数 学 试 卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第一部分 （客观题）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1．﹣6的绝对值是（ ） A．6
B．﹣6
C．
D．﹣
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A．
3．下列计算正确的是（ ）
B． C． D．
A．x2•x3＝x6 B．xy2﹣xy2＝xy2
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4
4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58° 5．反比例函数y＝
（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且A．
B．
C．
＝
，则
的值为（ ）
D．
7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ） A．110° B．130° C．140° D．160° 8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
“射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率 （结果保留两位小数）
20 18 0.90
80 68 0.85
1
100 82 0.82
200 168 0.84
400 327 0.82
1000 823 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A．0.90
B．0.82
C．0.85
D．0.84
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，
，则k的值为（ ）
连接CD，OD，若S△OCD＝A．3 B．
C．2 D．1
第二部分（主观题）
二、填空題（每小题3分，共24分） 11．ax2﹣2axy+ay2＝ ．
12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 ． 13．（3
+
）（3
﹣
）＝ ．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 ．
2
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分） 19．（10分）先化简，再求值：（求值．
20．（10分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
﹣x）÷
，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
22．（12分）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）
3
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝
，AD＝2，求BO的长．
24．（12分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
4
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
答案与解析
第一部分 （客观题）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1．﹣6的绝对值是（ ） A．6
B．﹣6
C．
D．﹣
【知识考点】绝对值．
【思路分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值． 【解答过程】解：|﹣6|＝6， 故选：A．
【总结归纳】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．
5
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答过程】解：从上面看易得俯视图：故选：C．
【总结归纳】本题考查了三视图的知识，解决问题的关键是掌握俯视图是从物体的上面看所得到的视图．
3．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 B．xy2﹣
xy2＝
xy2 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4
【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【思路分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后，可得到正确答案．
【解答过程】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、xy2﹣
xy2＝
xy2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则，解题的关键是牢固掌握各个运算法则和公式，不要混淆．
4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 （ ）
A．66°
B．56°
C．68°
D．58°
【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB． 【解答过程】解：∵AB∥CD，
6
∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°； ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝58°． 故选：D．
【总结归纳】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 5．反比例函数y＝A．第一象限
（x＜0）的图象位于（ ）
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【知识考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．
【思路分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题． 【解答过程】解：∵反比例函数y＝∴该函数图象在第三象限， 故选：C．
【总结归纳】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且
＝
，则
的值为（ ）
（x＜0）中，k＝1＞0，
A．
B．
C．
D．
【知识考点】平行线分线段成比例．
【思路分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论． 【解答过程】解：∵DE∥AB， ∴∴
＝
＝
， ，
的值为
故选：A．
【总结归纳】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，
7
则∠ADC的度数是（ ）
A．110°
B．130°
C．140°
D．160°
【知识考点】圆周角定理．
【思路分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数． 【解答过程】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°． 故选：B．
【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3 【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【思路分析】利用因式分解法解方程． 【解答过程】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝3． 故选：D．
【总结归纳】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
8
射击次数
“射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率 （结果保留两位小数）
20 18 0.90
80 68 0.85
100 82 0.82
200 168 0.84
400 327 0.82
1000 823 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A．0.90
B．0.82
C．0.85
D．0.84
【知识考点】方差；利用频率估计概率．
【思路分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【解答过程】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B．
【总结归纳】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝连接CD，OD，若S△OCD＝
（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，
，则k的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形． 【思路分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（
＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（
+
，
），D（m，m）＝
m），然后根据S
△COD
）（•m﹣，即可求得k＝
＝2．
【解答过程】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（
，
），
9
∵反比例函数y＝∴k＝
•
＝
（k＞0，x＞0）的图象过点C， ，
∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m， ∵反比例函数y＝∴D的纵坐标为
（k＞0，x＞0）的图象过点D， ，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝∴∴∴k＝
（AD+CE）•AE＝＝1， ＝2，
，即
（
+
）（m﹣•
m）＝
， ，
故选：C．
【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
第二部分（主观题）
二、填空題（每小题3分，共24分） 11．ax2﹣2axy+ay2＝ ．
【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答过程】解：ax2﹣2axy+ay2＝a（x2﹣2xy+y2）＝a（x﹣y）2． 故答案为：a（x﹣y）2．
【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 ． 【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案． 【解答过程】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106， 故答案为：1.8×106．
【总结归纳】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示方法：a×10n，确定n的值是解题关键，n是整数数位减1． 13．（3
+
）（3
﹣
）＝ ．
【知识考点】平方差公式；二次根式的混合运算．
10
【思路分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【解答过程】解：原式＝（3故答案为：12．
【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ． 【知识考点】方差．
【思路分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得． 【解答过程】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52， ∴S丙2＜S乙2＜S甲2， ∴丙选手的成绩更加稳定， ∴适合参加比赛的选手是丙， 故答案为：丙．
【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ． 【知识考点】圆锥的计算．
