２０１１年３月 安阳工学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｍａｒ．２０１ １ 第１０卷第２期（总第５０期） Ｖｏ１．１０ Ｎｏ．２（Ｇｅｎ．Ｎｏ．５０） 在连续梁计算和作图中的应用 李继生，庞留勇 （黄淮学院数学科学系，河南驻马店４６３０００） 摘要：在用力法解算连续梁时，系数和自由项多，计算量大，绘图多。可运用ＭＡＴＬＡＢ大型数学计算软件分步编制程 序来解决这一问题，而在教学过程中可注重概念的分析、推理过程与力学模型的建立。给出了计算和绘图方法。ＭＡＴＬＡＢ的 这一应用激发了学生的学习兴趣，改善了结构力学的教学效果。本方法，在结构力学计算中具有普遍的适用性。 关键词：ＭＡＴＬＡＢ：力法：应用 中图分类号：Ｕ４７１．１５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—２９２８（２０１１）０２—００５４—０４ 用结构力学［１］求解超静定结构，当结构的超静定次数较大，或未知量数目较多时，系数和自由项的计 算量和绘图量很大。以力法为例，对于ｒｔＸｒｔ阶系数矩阵，根据位移互等定理 可知系数矩阵中，有凡＋ ｆｎ２－ｎ）／２＝（ｎ２＋ｎ）／２个计算量，再加上ｎ个自由项，所以一个 次超静定应有（ｎ。＋３ｎ）／２个计算量；同时，也要绘 制（ｎ＋１）个弯矩图。较大的手工计算量和作图容易导致学生过多注重数学计算而忽略了力学原理的掌握 和应用．进而使他们产生对力学的畏惧。失去对力学的兴趣和探索。 应用ＭＡＴＬＡＢ 软件的丰富可靠的矩阵运算、数据处理、图形绘制等便利工具，可高效简捷地解决计 算量和作图问题。 １计算方法和步骤 基于ＭＡＴＬＡＢ，用力法计算连续梁一般可分为四个步骤： 第一步，依据力学知识建立连续梁的力法基本方程； 第二步，建立各杆段的弯矩方程，用ＭＡＴＬＡＢ中的积分函数ｉｎｔ计算系数和自由项； 第三步，把系数和自由项代人力法基本方程，用ＭＡＴＬＡＢ中的矩阵除法来计算多余未知力； 第四步，用ＭＡＴＬＡＢ语言编制的程序和其中的图形编辑窗口来绘制连续梁的弯矩图和剪力图。 ２应用举例 用力法求图１所示连续梁的Ｂ点和Ｃ点处的反力并作弯矩图和剪力图，Ｅｌ＝常数。 ２．１力法计算方程建立 用力法计算时，它是一个二次超静定结构。它的力法典型方 ６１１ ｌ＋６１２ ２＋△ Ｐ＝０ ６２１ １＋６２２ ＋Ａ２Ｐ＝０ ｌ一 ６ｍ ～Ｉ１ ５ｍＩ１ ５ｍ ．为了计算系数和自由项，首先要列出弯矩方程，为此，取静 图１连续梁 定的基本体系（如图２所示）和基本结构（如图３所示）。图２中， 。为Ｂ支座处的反力， 为Ｃ支座处的 反力。 ６ｍ ．１．５ｍ．１．５ｍ ． ｂｍ ．１．０ｍ．１．ｂｍ ｝．————————————————■叫・｝－．・ｒＩ—ｒ＿—，１ｔ 图２力法的基本体系 图３力法的基本结构 在ＡＢ梁段内（以Ｂ点为坐标原点） 收稿日期：２０１０—１２—０２ 作者简介：李继￣（１９６５一），男，河南汝南人，黄淮学院数学科学系教师，从事力学教学和相关研究工作。 第二期 李继生庞留勇ＭＡＴＬＡＢ在连续梁计算和作图中的应用 ５５ Ｍ１ Ｍｚ＝ｘ＋３ Ｍｐ＝５８—６４（ｘ＋１．５） 在ＢＤ梁段内（０≤ ≤１．５，以Ｄ点为坐标原点） １＝０ Ｍ２＝ｘ＋１．５ Ｍｐ＝－６４ｘ 在ＤＣ梁段内（０≤ ≤１．５，以Ｃ点为坐标原点） １＝Ｄ ＝０ 运用ＭＡＴＬＡＢ计算系数和自由项，只需列出相应的弯矩方程并代人系数和自由项表达式，而不必每 计算步骤都要画出荷载弯矩图和单位弯矩图，这有利于加强学生对弯矩和弯矩方程的理解与掌握；同 时，图乘法只适用于至少有一个直线型弯矩图的情况，而弯矩方程适用于任意状况。因此，用弯矩方程进 行积分运算来求解系数和自由项更具一般意义，应用范围更广。 一２．２计算系数和自由项 ２．２．１系数和自由项的表达式 ６ ：』警出 Ｊ ２．２．２用积分函数ｉｎｔ求系数和自由项 式中ｉ和 可分别取１和２． 因为力法方程中的各项都有ＥＩ，可以消去。计算超静定结构在荷载作用下的内力时，只需要知道各杆 ＥＩ的相对值，而不需要各杆ＥＩ的绝对值。设本梁各段的抗弯刚度均为ＥＩ＝Ｉ。 根据叠加原理，在ＡＢ、ＢＤ和ＤＣ三个梁段内，用积分函数ｉｎｔ逐个求出每一个系数和自由项的分量， 并直接叠加，即可得到相应的系数和自由项。例： 在ＡＢ梁段内：６１ｉ＝ｉｎｔ（（ｘ．