08中考中二次函数图象与系数关系探密

安徽 吴孟

二次函数是中学数学中最重要的和最基础的函数之一，也是中学生后继学习能力的替在基础知识之一。作为初中教学和学习的风向标的中考来说，对其亲睐也就不言而如。中考中对二次函数的考查可以说这边风影独秀，有时它是一份试卷分度值的控制性试题。这里我想对二次函数图与系数关系类问题进行探密，这是一类比较难的题型。这里想对其进行解析，以便同学们在今后的学习和复习中能更好地去把握它。

一．直接根据图象来判断与系数相关的不等式

根据图象来判断与系数相关的不等式类问题，是近年来中考中出现比较频繁的一类题型应该说它的再生力和潜在力比较强，应值得大家注意。这类试题今年各家难度不一，但解决起来，首先要细仔地观察图象，这是最关键点，其次要有总体观点。

2例1．（2008年龙岩市）已知函数yaxbxc的图象如图所示，

则下列结论正确（ ）

A．a＞0，c＞0

B．a＜0，c＜0

C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜0

解析：这是一道简单类型题，可直接由开口和图象与y轴的交点可得D正确。 例2．（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线yax2bxc(a0)y3 的对称轴是直线x1，且经过点P（3，0），则abc的值为（ ） P–1 O1 3 xA. 0 B. －1 C. 1 D. 2

解析：因对称轴是直线x1，且经过点P（3，0），根据对称性可知图象 过点（－1,0）。则知abc＝0，则选A。

2例3．（2008年巴中市）二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ）

b0 2a解析：因本题是要求在结论中找出错的，直接观察图象便知A、B、C是显然正确，对于D因其对称轴在y轴的右边。则知选D。 例4．（08长沙）二次函数yax2bxc的图象如图所示， 则下列关系式不正确的是（ ） A、a＜0 B、abc＞0 C、abc＞0 D、b24ac＞0

解析：因开口向下，则a<0; 又因图象与y轴交于x轴上方，则c>0;

A．b24ac0 B．a0 C．c0 D．b＜0,则b<0；又图象与x轴有两个交点，则b24ac＞0； 2a当x=1时，图象在x轴下方；所以选C。

又因称轴-1＜－

2例5．（2008甘肃兰州）已知二次函数yaxbxc（a0）的图象

如图所示，有下列4个结论：①abc0；②bac； ③4a2bc0；④b24ac0；其中正确的结论有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

b1，则知b=-2a>0; 2ay x=1 解析：因开口向下，则知a<0；因对称轴是x-1 O

x 由图象与y轴交点可知c>0，与x轴交点可知b24ac0。

而当x=－1时，a-b+c<0,当x＝2时，有4a+2b+c＞0。所以选B

说明：以上这5例在中考中是属于难度较类题型，它们只要求考生能明确：①开口与首项系数的关系；②明确图象与y轴的交点的位置决定c的正负；③明确图象与x轴交点

b决定b24ac的正负；④对称轴的正负决定的正负。因此这类题的区分度不大。

2a2y 例6．（08湖北天门）已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，

下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0， 其中正确结论的个数为（ ）．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 -1 O 1 解析：因开口向下知a<0；又因图象与y轴交点在x轴上方，则知c>0； b又因称轴0＜－＜1，所以知b>0；则知①错②正确。又根据图象知x=-1函数值大于

2a零，

则知③错。又因a-b+c>0,则a+c>b＞0，则④正确。则选C。

2例7．（08丽水）如图所示，二次函数yaxbxc(a0)的图象经过点(1，2)， x 且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x11，0x21， 下列结论：①4a2bc0；②2ab0；③a1；④b28a4ac． 其中正确的有（ ） A．1个 B．2个

C．3个

D．4个

21y 201x 解析：对于①由x=-2知图在x轴下方知正确；由对称轴知②正确；由开口方向和x1,x24acb2的位置知③正确；对于④由图可知：04aD。

2

例8．（2008年安徽）如图为二次函数y=ax＋bx＋c的图象，在下列说法中： ①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3

③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。

正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上) 解析：根据图象可得a>0,c<0,b<0，且图象过点（－1,0），（3,0）；

因x=1时图象在x轴下方，则a＋b＋c＞0；因对称轴是x=1,则④正确。所以选①②④。

2例9．（08湖北鄂州）小明从图所示的二次函数yaxbxc的图象中，

y观察得出了下面五条信息：①c0；②abc0；③abc0； ④2a3b0；⑤c4b0，你认为其中正确信息的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10 解析：由开口、图象与y轴交点、对称轴知a>0,b<0,c<0，则①②； 2 b1知④不正确； 由x=-1知图在x轴上方可知③正确；由2a3 5b1知cb＞0，又因b＜0，所以c-4b＞0。 对于⑤由③和22a3则①②③⑤正确，所以选C。

