2013年高考文科数学福建卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(福建卷)

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013福建，文1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C

解析：在复平面内，z＝－1－2i对应点的坐标为(－1，－2)，故选C.

2．(2013福建，文2)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 答案：A

解析：点(2，－1)在直线l：x＋y－1＝0上，而直线l上的点的坐标不一定为(2，－1)，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件．

3．(2013福建，文3)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )．

A．2 B．3 C．4 D．16 答案：C 解析：由题知A∩B＝{1,3}，故它的子集个数为22＝4.

4．(2013福建，文4)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )．

A．

21 B． C．1 D．2

22答案：B

解析：x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，顶点坐标为(±1,0)，点(±1,0)到y＝±x的距离为

|1|122. 225．(2013福建，文5)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )．

答案：A

解析：由f(0)＝0可知函数图象经过原点． 又f(－x)＝f(x)，所以函数图象关于y轴对称， 故选A.

xy2,6．(2013福建，文6)若变量x，y满足约束条件x1,则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )．

y0,A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0 答案：B

解析：画出可行域如下图阴影部分所示．

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画出直线2x＋y＝0，并向可行域方向移动，当直线经过点(1,0)时，z取最小值．当直线经过点(2,0)时，z取最大值．

故zmax＝2×2＋0＝4，zmin＝2×1＋0＝2.

7．(2013福建，文7)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )．

A．[0,2] B．[－2,0]

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案：D

xy解析：∵2x＋2y＝1≥22，

1∴≥2x＋y，即2x＋y≤2－2. 2∴x＋y≤－2.

8．(2013福建，文8)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为( )．

2A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B

解析：若n＝3，则输出S＝7；若n＝4，则输出S＝15，符合题意．故选B. 9．(2013福建，文9)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)ππ的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数

222013 福建文科数学 第2页 共12页

g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P0,A．

3，则φ的值可以是( )． 25π5πππ B． C． D． 36263， 2答案：B

解析：∵f(x)的图象经过点0,3. 2πππ又∵θ∈,，∴.

322π∴f(x)＝sin2x.

3∴sin θ＝

由题知g(x)＝f(x－φ)＝sin2x又图象经过点0,π， 33， 2∴g(0)＝sin2当π3. 3235π时满足g(0)＝，故选B.

2610．(2013福建，文10)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )．

A．5 B．25 C．5 D．10

答案：C

解析：∵AC·BD＝－4×1＋2×2＝0， ∴AC⊥BD. S四边形ABCD＝

11222|AC||BD|＝12425. 225 3 6 4 11．(2013福建，文11)已知x与y之间的几组数据如下表： x 1 2 3 4 y 0 2 1 3 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ybxa.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)

求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )．

A．b＞b′，a＞a′ B．b＞b′，a＜a′ C．b＜b′，a＞a′ D．b＜b′，a＜a′ 答案：C 解析：x1234567，

6202133413y，

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bxynxyiii1nnxi12inx25， 71aybx，

320b′＝＝2＞b，a′＝－2＜a.

2112．(2013福建，文12)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )．

A．x∈R，f(x)≤f(x0)

B．－x0是f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 答案：D

解析：由函数极大值的概念知A错误；因为函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称，所以－x0是f(－x)的极大值点．B选项错误；因为f(x)的图象与－f(x)的图象关于x轴对称，所以x0是－f(x)的极小值点．故C选项错误；因为f(x)的图象与－f(－x)的图象关于原点成中心对称，所以－x0是－f(－x)的极小值点．故D正确．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

2x3,x0,13．(2013福建，文13)已知函数f(x)＝π则

tanx,0x,2答案：－2 解析：∵ffπf＝__________. 4ππtan1，44fπf＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2. 414．(2013福建，文14)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为__________．

答案：

1 31. 3解析：由3a－1＜0，得a＜∵0≤a≤1，∴0≤a＜

1. 311根据几何概型知所求概率为3.

132xy215．(2013福建，文15)椭圆Γ：221(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x

ab＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．

答案：31

解析：∵由y＝3(x＋c)知直线的倾斜角为60°， ∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°. ∴∠F1MF2＝90°.

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∴MF1＝c，MF2＝3c. 又MF1＋MF2＝2a， ∴c＋3c＝2a，即e231. 3116．(2013福建，文16)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：

(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A＝N，B＝N*；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}； ③A＝{x|0＜x＜1}，B＝R.

