江苏省苏州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)

初一数学

满分100分，考试时间120分钟．

一、选择题（每题2分，共16分）

1. 0.5等于（ ）.A. 0.5【答案】D【解析】

【分析】根据负指数的运算规则计算，可得答案．【详解】解：0.512，故选：D

【点睛】本题考查了负指数，掌握负指数的运算规则是解题关键．

2. 2019新型冠状光病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）A. 120106【答案】C【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．【详解】0.00012=1.2104．故选C．

【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法．3. 如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）A. 10【答案】B【解析】

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：∵4x2+2kx+25=(2x)2±2kx+52是一个完全平方式，∴k10，故选：B．

B. ±10

C. 20

D. ±20

B. 12105C. 1.2104D. 1.2105B. 0.5C. 2D. 2

1【点睛】此题考查了完全平方式的逆用，即a22abb2(ab)2，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4. 下列等式从左往右因式分解正确的是（　　）A. abacbabcb C. mn1m22mnn21【答案】D【解析】

【分析】将多项式写出几个整式的积的形式叫作因式分解，根据定义判断即可．【详解】解：A、等式右边是多项式，不符合定义，故不符合题意；

2B、4x12x12x1，计算错误，故不符合题意；

B. 4x14x14x122D. x3x2x1x22C、是整式乘法，不符合定义，故不符合题意；D、符合定义，计算正确，故符合题意；故选：D．

【点睛】此题考查了因式分解的定义，熟记定义及正确掌握因式分解的方法是解题的关键．5. 如图，l1∥l2，139，246，则3的度数为( )

A. 46【答案】C【解析】

B. C. 95D. 134【分析】根据平行线的性质得出1439，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图：

∵l1∥l2，139，，

1439，246，

31802495，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角度定理，掌握以上知识是解题的关键．

6. 如图，AD为ABC的中线，BE为△ABD的中线．若ABC的面积为12，BD3，则△BDE中

BD边上的高为（　　）

A. 1【答案】D【解析】

B. 4C. 3D. 2

【分析】根据三角形中线平分三角形的面积得到△BDE的面积是3，设△BDE中BD边上的高h，列得

11BDh3h3，求出h即可．22【详解】解：∵AD为ABC的中线，ABC的面积为12，∴△ABD的面积为6，∵BE为△ABD的中线，∴△BDE的面积是3，设△BDE中BD边上的高h，∵BD3，∴

11BDh3h3，22∴h2，故选：D．

【点睛】此题考查了三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，熟记该性质是解题的关键．7. 如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分CDF和BAE，若DEA46，ACD56，则

CDF的度数为（ ）

A. 22B. 33C. 44D. 55【答案】C【解析】

【分析】过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，易证DEA与FDE、EAB，ACD与BAC、

FDC间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．

【详解】解：过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，

FD∥AB，CN∥AB，EM∥AB，

AB∥CN∥EM∥FD，

BACNCA，NCDFDC，FDEDEM，MEAEAB．

DEAFDEEAB，ACDBACFDC．

又DE和AC分别平分CDF和BAE，

FDC2FDE2EDC，BAE2BAC2EAC56BAC2FDE①，46FDE2BAC②．

①②，得3(BACFDE)102，BACFDE34③．

①③，得FDE22．CDF2FDE44．

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到

DEAFDEEAB，ACDBACFDC是解决本题的关键．8. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号．如记

k123...(n1)n,(xk)(x3)(x4)...(xn)，已知

k1nk3nn[(xk)(xk1)]3xk223xm，则m的值是（ ）

C. -24

D. -20

A. -40B. 20

【答案】B【解析】

【分析】根据二次项的系数为3，可得n=4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．【详解】解：∵二次项的系数为3，∴n=4，∴

[(xk)(xk1)]k2n=(x2)(x1)(x3)(x2)(x4)(x3)=3x23x20又∵

[(xk)(xk1)]3xk2n23xm，

∴m=20．故选：B．

【点睛】本题考查了有理数的乘方、数学常识、整式的混合运算，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义．