说明：这4例是有一定难度的的试题，它们不仅要求考生能明确前四点，还要求考生能从这四点中寻找出其内关系，这类题是非常有潜力的试题，它们住住多是一份试卷难度的控制性试题之一。作为学习者一定要掌握除前面基础知外，关键地还要扣住图中x轴上标的点的坐标与函数值之间的关系，这是精读图象的关键所在。但然根据给出的系数不式，有争对性地分析处理也非常必要的的，这就要求从己知的不等关系和相等关系中发掘有价值的关系，这也能体现一名学生处理数学问题的能力，所以近年特别地“热”。 二．二次函数图与其它函数间关系

这类问题多是两个函数有一些相互制约的共同参数，根据二次图象来确定参数的符号（或根据另一函数图象来确定参数符号，再确定二次函数图象的位置），从而确定另一函数的图象的大至位置。

y 2例10．（08四川凉山）已知二次函数yaxbx1的大致图象如图所示， 那么函数yaxb的图象不经过（ ） A．一象限

B．二象限

1 x132x 0 x C．三象限 D．四象限

b解析：因开口向下，则知a<0;又因x＜0，则b<0。则知中图不过第一象限。

2a例11．（08江苏镇江）福娃们在一起探讨研究下面的题目： 2yxxm（m为常数）的图象如右图，如果xa时， y 函数 y0；那么xa1时，函数值（ ） x O x1 x2 ymym0ymy0 A． B． C． D． 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（ ）

贝贝：我注意到当x0时，ym0．

晶晶：我发现图象的对称轴为x欢欢：我判断出x1ax2．

1． 2迎迎：我认为关键要判断a1的符号． 妮妮：m可以取一个特殊的值．

2yxxm，所以对称轴为x1；又因0芜湖市）函数

yaxb和yax2bxc在同一直角坐标系内的图象大致是

解析：若a>0时，则选择支A不正确；若B正确则有二次函数的对称轴知b＜0，与一次图象相矛盾，则B不正确；若C正确，则b<0，则相互不矛盾；若D正确，则有a<0,这时一次函数图象不正确。所以选C。 例13．（2008

年泰安市）在同一直角坐标系中，函数

ymxm和ymx22x2（m是

常数，且m0）的图象可能是（ ） ．．y y y y OOOx Ox x x Ｄ． Ａ． Ｂ． Ｃ．

解析：当m>0时，对于直线来说只有C符合，而这时二次函数开口向下，则相互抵局；当m<0时，其中A、B、D中的直线都适合，而二次函数与y轴的交点在x轴上方（0,2）

1点，且二次函数图象开口向上，而其对称轴x0，则A、B中相互抵局；所以选D。

m说明：以上这4例二次函数与一次函数的关系，这类制约关系的突破口多是先扣住一个参数，根据其正负性来确定图象（多是一次函数图象），再根据二次函数本身性质，利用己得出系数关系寻找每一个相互间矛盾，最后确选择。这类题难度不是大，但其再生

力不容小视，因其有一箭双雕的作用。

k例14．（08石狮）已知反比例函数y的图象如下右图所示，则二次函数

xy2kx2xk2的图象大致为（ ） yy

OxOxyyyOxOxOxA． B． CD解析：由反比例函数图象可知k<0；则二次函数图象开口向下，对称轴x所以选D。

例15．（08湖北黄石）在反比例函数y10。 4ka中，当x0时，y随x的增大而减小，则二次函x数yax2ax的图象大致是下图中的（ ）

y O A．

解析：因反比例函数y

x y O O x B． C． x y y O x D．

a

中，当x0时，y随x的增大而减小，所以a＞0；则二次函x

1数yax2ax图象的开口上，且对轴为x。所以选A。

2说明：以上这2例主要是分析了二次函数与反比例函数间关系，解决这类问题破题的关键之处是先确定反比例函数的系数，再根据此系数和二次函数的系数来确定二次函数的图象，这类试题应该说它的区分度和潜在力是比较强的。 三．直接根据图象来确定参数

这类题主要是要求考生能根据给出函数解析式的系数间的相互制约性，以及给出图象的特殊性来确定系数，应该说这是一类难度较大的试题，它要求考生不要放过每一个图象中一点有益信息，也只有这样才能确定系数的具体值；它区分度和潜在力都是不可低估。不过今年出现的频率是比较低的。

22例16．（2008年义乌市）已知：二次函数yaxbxaba0的图像为下列图像之一，则a=______.

解析：先扣住首项系数a来分析：

若a>0时，则只有第一、四个正确，若第一个正确，则有b=0,a=-4，则不可能；若第四个正确，则有a=3,b=-9，这时对称轴不符合；

若a<0时，则只有第二、三个正确，若二正确，则b=0,a=-4,这与最高点不符；若第三个正确，过点（－1,0），则a=-1。

以上是对2008年部分中考试题出现的二次函数图象与系数关系类问题分类解密，望大家看后能有所警视，并能给你的学习和复习留点视觉暂留感。