x22.下列方程中①5=1，②x=2，③5x=2，④2+x=5中是分式方程的有（A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

4x33．如果分式3x11无意义，则x的值是（ ）

11113A．x≠0 B．x≠3 C．x=3 D．x≠-4

）

1x24．分式x4，42x的最简公分母为（ ）

A．（x+2）（x-2） B．-2（x+2）（x-2）

C．2（x+2）（x-2） D．-（x+2）（x-2）

235.把分式方程2x4=2x化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）

A．2x B．2x-4 C．2x（x-2） D．2x（2x-4）

4x26.如果解分式方程x2x-x2=-2出现增根，则增根为（ ）

A．0或2 B．0 C．2 D．1

k11k52227.若关于x的方程x1-xx=xx有增根x=-1，那么k的值为（ ）

A．1 B．3 C．6 D．9

x42x58．•在解方程3+4=•1•时，•需要去分母时，•可以把方程两边都乘以_______，•

根据是______．

1x473x有增根,则增根为 . 9、 若方程x3

23k210、若方程x1x1x1有增根,则k的值为 .

ax11

8x

4,则a= . 11、若关于x的方程x的解为

2(xa)25的解为x3,则a= . 12、若分式方程a(x1)13、解方程：

3xx14221⑴x22x ⑵ x1x1

736x5222

⑶xx+xx=x1； ⑷2x5-1=52x．

x11xk214、若关于x的方程xx-3x=3x3有增根，求增根和k的值．

m12xx115、 若关于的分式方程的解为正数,求m的取值范围

xm1xx216、关于的方程的解大于零, 求m的取值范围

分式方程 同步学习

x291、分式x3当

x __________时分式的值为零。

2、当

12xx __________时分式12x有意义。

与3、要使x1x2的值相等，则

x=__________。

xm22x3x3无解，则4、若关于x的分式方程

m的值为__________

1a1x3在实数范围内无解，则实数a=______． 5．若关于x的分式方程x+311a3abb4ab2a2b7ab6．已知，则 ．

1x473x有增根,则增根为 . 7、若方程x3xm418、已知关于x的方程m(x1)=-5的解为x=-5，则m=______

119、 已知a＋a＝6，则（a－a）2 =

x1y3x2y4，用x的代数式表示y应是（ ） 10、已知：

A．

yx1010xy3 D．y＝ -7x-2 3 B．y＝-x+2 C．

11、一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满足

111UVF，则用U、V表示F应是（ ）

UVUVUV（A）UV （B）UV （C）V （D）U

xa2x4有增根，则a的值为（ ） 12、 若分式方程x4（A）4 （B）2 （C）1 （D）0

1x23x 13．解分式方程：x3321214．解方程：x1x1x1

15甲做180个机器零件与乙做240个机器零件所用的时间相同，已知两人一小时共做70个机器零件，每人每小时各做多少个机器零件？

16、某校师生去离校15km的花果园参观，张老师带领服务组与师生队伍同时出发，服务组的行进速度是师生队伍的2倍，以便提前30分钟到达做好准备，求服务组与师生队伍的行进速度。

课题：分式方程的应用（第3课时）

教学目标：会列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。

教学重点：如何结合实际分析问题，列出分式方程

教学难点：分析过程，得到等量关系

教学过程：一、预习导学：

1、 解分式方程的一般步骤：（标注每一步的注意点）

2、解方程：

34105（1）x1=x; （2）2x1+12x=2.

二、交流成果：

三、合作探究：

1、为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做 4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？

分析：（1）本题中的等量关系是什么？

（2）你会根据等量关系列出分式方程吗？ （3） 你还能其它解法吗？

2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？

方法一： 方法二：

3、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1。2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？

方法一： 方法二：

4、总结用分式方程解实际问题的一般步骤：

15、某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨3。小丽家去年

12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m，求该市今年居民用水的价格。

3四、课时小结

1、用分式方程解实际问题的一般步骤：

2、用分式方程解实际问题中的检验有哪几层含义：

五、达标测试：

343004801、解方程：（1）x1=x （2）x－2x=4

2、小丽与小明同时为艺术节制作小红花，小明每小时比小丽多做2朵，那么小明做100朵小红花与小丽做90朵小红花所用时间相等吗？

3、改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1/3，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵数？

4、市为了构建城市立体道路网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将原定的工作效率提高25%。原计划完成这项工程需要多少个月？