二、填空题（每题2分，共16分）

9. 1______．【答案】1【解析】

【分析】根据零指数幂的运算法则计算．【详解】解：∵10，∴11，故答案为：1．

【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．10. 因式分解：4x2y9y______．【答案】y（2x+3）（2x-3）【解析】

【分析】先提取公因式，然后按平方差公式继续分解即可．【详解】解：4x2y−9y

00=y（4x2-9）=y（2x+3）（2x-3）．

故答案为：y（2x+3）（2x-3）．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．11. 已知am3，an9，则a3mn______．【答案】3【解析】

【分析】运用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则求解即可．【详解】解：∵am3，an9，∴a3mna3manaman333273．99故答案为：3．

【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方法则的逆用等知识点，掌握运算过程中指数的变化规律是解答本题的关键．

12. 已知st4则s2t28t＝____．【答案】16【解析】

【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再代入题目给出的s+t=4，再提取公因式得到4(s+t)，最后得出答案．

【详解】原式=(s+t)(s-t)+8t=4(s-t)+8t=4s-4t+8t=4(s+t)=4×4=16；故答案为：16

【点睛】本题考查由给定式子值求另一个式子值，考查了平方差公式和提取公因式的运用，掌握求解的方法是解题关键．

5xy413. 已知方程组，则xy的值为____．

x5y8【答案】1【解析】

【分析】方程组中的两个方程相减，即可得出答案．

5xy4①【详解】解：，

x5y8②①-②得：4x4y4，

解得：xy1，故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求出结果是解此题的关键．

14. 因式分解x2axb时，甲看错了a的值，分解的结果是x6x1，乙看错了b的值，分解的结果为x2x1，那么x2axb分解因式正确的结果为____．【答案】(x3)(x2)【解析】

【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.

【详解】解：甲错了a的值，(x6)(x1)x25x6，

b6，

乙看错了b的值，x2x1xx2，

2a1，

2x2axb分解因式正确的结果：xx6(x3)(x2)．

故答案为：(x3)(x2)．

【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的多项式是解题的关键．

15. 如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设AB6，两个正方形的面积和S1S220，则图中阴影部分面积为____．

【答案】4【解析】

【分析】设ACm，CFn，可得mn6，m2n220，根据完全平方公式求出【详解】解：设ACm，CFn，∵AB6，∴mn6，又∵S1S220，∴m2n220，

由完全平方公式可得，mnm2mnn，

2221mn即可．2∴62202mn，∴mn8，∴S阴影部分1mn4，2即：阴影部分的面积为4．故答案是：4．

【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．16. 如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝___．

【答案】1

【解析】

【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可．【详解】解：∵BE＝CE，∴BE＝2BC，∵S△ABC＝6，

∴S△ABE＝2S△ABC＝2×6＝3.∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△BCD＝

11111S△ABC＝×6＝2，33∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF＋S四边形BEFD）﹣（S△CEF＋S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝3﹣2＝1.故答案为：1

【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．

三、解答题 （共68分）

17. 计算：（1）a3a5a243a4；

22（2）yx2yxy；（3）x2yx2y．【答案】（1）11a8； （2）x23xyy2； （3）x24x4y2．【解析】

【分析】（1）首先计算同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，然后合并即可．（2）首先计算单项式乘多项式和完全平方公式，然后合并即可．（3）首先根据平方差化解，然后根据完全平方公式求解即可．【小问1详解】

a3a5a23a442a8a89a811a8；

【小问2详解】

yx2yxy2xy2y2x22xyy2xy2y2x22xyy2x23xyy2；

【小问3详解】

x2yx2yx2y22x24x4y2．

【点睛】本题考查了有理数的乘方，整式的乘法运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．18. 因式分解：

（1）3a2b6ab29ab；（2）a21224a2．

【答案】（1）3aba2b3； （2）a1【解析】

【分析】（1）直接提取公因式3ab即可解答；

（2）先运用平方差公式分解，再运用完全平方公式分解即可．【小问1详解】解：3a2b6ab29aba12．

3aba2b3；

【小问2详解】

a214a22a212aa212aa1a1．

【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．19. 先化简，再求值：（m－2n）（m＋2n）－（m－2n）2＋4n2，其中m＝－2，n＝2．【答案】－4n2＋4mn，-5【解析】

【分析】先按照平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，再合并同类项，再把m2,n入求值即可.

