2011年3月 安阳工学院学报 Journal of Anyang Institute of Technology Mar.201 1 第10卷第2期(总第50期) Vo1.10 No.2(Gen.No.50) 在连续梁计算和作图中的应用 李继生,庞留勇 (黄淮学院数学科学系,河南驻马店463000) 摘要:在用力法解算连续梁时,系数和自由项多,计算量大,绘图多。可运用MATLAB大型数学计算软件分步编制程 序来解决这一问题,而在教学过程中可注重概念的分析、推理过程与力学模型的建立。给出了计算和绘图方法。MATLAB的 这一应用激发了学生的学习兴趣,改善了结构力学的教学效果。本方法,在结构力学计算中具有普遍的适用性。 关键词:MATLAB:力法:应用 中图分类号:U471.15 文献标识码:A 文章编号:1673—2928(2011)02—0054—04 用结构力学[1]求解超静定结构,当结构的超静定次数较大,或未知量数目较多时,系数和自由项的计 算量和绘图量很大。以力法为例,对于rtXrt阶系数矩阵,根据位移互等定理 可知系数矩阵中,有凡+ fn2-n)/2=(n2+n)/2个计算量,再加上n个自由项,所以一个 次超静定应有(n。+3n)/2个计算量;同时,也要绘 制(n+1)个弯矩图。较大的手工计算量和作图容易导致学生过多注重数学计算而忽略了力学原理的掌握 和应用.进而使他们产生对力学的畏惧。失去对力学的兴趣和探索。 应用MATLAB 软件的丰富可靠的矩阵运算、数据处理、图形绘制等便利工具,可高效简捷地解决计 算量和作图问题。 1计算方法和步骤 基于MATLAB,用力法计算连续梁一般可分为四个步骤: 第一步,依据力学知识建立连续梁的力法基本方程; 第二步,建立各杆段的弯矩方程,用MATLAB中的积分函数int计算系数和自由项; 第三步,把系数和自由项代人力法基本方程,用MATLAB中的矩阵除法来计算多余未知力; 第四步,用MATLAB语言编制的程序和其中的图形编辑窗口来绘制连续梁的弯矩图和剪力图。 2应用举例 用力法求图1所示连续梁的B点和C点处的反力并作弯矩图和剪力图,El=常数。 2.1力法计算方程建立 用力法计算时,它是一个二次超静定结构。它的力法典型方 611 l+612 2+△ P=0 621 1+622 +A2P=0 l一 6m ~I1 5mI1 5m .为了计算系数和自由项,首先要列出弯矩方程,为此,取静 图1连续梁 定的基本体系(如图2所示)和基本结构(如图3所示)。图2中, 。为B支座处的反力, 为C支座处的 反力。 6m .1.5m.1.5m . bm .1.0m.1.bm }.————————————————■叫・}-.・rI—r_—,1t 图2力法的基本体系 图3力法的基本结构 在AB梁段内(以B点为坐标原点) 收稿日期:2010—12—02 作者简介:李继 ̄(1965一),男,河南汝南人,黄淮学院数学科学系教师,从事力学教学和相关研究工作。 第二期 李继生庞留勇MATLAB在连续梁计算和作图中的应用 55 M1 Mz=x+3 Mp=58—64(x+1.5) 在BD梁段内(0≤ ≤1.5,以D点为坐标原点) 1=0 M2=x+1.5 Mp=-64x 在DC梁段内(0≤ ≤1.5,以C点为坐标原点) 1=D =0 运用MATLAB计算系数和自由项,只需列出相应的弯矩方程并代人系数和自由项表达式,而不必每 计算步骤都要画出荷载弯矩图和单位弯矩图,这有利于加强学生对弯矩和弯矩方程的理解与掌握;同 时,图乘法只适用于至少有一个直线型弯矩图的情况,而弯矩方程适用于任意状况。因此,用弯矩方程进 行积分运算来求解系数和自由项更具一般意义,应用范围更广。 一2.2计算系数和自由项 2.2.1系数和自由项的表达式 6 :』警出 J 2.2.2用积分函数int求系数和自由项 式中i和 可分别取1和2. 因为力法方程中的各项都有EI,可以消去。计算超静定结构在荷载作用下的内力时,只需要知道各杆 EI的相对值,而不需要各杆EI的绝对值。设本梁各段的抗弯刚度均为EI=I。 根据叠加原理,在AB、BD和DC三个梁段内,用积分函数int逐个求出每一个系数和自由项的分量, 并直接叠加,即可得到相应的系数和自由项。例: 在AB梁段内:61i=int((x.^2) ,0,6)=72 在BD梁段内 矗:=int((x*0),x,0,1.5)=0 在DC梁段内: 1{=int((x*0),x,0,1.5)=0 则: 11--6 ̄I+6l{・ 13_int( . 2) ,0,6)+int((x*0),x,0,1.5)+int( 0) ,0,1.5):72 其它的系数和自由项为: syms : 8 21=int((x. 2) ,0,6)+int((3 ) ,0,6)+int(( +1.5) O) ,0,I.5)+int((x 0) ,0,1.5)=126 艿22=int +3). ) ,0,6)+int +1.5).^2) ,0,I.5)+int((x.^2) ,0,I.5)=243 =int( (58-64 +1.5))) ,0,6)+int((-64 0) ,0,1.5)+int((x 0) ,0,1.5)=-5292 im(( +3) (58-(x+1.5) 64)) ,0,6)+int((-64"x +1.5)) ,0,1.5)+int((x 0) ,0,1.5)=一96 1 2 =2.3反力结果 将以上系数和自由项代人力法典型方程,并将自由项移到等号右侧。用MATLAB中求解线性方程组 的矩阵除法 、6进行运算。可得: A=[72 126;126 243]; b=[5292 9612] ; -A、6 =[46.2000,15.6000] 即:图2中的反力 =46.2KN;X2=15.6KN。 2.4绘制弯矩图和剪力图 把 =46.2KN;X:=15.6KN代入图2中,然后分段列出弯矩方程,根据弯矩方程来作图。 在AB梁段内:M=M1× 1+M2xX2+ =46.2x+15.6 +3)+58—64 +1.5) 在BD梁段内:M=MlxXl × 2埘p==15.6 +1.5)一64x 在DC梁段内: ; 1× 1棚 × 2棚D=15. 