永春县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永春县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如果集合 A,B，同时满足AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1,就称有序集对

A,B为“ 好集对”. 这里有序集对A,B是指当AB时，A,B和B,A是不同的集对， 那么

“好集对” 一共有（ ）个

A．个 B．个 C．个 D．个 2． △ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线 A．

B．

C．

D．±

上，则

=（ ）

3． 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（ ） A．[3，+∞） 4． 设函数

A．f（x）是奇函数，C．f（x）是偶函数

B．（3，+∞）

C．[﹣∞，3]

D．[﹣∞，3）

，则有（ ）

B．f（x）是奇函数，D．f（x）是偶函数，

y=bx

5． 设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为A．5

B．

C．

，则该双曲线离心率e=（ ）

D．

6． 设函数yf(x)对一切实数x都满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）

A.18 B.12 C.9

D.0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 7． 以椭圆

+

=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为

=

，则

﹣S

（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足（ ） A．2

B．4

C．1

D．﹣1

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4325138． a2,b4,c25，则（ ）

A．bac B．abc C．bca D．cab 9． 如右图，在长方体

中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

段记为

，

，将线段

A

B

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

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C

D

10．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种 11．若复数z满足

=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

D．﹣1+i

D．以上都不对

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i A．AB⊂α

12．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（ ）

B．AB⊄α

C．由线段AB的长短而定

二、填空题

13．已知椭圆且θ∈[

，

+

=1F为其左焦点，（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，

]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．

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x21,x014．已知函数f(x)，g(x)2x1，则f(g(2)) ，f[g(x)]的值域为 ．

x1,x0【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 15．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足为曲线E，给出以下命题： ①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号） 16．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 . ，动点P的轨迹

【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.

2ex1lnxxaaR，17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxe1（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

18．若(mxy)展开式中xy的系数为160，则m__________．

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633精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．

三、解答题

19．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)

20．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y24x相交于点A、B两点，设

1，a2，求ABC面积的最大值. 2A(x1,y1)，B(x2,y2)．

（1）求证：y1y2为定值；

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．

21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若△ABC的面积为

，b=2求a，c的值．

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22．（本小题满分12分）1111]

1已知函数fxalnxa0，aR．

x（1）若a1，求函数fx的极值和单调区间；

（2）若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得fx00成立，求实数的取值范围．

23．已知等比数列（1）求数列（2）设等差数列

24．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．

1

（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣；

中，。

的通项公式;

中，

，求数列

的前项和

.

（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．

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永春县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1，所以当A{1,2}时，B{1,2,4}；当

A{1,3}时，B{1,2,4}；当A{1,4}时，B{1,2,3}；当A{1,2,3}时，B{1,4}；当A{1,2,4}时，

B{1,3}；当A{1,3,4}时，B{1,2}；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.

考点：元素与集合的关系的判断.

【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]

2． 【答案】D 【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线∴A与B为双曲线的两焦点，

上，

根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10， 则故选：D．

=

=±

=±．

【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．

3． 【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}， 若A⊆B，则a＞3， 故选：B．

【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题． 4． 【答案】C

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【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称． 又f（﹣x）=

=

=f（x），所以f（x）为偶函数．

而f（）=故选C．

==﹣=﹣f（x），

【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

5． 【答案】C

【解析】解：∵双曲线焦点在y轴上，故两条渐近线为 y=±x， 又已知渐近线为故双曲线离心率e==故选C．

，∴ =，b=2a，

=

=

，

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断渐近线的斜率=，是解题的关键．

6． 【答案】A.

【解析】f(3x)f(3x)f(x)f(6x)，∴f(x)的图象关于直线x3对称， ∴6个实根的和为3618，故选A. 7． 【答案】 A

【解析】解：∵椭圆方程为

+

=1，

∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0）， ∴双曲线方程为

，

设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∵

=

，

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∴

=，

整理得：

化简得：5x=12y﹣15， 又∵∴5

解得：y=或y=∴P（3，），

∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0， ∴点M到直线PF1的距离d=

易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，

结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心． 故

﹣

=

=

=2，

=1，

，

2

﹣4y=20，

=5，

（舍），

故选：A．

【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．

8． 【答案】A 【解析】

试题分析：a4,b4,c5，由于y4为增函数，所以ab.应为yx为增函数，所以ca，故bac.