【详解】解：原式＝m2－4n2 －（m2－4mn＋4n2）＋4n2＝m2－4n2 －m2＋4mn－4n2＋4n2＝－4n2＋4mn把m2,n1221代21代入上式，2211原式＝44222＝－1－4＝－5

【点睛】本题考查的是整式的化简求值，考查平方差公式与完全平方公式，掌握利用乘法公式进行简便运算是解题的关键.

20. 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸中将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C′．

（1）请画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是　 　；（3）利用网格画出△ABC中AC边上的中线BD；（4）在平移过程中，线段AB扫过的面积为　 　．【答案】（1）见解析 （3）见解析 【解析】

【分析】(1)利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点A′，B′即可；

(2)根据平移的性质进行判断即可；

(3)利用网格特点和三角形的中线的定义作图即可；(4)根据平行四边形的面积公式计算即可求得．【小问1详解】

解：由图中点C与对应点C′的位置可知：把点C，先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度(或先向上平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度)，得到点C′故△ABC按此规律平移可得△A′B′C′画图如下：

（4）20

（2）平行且相等

【小问2详解】

解：如图：

根据平移的性质可知：AA∥BB且AABB故答案为：平行且相等【小问3详解】解：如图：

BD即为AC边上的中线【小问4详解】

解：在平移过程中，四边形ABBA为平行四边形

AB=5，向右平移的距离为4

故线段AB扫过的面积为：45=20 故答案为：20

【点睛】本题考查了作图−−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

21. 如图，F是BC上一点，FG^AC于点G,H是AB上一点，HEAC于点E,12，求证：DE//BC．

【答案】见解析【解析】

【分析】根据垂直的性质得到HE//FG，利用平行线的性质得到DEFEFC，即可求证．【详解】证明：∵FG^AC∴FGC90∵HEAC∴HEC90 ∴FGCHEC∴HE//FG ∴3=4又∵12∴3142，即DEFEFC ∴DE//BC【点睛】此题考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．22. 如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，ECDEDC.（1）求证：ED//BC；

（2）A30，BDC65，求∠DEC的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）110°.【解析】

【分析】（1）根据角平分线的定义可得ACDBCD，从而求出BCDEDC，再利用内错角相等，

两直线平行证明即可；

（2）根据三角形的外角性质得BDCA+ACD，可求出ECDEDC35，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【详解】（1）∵CD是△ABC的角平分线，∴ACDBCD ∵ECDEDC∴BCDEDC

∴ED//BC（内错角相等，两直线平行）； （2）∵∠BDC是△ADC的外角∴BDCA+ACD∴ACDBDCA653035 ∴ECDEDC35∴DEC1803535110.故答案为（1）证明见解析；（2）110°.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，准确识别图形是解题的关键．

23. 我市公交总公司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线换成中巴车，该公司计划购买10台中巴车，现有甲、乙两种型号，已知购买一台甲型车比购买一台乙型车少10万元，购买3台甲型车比购买2台乙型车多30万元．

（1）问购买一台甲型车和一台乙型车分别需要多少万元？

（2）经了解，每台甲型车每年节省2.5万元，每台乙型车每年节省2.1万元，若要使购买的这批中巴车每年至少能节省21.8万，则购买甲型车至少多少台？

【答案】（1）购买一台甲型车和一台乙型车分别需要50万元、60万元 （2）购买甲型车至少2台【解析】

【分析】（1）设购买一台甲型车和一台乙型车分别需要a万元、b万元，根据购买一台甲型车比购买一台乙型车少10万元，购买3台甲型车比购买2台乙型车多30万元，列出方程组进行求解即可；