＾２） ，０，６）＝７２ 在ＢＤ梁段内 矗：＝ｉｎｔ（（ｘ＊０），ｘ，０，１．５）＝０ 在ＤＣ梁段内： １｛＝ｉｎｔ（（ｘ＊０），ｘ，０，１．５）＝０ 则： １１－－６￣Ｉ＋６ｌ｛・ １３＿ｉｎｔ（ ． ２） ，０，６）＋ｉｎｔ（（ｘ＊０），ｘ，０，１．５）＋ｉｎｔ（ ０） ，０，１．５）：７２ 其它的系数和自由项为： ｓｙｍｓ ： ８ ２１＝ｉｎｔ（（ｘ． ２） ，０，６）＋ｉｎｔ（（３ ） ，０，６）＋ｉｎｔ（（ ＋１．５） Ｏ） ，０，Ｉ．５）＋ｉｎｔ（（ｘ ０） ，０，１．５）＝１２６ 艿２２＝ｉｎｔ ＋３）． ） ，０，６）＋ｉｎｔ ＋１．５）．＾２） ，０，Ｉ．５）＋ｉｎｔ（（ｘ．＾２） ，０，Ｉ．５）＝２４３ ＝ｉｎｔ（ （５８－６４ ＋１．５））） ，０，６）＋ｉｎｔ（（－６４ ０） ，０，１．５）＋ｉｎｔ（（ｘ ０） ，０，１．５）＝－５２９２ ｉｍ（（ ＋３） （５８－（ｘ＋１．５） ６４）） ，０，６）＋ｉｎｔ（（－６４＂ｘ ＋１．５）） ，０，１．５）＋ｉｎｔ（（ｘ ０） ，０，１．５）＝一９６ １ ２ ＝２．３反力结果 将以上系数和自由项代人力法典型方程，并将自由项移到等号右侧。用ＭＡＴＬＡＢ中求解线性方程组 的矩阵除法 、６进行运算。可得： Ａ＝［７２ １２６；１２６ ２４３］； ｂ＝［５２９２ ９６１２］ ； －Ａ、６ ＝［４６．２０００，１５．６０００］ 即：图２中的反力 ＝４６．２ＫＮ；Ｘ２＝１５．６ＫＮ。 ２．４绘制弯矩图和剪力图 把 ＝４６．２ＫＮ；Ｘ：＝１５．６ＫＮ代入图２中，然后分段列出弯矩方程，根据弯矩方程来作图。 在ＡＢ梁段内：Ｍ＝Ｍ１× １＋Ｍ２ｘＸ２＋ ＝４６．２ｘ＋１５．６ ＋３）＋５８—６４ ＋１．５） 在ＢＤ梁段内：Ｍ＝ＭｌｘＸｌ × ２埘ｐ＝＝１５．６ ＋１．５）一６４ｘ 在ＤＣ梁段内： ； １× １棚 × ２棚Ｄ＝１５． ２．４．１绘图程序 ２．４．１．１绘图原函数 在 坐标轴正向水平向右为正，Ｍ坐标轴正向垂直向上正的坐标系下，各梁段的弯矩方程及其变化 区间为： 在ＡＢ梁段内：４６．２＂ｘ＋１５．６ ＋３）＋５８—６４＂（ｘ＋１．５），［Ｏ，６］ 在ＢＤ梁段内：１５．６木 ＋１．５）一６４ ，［０，１．５】） 在ＤＣ梁段内：１５．６＊ｘ，［０，１．５】） 安阳工学院学报 ２０１１年 ２．４．１．２坐标变换 在土木工程专业中，一般是确定 坐标轴正向水平向右为正，Ｍ坐标轴正向垂直向下正；同时，在分 梁段建立弯矩方程的时候，为了得到最简单的弯矩方程表达式，每个梁段的坐标原点和坐标系可任意选 取，但最后要把每段的图形画在同在一坐标系里，故需要变换坐标及 和 坐标轴正向如下： 在ＡＢ梁段内： ＝一 ＋３），即用一 ＋３）替换函数中的 ； 在ＢＤ梁段内： ＝一 ＋１．５）；在ＤＣ梁段内 ＝ ： 在原函数之前加负号以改变坐标轴的正向。 ２．４．１．３坐标变换后的函数及弯矩图绘图程序 ｆｐｌｏｔ（＇－（１５．６ （一 ）） ，［－１．５，０］）ｈｏｌｄ ｏｎ；ｆｐｌｏｔ（＇－（１５．６ （ ）一６４ （一 ＋１．５））） ，［－１．５，－３１）； 、 ｆｐｌｏｔ（ （４６．２ （一 ＋３））＋１５．６ （（一 ＋３））＋３）＋５８—６４ （（一 ＋３））＋１．５）） ，［－３，－９］） （１５．６ －－１．５））Ｙ＝－２３．４０００ ｔｅｘｔ（－１．５，－２３．４，＂２３．４，） ｙｌ＝－（１５．６ （一一３）一６４ （一（一３＋１．５）））ｙｌ＝４９．２０００ ｔｅｘｔ（－３，４９．２，＂－４９．２，） ２＝一（４６．２ （一（一３＋３））＋１５．６ （（一（一３＋３））＋３）＋５８—６４ （（一（一３十３））＋１．５））ｙ２＝一８．８０００ ｔｅｘｔ（－３，－８．８， ８．８，） ｙ３＝－（４６．２ （一（一９＋３））＋１５．６ （（一（一９＋３））＋３）＋５８—６４ （（一（一９＋３））＋１．５））ｙ３＝４．４０００ ｔｅｘｔ（－９，４．４， －４．４，） ｘ＝［－３，－３１；ｙ＝卜８。８，４９．２］；ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ） ２．４．１．４坐标变换后的函数及剪力图绘图程序 一ｓｙｍｓ ；ｅｚｐｌｏｔ（ｄｉｆ（１５．６ （— ）），［－１．５，０］）；ｈｏｌｄ ｏｎ；ｅｚｐｌｏｔ（ｄｉｆ（１５．