其中，“保序同构”的集合对的序号是__________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 答案：①②③

解析：①若y＝x＋1是从A到B的一个函数，且x∈A，则满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}．又f(x)＝x＋1是单调递增的，所以也满足(ⅱ)；

9797②若f(x)＝2x－2时，满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}，又f(x)＝2x－2是单调递增的，所以也满足(ⅱ)；

11ytanπxfxtanπx2(0＜x＜1)时，满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}．又2在(0,1)上③若

是单调递增的，所以也满足(ⅱ)．

故填①②③.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013福建，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.

(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．

解：(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列， 所以a12＝1×(a1＋2)，即a12－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，

所以5a1＋10＞a12＋8a1，即a12＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.

18．(2013福建，文18)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.

(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；

(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； (3)求三棱锥D－PBC的体积．

解法一：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，

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由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，

在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3， 从而AB＝6.

又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，

从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝43. 正视图如图所示：

正视图

(2)取PB中点N，连结MN，CN.

在△PAB中，∵M是PA中点， ∴MN∥AB，MN＝

1AB＝3. 2又CD∥AB，CD＝3， ∴MN∥CD，MN＝CD.

∴四边形MNCD为平行四边形． ∴DM∥CN.

又DM平面PBC，CN平面PBC， ∴DM∥平面PBC. (3)VD－PBC＝VP－DBC＝

1S△DBC·PD， 32013 福建文科数学 第6页 共12页

又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD－PBC＝83. 解法二：(1)同解法一．

(2)取AB的中点E，连结ME，DE.

在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴DE∥BC.

又DE平面PBC，BC平面PBC， ∴DE∥平面PBC.

又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC， ∴ME∥平面PBC.

又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC. 又DM平面DME，∴DM∥平面PBC. (3)同解法一．

19．(2013福建，文19)(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

25周岁以上组

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25周岁以下组

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

nn11n22n12n212附：

n1n2n1n22P(χ2≥k) k 20.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 n(adbc)2(注：此公式也可以写成K)

(ab)(c+d)(a+c)(b+d)解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，

7B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝10.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下： 生产能非生产能合 手 手 计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 10合计 30 70 0 nadbc21001525154522560403070所以得K2＝abcdacbd＝＝14≈1.79.

因为1.79＜2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

20．(2013福建，文20)(本小题满分12分)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.

点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

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(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径． 解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)， 所以点C到准线l的距离d＝2， 又|CO|＝5，

所以|MN|＝2|CO|d254＝2.

222

y02y04y02y02222(2)设C＋y0，即x－x＋y2－2y0y＝0. ,y0，则圆C的方程为x＋(y－y0)＝

162442y由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋0＝0，

2设M(－1，y1)，N(－1，y2)，

y02224y0412y040,2则

2y0yy1.122由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，

y02所以＋1＝4，解得y06，此时Δ＞0.

233所以圆心C的坐标为,6或,6.

22333333从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.

22421．(2013福建，文21)(本小题满分12分)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝22，点M

在线段PQ上．

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(1)若OM＝5，求PM的长；

(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝5，OP＝22， 由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos 45°，得MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝3.

(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP中，由正弦定理，得

OMOPsinOPMsinOMP，

OPsin45所以OM＝sin45.

OPsin45同理ON＝sin75.

1故S△OMN＝2×OM×ON×sin∠MON

1OP2sin2454sin45sin75 ＝

1＝sin45sin4530

131sin45sin(45)cos(45)22 ＝

1321sin(45)sin(45)cos(45)2＝2 131[1cos(902)]sin(9024＝4

1331sin2cos244＝4 131sin2302＝4.

因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，

所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为843. 22．(2013福建，文22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x－1＋

a(a∈R，e为自然对数的底数)． xe(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值；

(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．

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解法一：(1)由f(x)＝x－1＋

aa，得f′(x)＝1－， exex又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－(2)f′(x)＝1－

a＝0，解得a＝e. ea， xe①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a＞0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)＜0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)＞0，

所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． (3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋

1. xe令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋

1， ex则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g(0)＝1＞0，g111<0， 1k1ek1又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1. 又k＝1时，g(x)＝

1＞0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解． ex所以k的最大值为1. 解法二：(1)(2)同解法一． (3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋

1. ex1在R上没有实数xe直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋解，即关于x的方程：(k－1)x＝

在R上没有实数解．

1(*) ex10，在R上没有实数解． xe1②当k≠1时，方程(*)化为＝xex.

k1①当k＝1时，方程(*)可化为令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.

令g′(x)＝0，得x＝－1，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x g′(x) g(x) 当x＝－1时，g(x)min＝(－∞，－1) － －1 0 (－1，＋∞) ＋ 1 e1，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞， e2013 福建文科数学 第11页 共12页