（2）购买甲型车x台，则乙型车购买10x台，根据要使购买的这批中巴车每年至少能节省21．8万，列出不等式进行求解即可．

【小问1详解】

设购买一台甲型车和一台乙型车分别需要a万元、b万元，由题意，得：ab10a50，解得，

3a2b30b60答：购买一台甲型车和一台乙型车分别需要50万元、60万元；

【小问2详解】

设购买甲型车x台，则乙型车购买10x台，由题意，得：

2.5x2.110x21.8，

解得：x2；

答：购买甲型车至少2台．

【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．

24. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．

（1）填空：S1S2___________（用含m的代数式表示）；

（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．设该正方形的面积为S3，试探究：S3与

2S1S2的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．

（3）若另一个正方形的边长为正整数n，并且满足条件1nS1S2的n有且只有4个，求m的值．【答案】（1）2m1 （2）是常数，19 【解析】

【分析】（1）利用长方形的面积公式求出S1,S2，再进行减法运算即可；

（2）先求出正方形的周长，进而求出正方形的边长和面积，再进行求解即可得出结论；（3）根据满足条件1nS1S2的n有且只有4个，进行求解即可．【小问1详解】

（3）3

解：由题意，得：S1S2m7m1m4m2m28m7m26m82m1；

故答案为：2m1；【小问2详解】是常数；

∵正方形的周长2m7m1m4m28m28，∴正方形的边长为2m7，

∴S32m74m228m49，

∵2S1S22m8m7m6m84m28m30，

2222∴S32S1S24m28m494m28m3019；

22【小问3详解】

∵S1-S2=2m-1，1nS1S2∴1n2m1，

∵满足条件1nS1S2的n有且只有4个，∴42m15，

5m3，2∵m为正整数，

∴∴m3．

【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式加减的实际应用，根据一元一次不等式组的解集的情况，求参数．解题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，以及相关运算法则．25. 阅读并解决问题．

对于形如x22axa2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成xa的形式．但对于二次三项式

2x22ax3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x22ax3a2中先加上一项a2，使它与x22ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：

x22ax3a2x22axa2a23a2xa2ax3axa．像这样，先添一个适

22当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方

法”解决以下问题．

（1）利用“配方法”分解因式：a24a12；

（2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把x44分解因式”这个问题：

x44x44x244x2x224x2x222xx22x2x22x2，请你把

222x4y4因式分解；

（3）若2m24mn3n28n160，求m和n的值．【答案】（1）a2a6 （2）x8y4xy（3）m4,n4【解析】

【分析】（1）将多项式加4再减去4，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（2）将多项式加16x2y2再减去16x2y2，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（3）已知等式变形后，利用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】

22x28y24xy

a24a12a24a4412a216a2a6【小问2详解】

2x4y4x416x2y2y416x2y2 x28y216x2y2x28y24xyx28y24xy【小问3详解】

∵2m24mn3n28n160，∴2m24mn2n2n28n160∴2mnn40，∵2mn0,n40，

22222∴mn0,n40，∴mn4．

【点睛】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，偶次方，分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

26. 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ．【答案】（1）不变，135° （2）不变，67.5° （3）60°或72°【解析】

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解；

（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=

11∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是2211∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的22∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=

度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论．【小问1详解】∠AEB的大小不变，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

11∠OAB，∠ABE=∠ABO，221∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°，

2∴∠BAE=∴∠AEB＝135°；【小问2详解】∠CED的大小不变．

如图，延长AD、BC交于点F．

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠MBA＝270°，

∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，

11∠BAP，∠ABC=∠ABM，221∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°，

2∴∠BAD=∴∠F＝45°，

∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，

∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝67.5°；【小问3详解】

∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，

11∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，2211∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO，

22∴∠EAO=

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF＝90°．在△AEF中，

∵有两个角度数的比是3：2，故有：

∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；

∠E：∠F=3：2，∠E＝°，∠ABO＝108°（舍去）．∴∠ABO为60°或72°．故答案为：60°或72°．

【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键．