６ （— ）一６４ （一 ＋１．５））），［－１．５，一３］）； ｅｚｐｌｏｔ（ｄｉｆｆ（４６．２ （一（ ＋３））＋１ ５．６ （（一（ ＋３））＋３）＋５８—６４ （（一（ ＋３））＋１．５）），［－３，一９】）ｇｒｉｄ ｏｎ ｙ＝ｄｉｆ（１５．６ （— Ｙ＝－１５．６０００ ｔｅｘｔ（－１．５，一１５．，－－１５．６，） ｙｌ＝ｄｉｆｆ（１５．６ （一 ）一６４ （一 ＋１．５）））ｙｌ＝４８．４０００ ｙ２＝ｄｉｆ（４６．２ （一 ＋３））＋１５．６ 一 ＋３））＋３）＋５８—６４ 一 ＋３））＋１．５））ｙ２＝２．２０００ ｔｅｘｔ（－３，２．２，２．２，） ｘ＝［－３，一３】；ｙ＝【２．２，４８．４］；ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ）ｘ＝［－１．５，－１．５】；ｙ＝［－１５．６，４８．４］；ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ）ｔｅｘｔ（一１．５，４８．４，＂４８．４，） ２．４．２输出弯矩图形和剪力图形 输入程序之后，在图形编辑窗口内的编辑菜单里，编辑 坐标和 坐标等参数后，即可得到弯矩图和 剪力图（图４、图５）。 ４ｇ２： ＩＩｌ： ‘ ．＼＼ ：． … ： ＼ＩＩ ＿・・ ＼： ： －４＿４： ： ： ： ：？ ： ： ： ： ：８ ｊ＼¨ ’ … ・ ：２３．４ 图４弯矩图 图５剪力图 ３结束语 实践表明，在结构力学教学中引入ＭＡＴＬＡＢ，学生应用结构力学的有关知识，通过极为简单的分步编 程，有时甚至无需编程，即可完成有关问题的过程分析、大量计算和绘图，激发学生学习力学的兴趣，不会 增加学生对编程语言的畏惧；ＭＡＴＬＡＢ的引进有利于提高力学教学效率，加强学生对力学基本概念和原 理的理解，给学生自主学习和研究性学习提供了一个良好的学习平台，为学生创新思堆的发挥拓展了广 阔的空间。因此，ＭＡＴＬＡＢ对于结构力学计算是十分有利的工具，在教学中引入它是可行和必要的。 参考文献： ｆ１】龙驭球，包世华．结构力学Ｉ（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６． ［２】ＭａｔｈＷｏｒｋｓ。ＭＡＴＬＡＢ（７．０．０．１９９２０ Ｒ１４）［ＣＰ］．美国：Ｔｈｅ ＭａｔｈＷｏｒｋｓ，２００４． 【３】孙洪军，寇智勇．ＭＡＴＬＡＢ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ在理论力学过程分析中的应用【Ｊ】．成都大学学报，２００８，２７（１）：７８－８０． ［４】马晓光，于国清．ＭＡＴＬＡＢ在结构力学中的应用叽．白城师范学院学报，２００６，２０（４）：９９—１０２． ［５】刘树新，李革．面向对象程序设计在材料力学教学改革中的应用【Ｊ】．石家庄铁道学院学报，２００６，ｌ９（增）：１９０—１９１． （下转６０页） 安阳工学院学报 ２０ｌ１年 Ｗａｔｅｒ Ｓｕｐｐｌｙ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ＤＵ Ｈｏｎｇ——ｔａｏ （Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｉｔｔｕｔｅ ｏｆ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ Ｄｅｓｉｇｎ，Ａｎｙａｎｇ ４５５０００，ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｍａｉｎｌｙ ｅｘｐｏｕｎｄｓ ｔｈｅ ｐｉｐｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｈｏｗ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｔｏ ＳＯｌＶｅ ｗａｔｅｒ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． ｋｅｙ ｗｏｒｄ：ｗａｔｅｒ ｓｕｐｐｌｙ ｎｅｔｗｏｒｋ；ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｍａｔｒｉｘ；ｃｏｍｐｕｔｅｒ （责任编辑：郝安林） （上接５６页） ［６］何结兵．