八年级数学上册第11章三角形11.2.2三角形的外角性质同步练习(新版)新人教版

11.2.2 三角形的外角性质

学校：___________姓名：___________班级：___________

一．选择题（共12小题）

1．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（ ）

A．50° B．65° C．90° D．130°

2．如图，在△ABC中，∠C=80°，D为AC上可移动的点，则x可能是（ ）

A．5 B．10 C．20 D．25

3．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的2倍，那么这个三角形一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

4．如图，∠x的两边被一直线截得∠α，∠β，则x用α，β表示的式子是（ ）

A．β﹣α B．α﹣β C．180°﹣α﹣β D．180°﹣α+β

5．如图所示，下列四个判断中，正确的是（ ）

A．∠ACE是△ABC的外角 B．∠ECD是△ABC的外角 C．∠DCF是△ABC的外角 D．∠ACD是△ABC的外角

6．三角形的三个外角之比为2：2：3，则此三角形为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

7．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3的大小为（ ）

A．90° B．180° C．270° D．360°

8．如图，船从A处出发准备开往正北方向M处，由于一开始就偏离航线AM15°（即∠A=15°），航线到B处才发现，立即改变航向，并想在航行相同航程后（BM=BA）到达目的地M处，则应以怎样的角度航行即∠CBM等于（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，点D是AB延长线上的一点．∠CBD的度数是（ ）

A．125° B．135° C．145° D．155°

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC=（ ）

A．40° B．30° C．25° D．20°

11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°

12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（ ）

A．75° B．135°

C．120° D．105°

二．填空题（共8小题）

13．△ABC的三个外角之比为3：4：5，则最大内角为 ． 14．△ABC中，∠A=32°，∠B=76°，则与∠C相邻的外角是 °．

15．如图，在△ABC中，D是边BC延长线上的一点，∠B=45°，∠A=75°，则∠ACD= ．

16．在△ABC中，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为 度，这个三角形是 三角形．

17．如图，x的值是 ．

18．如图，△ABC中，∠C=40°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与D交于点D，那么∠D= °．

19．如图，△ABC中，∠A=60°，BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，BN、CN是外角的平分线，则∠M﹣∠N= 度．

20．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ．

三．解答题（共5小题）

21．如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．

22．感知：如图①，△ABC是锐角三角形，△ABC的外角∠ACD的平分线与边AC上的高BE的延长线交于点F，若∠ABC=45°，∠BAC=65°，求∠F的度数：

探究：在图①中，若∠ACB=α，其他条件不变，求∠F的度数（用含α的式子表示）； 应用：如图②，在△ABC中，∠ACB是钝角，△ABC的外角∠BCD的平分线与边AC上的高BE交于点F，若∠ACB=α，则BE与CF相交所成的角的大小是 （用含α的式子表示）．

23．某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

24．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°，求∠D的度数．

25．如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．

（1）当∠A=40°时，分别求∠D和∠P的度数．

（2）当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由．

参与试题解析

一．选择题（共12小题） 1．

解：根据题意，∠3﹣∠2=180°﹣∠1， 且∠1=130°， 即得∠3﹣∠2=50°． 故选：A． 2．

解：根据题意，9x＞∠C=80°， ∴x＞（

）°，

在△ABD中，9x＜180°， ∴x＜20°， 因此（

）°＜x＜20°．

故选：B． 3．

解：设这个外角的度数为x，则与其相邻的内角为180°﹣根据题意得，x=2（180°﹣x）， 解得x=120°．

则与其相邻的内角为60°， 等于与它不相邻的一个内角的2倍， 可得这个与其不相邻的内角为60°； 即得该三角形为等边三角形． 故选：D． 4．

解：∵∠x+∠1=∠β，∠α=∠1， ∴∠x+∠α=∠β，即∠x=∠β﹣∠α． 故选：A．

x．

5．

解：A、∠ACE不是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误； B、∠ECD是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误； C、∠DCF是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误； D、∠ACD是△ABC的外角，原说法正确，故本选项正确； 故选：D． 6．

解：设一个外角是2x°，那么其他两个外角一定是2x°，3x°． 根据题意列方程，得2x°+2x°+3x°=360°， 解得x=（51）°， 则三个外角分别是：

度，

度，度，

度． 度，

度．

与这三角相邻的三个内角分别是：

因为都是锐角，所以此三角形是锐角三角形． 故选：A． 7．

解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角， ∴∠1+∠2+∠3=360°． 故选：D． 8．

