浙江省2013届高三高考密破仿真预测卷(五)数学理试题

浙江省2013届高三高考密破仿真预测卷（五）数学理试题（解

析版）

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答

题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位

2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、．．．．．．

笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水

签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试．．．．．．．．．．．．．．．．

题卷、草稿纸上答题无效． ．．．．．．．．．．．．

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2.已知复数z1i,则z的虚部是（ ） A.1 B.1 C.i D.i 【答案】B

【解析】解：因为复数z1i，所以实部为1，虚部为-1，选B

3.设等差数列an的前n项和为Sn，若a11a83,S11S83,则使an0的最小正 整数n的值是

A．8 B．9 C. 10 D．11 【答案】C

【解析】解：∵a11-a8=3d=3，∴d=1， ∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3，∴a1=-8， ∴an=-8+（n-1）＞0，解得n＞9， 因此最小正整数n的值是10．

1 / 13

故选C．

5．由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为 ( ) A.

23

1 12 B.

1 4 C.

1 3 D.

7 12【答案】A

23

【解析】因为要求曲线y=x，y=x围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求

13141123(xx)dxxx|0，选A 0341216．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( )

A．43 B．83 C．123 D．243 【答案】A

【解析】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面， 三棱锥的高是422223，它的体积为7. 给出计算

11236243，故选A 321111 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条24620件是（ ）．

2 / 13

A．i10 B．i10 C．i20 D．i20 【答案】A

1111共10项的和.所以判断框内应填入的条件是i10. 246208．三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角

【解析】

A的取值范围是（ ）

A.(,) B.(,) C.(,) D.(0,)242322

9. 抛物线y4x上与焦点的距离等于5的点的横坐标是 ( )

A. 2 B.3 C. 4 D.5 【答案】C

【解析】解：利用抛物线的定义可知，抛物线y24x上与焦点的距离等于5，则x+2=5,所以点的横坐标为3，选C

10、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ） A．

21111169 B． C． D． 27242724【答案】A

【解析】本题考查互斥事件的概率的计算，解题时注意B中球数目的变化． 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球 则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知，

4221P(B),P(B)124333

31433P(A|B),P(A|B)81981911.设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)则f(107.5)= A.10 B.

1，且当x[3,2]时，f(x)4x,f(x)11 C.10 D. 1010 3 / 13

【答案】B

【解析】解：因为f（x+3）=-1 /f(x) ，故有f（x+6）=-1 /f(x+3) =-1/( -1 /f(x)) =f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．

f（107.5）=f（6×17+5. 5）=f（5.5）=-1 /f(2.5) =-1 /f(-2.5) =-1/ 4×(-2.5) =1 /10 ． 故选B

12 设P是60的二面角l内一点，PA平面,PB平面,A,B为垂足，

PA4,PB2,则AB的长为（ ）

A 23 B 25 C 27 D 42 第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

13．在钝角ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1,A=30°,c=3, 则ΔABC的面积为 . 【答案】3 4【解析】解：因为钝角ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1,A=30°,c=3, 可知C=

32,得到角B的值，利用正弦面积公式求解得到为

432214、把函数y2x4x5的图象按向量a平移后，得y2x的图象，则a= . 【答案】（－1，－3）

【解析】解：因为函数y2x4x5的图象按向量a平移后，得y2x的图象，那么a=（－1，－3）

15、如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-ABC 的平面角为 度

22 4 / 13

16、对于函数f(x)定义域中任意x1,x2(x1≠x2)有如下结论： ①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③

xx2f(x1)f(x2)f(x1)f(x2))<. 0； ④f(122x1x2当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .

【答案】②③

【解析】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项 和的公式 解：因为ynxn

n1(n1)xn，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n

n

n

切点为（2，-2）,所以切线方程为y+2=k (x-2),令x=0得 an=(n+1)2,令bn=

an2n.数列n1an23nn+1的前n项和为2+2+2+„+2=2-2; n1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本题12分）已知向量m(3sin（1）若f(x)1，求cos(xxx,1)，n(cos,cos2)，函数f(x)mn.

4442x)的值； 3（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足acosC求f(2B)的取值范围.