2.4.1绘图程序 2.4.1.1绘图原函数 在 坐标轴正向水平向右为正,M坐标轴正向垂直向上正的坐标系下,各梁段的弯矩方程及其变化 区间为: 在AB梁段内:46.2"x+15.6 +3)+58—64"(x+1.5),[O,6] 在BD梁段内:15.6木 +1.5)一64 ,[0,1.5】) 在DC梁段内:15.6*x,[0,1.5】) 安阳工学院学报 2011年 2.4.1.2坐标变换 在土木工程专业中,一般是确定 坐标轴正向水平向右为正,M坐标轴正向垂直向下正;同时,在分 梁段建立弯矩方程的时候,为了得到最简单的弯矩方程表达式,每个梁段的坐标原点和坐标系可任意选 取,但最后要把每段的图形画在同在一坐标系里,故需要变换坐标及 和 坐标轴正向如下: 在AB梁段内: =一 +3),即用一 +3)替换函数中的 ; 在BD梁段内: =一 +1.5);在DC梁段内 = : 在原函数之前加负号以改变坐标轴的正向。 2.4.1.3坐标变换后的函数及弯矩图绘图程序 fplot('-(15.6 (一 )) ,[-1.5,0])hold on;fplot('-(15.6 ( )一64 (一 +1.5))) ,[-1.5,-31); 、 fplot( (46.2 (一 +3))+15.6 ((一 +3))+3)+58—64 ((一 +3))+1.5)) ,[-3,-9]) (15.6 --1.5))Y=-23.4000 text(-1.5,-23.4,"23.4,) yl=-(15.6 (一一3)一64 (一(一3+1.5)))yl=49.2000 text(-3,49.2,"-49.2,) 2=一(46.2 (一(一3+3))+15.6 ((一(一3+3))+3)+58—64 ((一(一3十3))+1.5))y2=一8.8000 text(-3,-8.8, 8.8,) y3=-(46.2 (一(一9+3))+15.6 ((一(一9+3))+3)+58—64 ((一(一9+3))+1.5))y3=4.4000 text(-9,4.4, -4.4,) x=[-3,-31;y=卜8。8,49.2];plot(x,y) 2.4.1.4坐标变换后的函数及剪力图绘图程序 一syms ;ezplot(dif(15.6 (— )),[-1.5,0]);hold on;ezplot(dif(15.6 (— )一64 (一 +1.5))),[-1.5,一3]); ezplot(diff(46.2 (一( +3))+1 5.6 ((一( +3))+3)+58—64 ((一( +3))+1.5)),[-3,一9】)grid on y=dif(15.6 (— Y=-15.6000 text(-1.5,一15.,--15.6,) yl=diff(15.6 (一 )一64 (一 +1.5)))yl=48.4000 y2=dif(46.2 (一 +3))+15.6 一 +3))+3)+58—64 一 +3))+1.5))y2=2.2000 text(-3,2.2,2.2,) x=[-3,一3】;y=【2.2,48.4];plot(x,y)x=[-1.5,-1.5】;y=[-15.6,48.4];plot(x,y)text(一1.5,48.4,"48.4,) 2.4.2输出弯矩图形和剪力图形 输入程序之后,在图形编辑窗口内的编辑菜单里,编辑 坐标和 坐标等参数后,即可得到弯矩图和 剪力图(图4、图5)。 4g2: IIl: ‘ .\\ :. … : \II _・・ \: : -4_4: : : : :? : : : : :8 j\¨ ’ … ・ :23.4 图4弯矩图 图5剪力图 3结束语 实践表明,在结构力学教学中引入MATLAB,学生应用结构力学的有关知识,通过极为简单的分步编 程,有时甚至无需编程,即可完成有关问题的过程分析、大量计算和绘图,激发学生学习力学的兴趣,不会 增加学生对编程语言的畏惧;MATLAB的引进有利于提高力学教学效率,加强学生对力学基本概念和原 理的理解,给学生自主学习和研究性学习提供了一个良好的学习平台,为学生创新思堆的发挥拓展了广 阔的空间。因此,MATLAB对于结构力学计算是十分有利的工具,在教学中引入它是可行和必要的。 参考文献: f1】龙驭球,包世华.结构力学I(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2006. 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MATLAB Application in Solving the Calculation and Drawing of Continuous Beams LI Ji-sheng,ZHAO Wen-ju (Department of Mathematical Sciences,HuangHuai University,Zhumadian 463000,China) Abstract:While using force method to resolve continuous beams.it is a large amount of work to calculate the coefficients and free terms.As large—scale mathematical computation sofwatre,MATLAB programming can be used to solve this problem step by step,and that the teachers and students can mainly focus on the concept of naalysis,reasoning and mechanical model in the teaching process.Methods of calculation and drawing were given.Application of MATLAB can also stimulate the students interest in learning.and greatly raise teaching efifciency of structural mechanics.Based on the ease.this paper presents that MATLAB iS eficifent and convenient in calculating a structurl amechanics and can be applied to many kinds of structures. Key wordS:MArI’lLAB;force method:application (责任编辑:郝安林)