【思路分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【解答过程】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π， 故答案为：15π
【总结归纳】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
）2﹣（
）2＝18﹣6＝12．
【知识考点】菱形的性质．
【思路分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 【解答过程】解：∵OA＝1，OB＝2，
11
∴AC＝2，BD＝4， ∴菱形ABCD的面积为故答案为：4．
【总结归纳】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积＝度）．
17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
ab（a、b是两条对角线的长
×2×4＝4．
【知识考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【思路分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝
AB＝
6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答过程】解：过C作CF⊥AB交AD于E， 则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BF＝∴CF＝
AB＝
6＝3， ＝
，
＝3
，
∴CE+EF的最小值为3故答案为：3
．
【总结归纳】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 ．
12
【知识考点】规律型：图形的变化类；含30度角的直角三角形．
【思路分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题． 【解答过程】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝∵A1B1∥A2B2， ∴
＝
，
，
∴＝
（1+
， ）， （1+
）2， （1+
）2019，
∴A2B2＝…
同法可得，A3B3＝
由此规律可知，A2020B2020＝故答案为
（1+
）2019．
【总结归纳】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分） 19．（10分）先化简，再求值：（求值．
【知识考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【思路分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可．
【解答过程】解：原式＝＝
＝﹣2﹣x．
13
﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入
•
•
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
【总结归纳】此题主要考查了分式的化简求值，关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
20．（10分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【知识考点】概率公式；列表法与树状图法． 【思路分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答过程】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝故答案为：
；
；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝
＝
．
【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
14
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【思路分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数；
（3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
【解答过程】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）， 补全的条形统计图，如右图所示；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×故答案为：18°；
（3）2500×30%＝750（人），
答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．
15
＝18°，
【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（12分）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）
【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可．
【解答过程】 解：没有触礁的危险；
理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N， 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝12，
在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×∵AN＝6
≈10.38＞10，
＝6
，
∴没有危险．
【总结归纳】考查直角三角形的边角关系及其应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝
，AD＝2，求BO的长．
16
【知识考点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形． 【思路分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论． 【解答过程】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x， 在Rt△AOH中，∵tanA＝∴∴
＝＝
， ，
，
∴AH＝4x， ∴AO＝∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，∵tanA＝∴BC＝AC•tanA＝8×
，
＝
＝5x，
＝6，
17
∴OB＝＝＝3．
【总结归纳】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【知识考点】二次函数的应用．
【思路分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【解答过程】解：（1）由题意得：y＝80+20×∴y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元． 【总结归纳】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
，
为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80
18
【知识考点】相似形综合题．
【思路分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE； （2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出
，则可得出结论；
，求出AG＝．则可得出答案；
（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出
．由△ABE∽△ADF可得出
＝
，求出AE＝
②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长． 【解答过程】解：（1）AE＝AF． ∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE． （2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF，
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∴，
∵AD＝kAB， ∴∴
， ，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F在DA上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴
，
＝
＝
，
∵AF＝GF+AG， ∴AG＝
∵△ABE∽△ADF， ∴∴AE＝
＝
，
＝
．
．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝
＝
＝
，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3， 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
20
＝＝5．
∴△AGB∽△FGD， ∴
＝
，
∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF， ∴∴AE＝
，
，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝
＝
或
＝．
．
综上所述，EG的长为
【总结归纳】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
21
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【解答过程】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1）， 解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3； tan∠BCO＝
，则cos∠BCO＝
；
①当点P（P′）在点C的右侧时， ∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）； 当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N， ∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×解得：CH＝
＝
，
，故点H（0，﹣
x﹣
）， ②，
，则OH＝3﹣CH＝
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝联立①②并解得：
，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）； ②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝故设直线AP的表达式为：y＝故直线AP的表达式为：y＝
，
x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1， x+1，
联立①③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°， ∴∠RMH＝∠GAR，
22
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°， ∴△AGR≌△RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH， ∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③， 由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣
）2+（
）2④，
联立③④并解得：，
故点M（﹣，﹣）．
【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏．
23
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