河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中考试(理科)数学---精校解析 Word版

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4 考点：程序框图 5. 已知命题：对任意命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. ，总有；命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列【答案】B - 2 -

【解析】根据指数函数的值域和图像，易知命题是真命题，∵“∴故选． 6. 等差数列的前项和为，若公差，”是“是真命题，”的必要不充分条件，所以是假命题，是假命题，是假命题，是假命题； 是真命题， 是假命题。 ，则当取最大值时，的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】试题分析：由故选D. 考点：等差数列的性质. 7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 得，，又因为，故当时，取最大值， A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体的图象如图所示，原几何体的图象为四棱锥形，平面，，故选C ，，故其体积为，其底面为直角梯 - 3 -

8. 设满足约束条件，若目标函数（其中，）的最大值为3，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由 ∵ ∴ ∴直线 ∴ 令 令 得 过 时取最大值，即 ，其中，解得 ，则 - 4 -

∴当∴当，时，，当时，，故选A 点睛：本题为线性规划与导数结合的综合题型。线性规划求得最优解部分，因为的斜率是负的，因此得到9. 已知函数对定义域内的任意都有，若A. C. 【答案】C 则（ ） B. D. ，所以直线时最优解，求导时要注意定义域，再结合单调性求出最值. ，且当时其导函数满足【解析】试题分析：：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），∴f（x）关于直线x=2对称； 又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x-2）＞0， ∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增； 同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减； ∵2＜a＜4，∴∴2＜4-∴f（＜3，又4＜， ＜16，f（） ）=f（4-），f（x）在（2，+∞）上的单调递增； ）＜f（3）＜f（考点：函数的单调性与导数的关系 10. 在三棱锥的表面积为（ ） A. B. 【答案】C C. D. 中，，，，则三棱锥的外接球【解析】该三棱锥的图象如图所示， - 5 -

由在以，中，由余弦定理可得为轴，以，，可得，即，， ，易证 ，，平面. 为轴建立如图所示的坐标系，则的外接球球心为，则 设三棱锥 解得：∴外接球的半径为∴外接球的表面积为11. 已知椭圆面积为（ ） A. B. 【答案】D 【解析】由椭圆方程得的周长，当且仅当三点共线时，且在 ∵ ∴直线，的方程为的延长线上取等号 ，即 ， C. D. ，故选C. 的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的 设椭圆的左焦点为，则= 由得 ∴的纵坐标为 ∴当 的周长最大时， ，故选D. 该三角形的面积为点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，可首先建立 - 6 -

起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等. 12. 已知函数（ ） A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036 【答案】D 【解析】∵∴令∴∴∴∴关于在 中心对称 关于中心对称 ，故选D 则 在上的最大值为，最小值，则点睛：本题主要考查在闭区间上的最值问题，在解函数最值时，常对所给函数性质进行探究，如定义域、奇偶性、对称性以及单调性，本题构造了新函数数的对称性解题. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 二项式【答案】15 【解析】根据二项式定理，即∴时，可得项的系数为15，故答案为15 ，向量 得，，由． 得，，，，，，且，，则__________． 的通项 ，当，展开式中项的系数为__________． ，并证明出关于中心对称，故此题利用函14. 设【答案】【解析】由所以 - 7 -

15. 若将函数后的图象关于点【答案】 【解析】∵ ∴将函数对称，则函数 在的图象向左平移个单位长度，平移上的最小值是__________． 图象向左平移个单位后，得到函数的解析式为： ∵平移后的图象关于点对称 ∴对称中心在此函数图象上，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在上的最小值是，故答案为 点睛：解答本题的难点是先运用三角变换公式将函数的形式进行变形，进而依据中心对称图形的特点，借助坐标之间的关系建立方程求出的值，再根据值. 16. 数列满足 ，若为等比数列，则首项的取值范围是__________． ，解得，进而确认的最小【答案】【解析】①当 ∵ 时， - 8 -

