函数的单调性

任课教师: 岳老师 Tel:

课题

基础盘查一 函数的单调性

1．判断正误

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)( )

(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( ) 1

(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )

函数的单调性 x(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x－2x(x∈[2,4])的增区间为________． 3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________． 基础盘查二 函数的最值

4．判断正误

(1)所有的单调函数都有最值( ) 11

(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为( )

x35．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝

2

(x∈[2,6])，则函数的最大值为________． x－1

2

1【答案】1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×；2．[2,4]；3．－∞，－；4．(1)× (2)√；5．2 2

考点一 函数单调性的判断 [必备知识1]：单调性的定义

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)． 设x1，x2∈[a，b]，如果

fx1－fx2fx1－fx2

>0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果

x1－x2x1－x2

<0，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数． [必备知识2]：确定单调性的方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

[典题例析] 【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x C．f(x)＝－

1 x＋1

B．f(x)＝x－3x D．f(x)＝－|x|

2

32

【解析】选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，时，f(x)＝x－3x为减函数，当x∈

23，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，2x＋1

f(x)＝－|x|为减函数．故选C.

－2x【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．

x－1

－2x1－2x22x1－x2

【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1－1x2－1x1－1x2－1

因为10，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)考点二 求函数的单调区间 [必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致

[典题例析] 【例3】 求下列函数的单调区间．

(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x＋2x－3|； (3)y＝－x＋2|x|＋1.

3x， x≥0，

【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝

－3x， x<0.

2

2

图象如图所示．

f(x)在(－∞，0]上是减函数，

在[0，＋∞)上是增函数．

(2)令g(x)＝x＋2x－3＝(x＋1)－4.

先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方 的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．

2

2

2

－x＋2x＋1，x≥0，

(3)由于y＝2

－x－2x＋1，x＜0，

2

－

即y＝

－

x－1x＋1

2

＋2，x≥0，＋2，x＜0.

2

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y＝x＋x－6的单调区间．

【解】令u＝x＋x－6，y＝x＋x－6可以看作有y＝u与u＝x＋x－6的复合函数．

由u＝x＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

∵u＝x＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．

∴y＝x＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．

222

2

2

2

2

考点三 函数单调性的应用 [必备知识3]复合函数单调性的判断

利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．

【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：

(1)求函数的值域或最值；

(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；

(4)利用单调性求参数的取值范围或值.

角度一：求函数的值域或最值

1，x≥1，

【例5】函数f(x)＝x－x2＋2，x＜1

的最大值为________．

1

【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1

x时，易知函数f(x)＝－x＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.

角度二：比较函数值或自变量的大小

【例6】设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A．f(a)>f(2a)

2

2

B．f(a)2

2

C．f(a＋a)123222

【解析】选D 由a＋1－a＝a－＋，得a＋1>a，又∵f(x)是R上的减函数，∴f(a＋1)24

【例7】(2014·广州模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a1＝f－，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为 ( ) 2

A．c＜b＜a C．b＜c＜a

B．b＜a＜c D．a＜b＜c

15【解析】选B ∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f－＝f，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，22

5∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c. 2

角度三：解函数不等式

【例8】f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )

A．(8，＋∞) C．[8,9]

B．(8,9] D．(0,8)

【解析】选B 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为

x＞0，

f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x－8＞0，

xx－8≤9，

角度四：利用单调性求参数的取值范围或值

解得8＜x≤9.

a－2x，x≥2，

【例9】已知函数f(x)＝1x－1，x<22

成立，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，2) C．(－∞，2]

满足对任意的实数x1≠x2，都有

fx1－fx2

<0

x1－x2

13B．－∞， 8

13D．，2

8

a－2<0，

【解析】选B 由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有12－1，

a－2×2≤2

1313解得a≤，即实数a的取值范围是－∞， .

88

由此

[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.

一、选择题

1．下列说法中正确的有( )

①若x1，x2∈I，当x1③函数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

2

xxA．0个 C．2个

B．1个 D．3个

【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不122

对；②y＝x在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在

x1

整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，

x＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．

2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( ) A．[1,2] C．[0,2]

2

B．[－1,0] D．[2，＋∞)

x－2x，x≥2，

【解析】选A 由于f(x)＝|x－2|x＝2

－x＋2x，x<2.

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3－1，则( )

x132A．f323213C．f231 B．f【解析】选B 由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，1123111112132∴f＝f1＋＝f1－＝f，又<<<1，∴f＞f>f，即f>f>f. 3232222323323

2

4．创新题定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )

A．－1 C．6

B．1 D．12

【解析】选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当13

f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )

A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0 C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值 －4 x≥3

【解析】选C y＝|x－3|－|x＋1|＝－2x＋2 －1≤x<3

4 x<－1

作出图象可求．

6．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )

A．可能为0 C．恒小于0

B．恒大于0 D．可正可负

【解析】选C 由x1x2<0不妨设x1<0，x2>0. ∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0. 由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)17．已知函数f(x)为R上的减函数，若fx

11即|x|<1，

【解析】由题意知f(x)为R上的减函数且f1，且x≠0.故－1xx



8．已知函数f(x)＝x－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________． 【解析】函数f(x)＝x－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a， 画出草图如图所示．

由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，

只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)

1，x>0，

9．设函数f(x)＝0，x＝0，

－1，x<0，

2

22

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

x，x>1，

【解析】由题意知g(x)＝0，x＝1，

－x2，x<1.

10．设函数f(x)＝

函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．

ax＋1

在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________． x＋2a2

ax＋2a2－2a2＋12a－1

【解析】f(x)＝＝a－，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．

x＋2ax＋2a2a－1＞0，

∴

－2a≤－2

2

2a－1＞0，

⇒

a≥1

2

⇒a≥1.答案 [1，＋∞)

三、解答题

11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

【解】(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0， 所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)x所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

x1x2

x1x2

x12

x19由f＝f(x1)－f(x2)得，f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. x3

2



∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

212．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

3(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

【证明】(1)设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．

又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a＋a－5)<2.

【解】(1)设x10，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.

2

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a＋a－5)<2＝f(1)，

∵f(x)在R上为增函数，∴a＋a－5<1⇒－32

2