ＭＡＴＬＡＢ在工程力学课程教学中的实践【Ｊ】．力学与实践，２００３，２５（６）：７３—７５． ［７］胡玮军，陈梦迁．ＭＡＴＬＡＢ辅助教学辅助新工具【Ｊ］．中国电力教育，２００８（１０）：７１—７３． ［８】闰石．工科高校工程力学虚拟实验室的开发和应用叨．中国现代教育装备，２００９（３）：９９—１０１． ［９］徐金明．ＭＡＴＬＡＢ实用教程ＥＭ］．北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社，２００５． ＭＡＴＬＡＢ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｒａｗｉｎｇ ｏｆ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｂｅａｍｓ ＬＩ Ｊｉ－ｓｈｅｎｇ，ＺＨＡＯ Ｗｅｎ－ｊｕ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ＨｕａｎｇＨｕａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ ４６３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｈｉｌｅ ｕｓｉｎｇ ｆｏｒｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｒｅｓｏｌｖｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍｓ．ｉｔ ｉｓ ａ ｌａｒｇｅ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｗｏｒｋ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｎｄ ｆｒｅｅ ｔｅｒｍｓ．Ａｓ ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｓｏｆｗａｔｒｅ，ＭＡＴＬＡＢ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｔｅｐ ｂｙ ｓｔｅｐ，ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｅｒｓ ａｎｄ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｃａｎ ｍａｉｎｌｙ ｆｏｃｕｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｎａａｌｙｓｉｓ，ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ａｎｄ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｒａｗｉｎｇ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ＭＡＴＬＡＢ ｃａｎ ａｌｓｏ ｓｔｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｌｅａｒｎｉｎｇ．ａｎｄ ｇｒｅａｔｌｙ ｒａｉｓｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅａｓｅ．ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈａｔ ＭＡＴＬＡＢ ｉＳ ｅｆｉｃｉｆｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｌ ａｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｍａｎｙ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄＳ：ＭＡｒＩ’ｌＬＡＢ；ｆｏｒｃｅ ｍｅｔｈｏｄ：ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ （责任编辑：郝安林）