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考点：比较大小． 9． 【答案】C 【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）； A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24） 根据相识三角形易知： xE2=2xE=2×4=8， yE2=2yE=2×3=6， 即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。 10．【答案】

【解析】

C

=13。

排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

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③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 组合公式． 11．【答案】A

【解析】解：可得z=1﹣i． 故选：A．

12．【答案】A

=i，则=i（1﹣i）=1+i，

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、

【解析】解：∵线段AB在平面α内， ∴直线AB上所有的点都在平面α内， ∴直线AB与平面α的位置关系： 直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α 故选A．

【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．

二、填空题

13．【答案】 [

，

﹣1] ．

）；

【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤F（﹣c，0）； ∵AF⊥BF， ∴

=0，

即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，

22222

故c﹣acosα﹣bsinα=0，

cos2α=

=2﹣，

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故cosα=，

而|AF|=， |AB|==2c，

而sinθ=

==

，

∵θ∈[

，

]，

∴sinθ∈[，]，

∴≤≤，

∴≤+

≤，

∴，

即，

解得，≤e≤﹣1； 故答案为：[

，

﹣1]．

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．

14．【答案】2，[1,). 【

解

析

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】

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15．【答案】①④⑤

解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴

•

=m

①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；

②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确； ③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|

|+|

|≥2

=2

，所以△PMN周长的最小值为2

+4，正确；

⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤． 16．【答案】

【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和157111317. 17．【答案】,

e|•|

|=m（m≥4），

12ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'， 22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减， 则当x=0时，取最大值，最大值为e， ∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnxxaaR可得：f'x结合函数的解析式：fx， 2xxx∈（0，e），f'x0， 则f（x）在（0，e）单调递增， 下面证明f（y0）=y0．

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假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0． 同理假设f（y0）=clnxxax． xlnx1lnx设gx，求导g'x， 2xx令函数fx当x∈（0，e），g′（x）>0， g（x）在（0，e）单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞， ∴a的取值范围,.

e1， e1点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 18．【答案】2

33【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．

3三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

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20．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为x1. 【解析】

（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为4(1a)x18a4a ，进而得

2a1时为定值.

试题解析：（1）设直线AB的方程为myx2，由得y4my80，∴y1y28， 因此有y1y28为定值．111]

2myx2,y4x,2

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x12y1,)，AC(x12)2y12， 22111(x12)2y12x124，E点到直线xa的距离因此以AC为直径圆的半径rAC222x2d|1a|，

2x21222所以所截弦长为2rd2(x14)(1a)2x124(x122a)2 42（2）设存在直线：xa满足条件，则AC的中点E(4(1a)x18a4a2．

当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时直线方程为x1．

考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得： 2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC， 整理得：2cosBsinC﹣sinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosB=， 则B=60°；

（Ⅱ）∵△ABC的面积为

=acsinB=

ac，解得：ac=4，①

22222

又∵b=2，由余弦定理可得：2=a+c﹣ac=（a+c）﹣3ac=（a+c）﹣12，

∴解得：a+c=4，② ∴联立①②解得：a=c=2．

1a，1；22．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为1，，单调递减区间为0，（2）

ee，．

【解析】

11x12．令f'x0x1．再利用导数工具可得：极小值和x2xx11单调区间；（2）求导并令f'x0x，再将命题转化为fx在区间(0，e]上的最小值小于．当x0，

aa即a0时，f'x0恒成立，即fx在区间(0，e]上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111] 试题分析：（1）由a1f'x第 17 页，共 20 页

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①

1e]成立，所以fx在区间(0，e]上单调递减， ，则f'x0对x(0，a11则fx在区间(0，e]上的最小值为fealnea0，

ee显然，fx在区间(0，e]的最小值小于0不成立． 若e11e，即a时，则有 ae 10， a- f'x ②若0fx 1 a0 极小值 1，e a+ ↘ ↗ 11所以fx在区间(0，e]上的最小值为faaln，

aa11， 由faalna1lna0，得1lna0，解得ae，即ae，aa第 18 页，共 20 页

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1综上，由①②可知，a，ee，符合题意．……………………………………12分

考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 23．【答案】

【解析】

解：（1）设等比数列由已知，得

（2）由（1）得设等差数列

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′）， 则∴M=

即．

=

，

的公比为

的公差为

，则

，解得

，解得

又det（M）=﹣3，

1

∴M﹣=

；

（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′）， 则

=M﹣1

=

，

即，

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∴代入4x+y﹣1=0，得

即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．

，

【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．

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