指数与指数函数题型归类解析

一、化简与计算问题.

例1 化简：a33ab9b32323a4273ab131323a1. 3332a3ba13133解：原式(a3ab9b)(a3b)(a27ab)a43131323a

23(a3ab9b)(a3b)(a27b)(a27ab)a[(a)(3b)](a27b)a(a27b)23133133431313231313231313

0.

3232例2 已知：xx1212123，求

xx3的值.

x2x2212122解：法一：

xx123①，∴(xx)9，即xx17

2两边再平方，可得xx32247②

12将①两边立方，可得x3xx即xx323212123xxx1213227③

3(xx)27

3232将①代入③得，xx1218，∴

xx31833.

x2x2247273232法二：设xt，则x12111，t3，t2229 ttt11213(t)(t21)333(71)33ttt. 原式11497t442(t22)2tt二、指数恒等式的证明问题.

t3例3 设a，b，cR，且346.

abc求证：

111. ca2babc证明：设346k(k0)，于是有k3，k4，k6，∴

1a1b1ckkk又k1c1a11ca2.

1b11ca12bk2，∴kk12b.

由底数相同，幂相等的两指数相等得：

111. ca2b三、与指数函数性质有关的问题（如定义域、值域及单调区间）.

1x22x8例4 求函数y()的定义域、值域及单调区间.

21u2解：令y()，ut，tx2x8.

22∵x2x8≥0，即2≤x≤4，∴定义域为[2,4]. ∵x2x8(x1)9,x[2,4] ∴0≤t≤9，0≤u≤3，

221≤y≤1. 8因此函数的值域为[,1].

22∵当－2≤x1＜x2≤1时，t1x12x18＜t2x22x28，

18∴u1t1＜u2t2，y1()1＞y2()2. 因此，当x[2,1]时，函数为减函数.

∵当1≤x1＜x2≤4时，t1＞t2，∴u1＞u2，y1＜y2， 因此，当x[1,4]时，函数为增函数. 四、利用指数函数求参数的取值范围. 例5 已知函数f(x)值范围.

解：f(x)的定义域为R，设x1，x2R且x1＜x2， 则f(x2)f(x1)12u12ua(axax)(a＞0，且a1)是R上的增函数，求a的取2a2a(ax2ax2ax1ax1) 2a2a12(ax2ax1)(1x1x2) a2aa由于a＞0且a1，∴121＞0.

ax1ax2xx∵f(x)为增函数，则(a2)(a2a1)＞0.

22a20a20于是有x或x，解得a＞2或0＜a＜1. x1x122aa0aa0