解：∵BM=BA， ∴∠A=∠M=15°，

∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°．故选D． 9．

解：∵∠CBD是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB， ∵∠A=55°，∠ACB=90°， ∴∠CBD=55°+90°=145°， 故选：C． 10．

解：由折叠的性质可知，∠BA′D=∠A=65°， ∵∠ABC=90°，∠A=65°， ∴∠C=25°，

∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°， 故选：A． 11．

解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，

∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°， ∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°， ∠ACB=180°﹣∠ACM=80°， ∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°， ∵∠BPC=20°，

∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°， ∴∠A+∠P=90°， 故选：C． 12．

解：∵图中是一副直角三角板， ∴∠1=45°，∠2=30°，

∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°． 故选：D．

二．填空题（共8小题） 13．

解：∵三角形三个外角度数之比是3：4：5， 设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×

=90°，

∴此三角形一定是直角三角形，最大内角为90°． 故答案为：90°． 14．

解：如图，∵∠1=∠A+∠B，∠A=32°，∠B=76°， ∴∠1=32°+76°=108°， 故答案为：108．

15．

解：∵∠B=45°，∠A=75°， ∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°， 故答案为：120°． 16．

解：由题意∠C=∠A+∠B+30°， ∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°， ∴∠A+∠B=75°， ∴∠C=105°，

∴∠C的外角是75°， ∵∠C=105°＞90°， ∴这个三角形是钝角三角形， 故答案为75，钝角三角形． 17．

解：由三角形的外角的性质可知，x+x+20=x+80， 解得，x=60， 故答案为：60． 18．

解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，

∴∠D=∠DBE﹣∠DAE=（∠CBE﹣∠CAE）=∠C=20°， 故答案为：20． 19．

解：∵BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠∴∠M=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A； ∵BN、CN是外角的平分线， ∴∠N=90°﹣

，

∴∠M﹣∠N=∠A=60°， 故答案为：60 20．

解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°， 故答案为：15°．

A，

三．解答题（共5小题） 21．

证明：∵∠DCB是△DCE的一个外角（外角定义）

∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠ADB是△BCD的一个外角（外角定义）

∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）． 22．

解：感知：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°， 由角平分线的性质，得 ∠ACF=∠ACD=55°， 由三角形内角和定理，得

∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°． 探究：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°， 由角平分线的性质，得 ∠ACF=∠ACD=55°， 由外角的性质，得

∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°． 应用：由补角的性质，得 ∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α， 由角平分线的性质，得 ∠ECF=∠BCE=90°﹣α， 由外角的性质，得 ∠CFE=90°﹣∠ECF=α， 由补角的性质，得 ∠BFC=180°﹣α，

综上所述：BE与CF相交所成的角的大小是

故答案为：α或180°﹣α． 23．

解：如图，连接AD并延长，

∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD， ∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°， ∴∠BDC=∠BDE+∠CDE， =∠B+∠BAD+∠DAC+∠C， =∠B+∠BAC+∠C， =32°+90°+21°， =143°， ∵143°≠145°， ∴这个零件不合格．

24．

解：∵∠BOC=120°， ∴∠OBC+∠OCB=60°， ∵∠B，∠C的平分线交于点O， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠A=60°，

∵D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点， ∴∠DCH=∠ACH，∠DBC=∠ABC，

∴∠D=∠DCH﹣∠DBC=×（∠ACH﹣∠ABC）=30°．

25．

解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A， 在△BCD中，

∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB） =180°﹣（90°﹣∠A） =90°+∠A =90°+20° =110°；

∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线， ∴∠CBP=∠CBE，∠BCP=∠BCF， ∴∠CBP+∠BCP =∠CBE+∠BCF =（∠CBE+∠BCF） =（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） =（180°+∠A），

∴∠BPC=180°﹣（∠CBP+∠BCP） =180°﹣（180°+∠A）

=90°﹣∠A =90°﹣×40° =80°．

（2）∠D+∠P的值不变．

∵由（1）知∠D=90°+∠A，∠P=90°﹣∠A， ∴∠D+∠P=180°．