∴ ∴ ∴ ∴②当 当∵∴∴当∴ ，与时，时，为等比数列 ，即（舍） 时，，故答案为，此时可得 为等比数列 为等比数列矛盾，故舍去 ，即 点睛：本题主要考查了递推公式，等比数列的通项公式，以及分类讨论数列的通项公式，通过讨论，把递推公式转化为等比数列求解，然后求出的取值范围. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知径为. 中，角对边分别是，，且的外接圆半（1）求角的大小； （2）求【答案】（1）面积的最大值. ；（2）. 将角化成边，再根据余弦定理【解析】试题分析：（1）由正弦定理即可求出角；（2）利用三角形面积公式、三角形内角和定理、两角和与差的正弦公式及二倍角公式得出三角形面积解析式，再根据角的取值范围即可求出最大值. 试题解析：（1）由. 又∵∴ 得 ，∴. ，∴ - 9 -

又∵（2），∴. . . ∴当，即时，18. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. （1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； （2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列及数学期望.. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题设可得通过检测的事件等于“取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，再借助古典概型的计算公式求出其概率；（2）由题意可得的可能取值为0,1,2,3，再结合超几何分布公式，即可求得分布列，然后算出数学期望. 试题解析：（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” （2）由题可知可能取值为0,1,2,3. ，，分布列： ， . ∴19. 如图，在六面体且（1）求证： 中，平面，平面； - 10 -

平面. ，平面，，.（2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 试题解析：（1）设∴∵平面∵∴故，且平面，∴.又平面的中点为，连接. ，∴，且平面. ，， ，.易证：四边形是平行四边形. ，∴四边形平面， 是平行四边形， （2）由题意可得，两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系. .设平面则又平面∴ 的法向量为. ， ，令的法向量 . ，则. - 11 -

由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角20. 设已知向量（1）若直线（2）试问：【答案】（1），，过椭圆的焦点是椭圆，且的余弦值为. 上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，，为坐标原点. 的斜率的值； ，（为半焦距），求直线的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. ；（2）见解析. ，再设直线的方程为：，与斜率不存在的情【解析】试题分析：（1）根据条件可得椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件况，即，，根据，求得，即可求出的值；（2）先考虑直线和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线组，利用韦达定理表示出试题解析：（1）由题可得：设∴∵即（2）①直线 ∵ ∴斜率不存在时，即 ，即 ，∴的方程为：，，即：，解得：，和，，代入， ，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案. ，所以，椭圆的方程为得： 又∵点在椭圆上 ∴ ∴ ∴②当直线联立斜率存在时，设得：的方程为，，即 ，故， 的面积为定值1 - 12 -

∴∴，， 所以三角形的面积为定值1. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 21. 已知函数（1）求函数（2）若（3）证明：【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）对函数（2）由（1）可得，（1）可得恒成立，即试题解析：（1）定义域为若若，，时，，在在，， ，当上单调递增； 上单调递增，在时，恒成立. 时，有在上恒成立，即 上单调递减 不可能成立； ，，得 时， 时，的单调区间； 恒成立，试确定实数的取值范围； ；（3）见解析. 求导得在，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；上是增函数，而，不成立，故时，有，即可得证. 在，由. . ，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当，进而换元可得，在上单调递增 ，所以 所以，当综上：若若，（2）由（1）知，若综上，，（3）由（2）知，当 - 13 -

令 ，得，即 ，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系. 取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程； （2）设圆与直线交于点【答案】（1）【解析】试题分析：（1）根据方程（2）由直线参数方程得t+2(cosα-sinα)t-7=0，利用韦达定理化简得2，若点的坐标为；（2）. ，求的最小值. 将圆的极坐标方程转化为直角坐标，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得，最后根据三角函数有界性求最小值. 试题解析：（1）由ρ=6sinθ得ρ=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x+y=6y，即x+(y-3)=9． （2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2(cosα-sinα)t-7=0． 由△=4(cosα-sinα)2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根， 所以 22222又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得 ，当时取等． 所以|PA|+|PB|的最小值为23. 选修4-5：不等式选讲 已知不等式 ． . - 14 -

（1）若，求不等式的解集； （2）若已知不等式的解集不是空集，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）结合函数的解析式，由零点分段法进行分类讨论，即可得到不等式的解集；（2）化简函数的解析式，作出函数的图象，通过图象即可求出的取值范围. 试题解析：（1）当若若若，则，则，则时，不等式即为，，∴，∴ . ，∴舍去； ； ， 综上，不等式的解集为（2）设，则作出函数的图象，如图所示. 由图象可知，，∴，，即的取值范围为. - 15 -