1cb， 2 5 / 13

18．（本小题12分）为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙）进行经典美文颂读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序． 求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

（2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和数学期望．

24A2A41【答案】解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则PA. 6A615所以 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为

1„„„„„„„„„„„„4分 15（2）随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3,4.

223A22A551A4A2A34A22A4441， ， ，P(X0)P(X1)P(X2)666A63A615A65 32242A4A2A2A4A221„„„„„„„„10分P(X3)P(X4)66A615 A615

随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 6 / 13

P 13 415 15 215 115 因此EX01

1341214234， 1551515319.(12分) 设a0,f(x)ax 令a11,an1f(an),nN*. ax(1)写出a2, a3, a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论；

(ii)假设 nk 时猜想正确,即 aka(k1)a，„„„„„„„„8分

则ak1

aaak(k1)aaaf(ak)aaak(k1)a1[(k1)1]aa(k1)a

a

7 / 13

20．（本小题满分12分）

在直三棱柱中，AA1ABBC3,AC2,D是AC中点.

（1）求证：B1C//平面A1BD； （2）求点B1到平面A1BD的距离； （3）求二面角A1DBB1的余弦值.

【答案】解：

E，连结DE. （1）连结AB1交A1B于

B1C//平面A1BD „„.4分

DE平面A1BD(2) 如图建立坐标系，

z DE//B1CB1 A1

E C1 y A D C x

B

则B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(1,0,3)

DB1(0,22,3),DB(0,22,0) DA1(1,0,3)

8 / 13

21．（12分）设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0。 ⑴当b1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2⑵求函数f(x)的极值点；

⑶证明对任意的正整数n，不等式ln(1111)23成立。 nnn⑵①由⑴得当b1时函数f(x)无极值点„„„„„„„„„（4分） 2 9 / 13

2(x)212②b时，f(x)2x110有两个相同的解x1 211x(1,)时，f(x)0，x(,)时，f(x)0

221b函数f(x)在(1,)上无极值点„„„„„„„„„（5分）

21③当b时，f(x)0有两个不同解，x1112b，x2112b 222b0时x11，x21，即x1(1,),x2(1,)

b0时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

x

f(x) f(x)

(1,x2) x2



↘

(x2,)

0

极小值



↗

由此表可知b0时，f(x)有唯一极小值点x2当0b112b；„„„„„„（7分）

21时，x11，x1,x2(1,),此时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表： 2x

f(x) f(x)

由此表可知：0bx2(1,x1) x1

0

极大值

(x1,x2) 

↘

x2

0

极小值

(x2,)



↗



↗

1时，f(x)有一个极大值点x1112b和一个极小值点22112b；„„„„„（9分）

221综上所述：b0时，f(x)有唯一极小值点x112b；0b时，f(x)有一个极大

21112b和一个极小值点x112b；b时，f(x)无极值点。„„„„

222（10分）

值点x 10 / 13

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的单调性和函数的极值，以及函数与不等式的综合运用。

（1）先求解函数的定义域，然后求解导数，令导数大于零或者小于零得到单调区间。 （2）由⑴得当b1时函数f(x)无极值点，接下来对于参数b，进行分类讨论，看导数为零2的解，进而确定极值的问题。

（3）当b1时，函数f(x)x2ln(x1)，令函数h(x)x3f(x)x3x2ln(x1)，

13x3(x1)2则h(x)3x2x,当x[0,)时，h(x)0 x1x12函数h(x)在[0,)上单调递增，又h(0)0,x(0,)时，恒有h(x)h(0)0 即xxln(x1)恒成立，从而得到证明。 22．（本题满分14分）

32x2y25已知椭圆C：221(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.

ab3(1)求椭圆C的方程;

222

(2)过椭圆C上的动点P引圆O：x+y=b的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11 / 13

(2)如图，设P点坐标为(x0,y0), -------5分 若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|. ---------6分 即|OA|=2OPOA, 222有2=x0y04, 两边平方得x0+y0=8 ①

22

又因为P(x0,y0)在椭圆上，所以4x0+9y0=36 ② ①,②联立解得x022

2

3624,y0 ---------9分 55所以满足条件的有以下四组解

65656565xxxx00005555 -----------12分

,,x,x,y25y25y25y2500005555所以，椭圆C上存在四个点(6525652565256525,),(,),(,),(,)，55555555分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直. --------14分

12 / 13

13 / 13