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例10

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【2013全国课标Ⅰ（16）】

22(1x)(xaxb)的图像关于直线x2f(x)若函数=

对称，则f(x)的最大值是______.

解析1：易知，x1是函数的零点

2对称

又函数f(x)的图像关于直线x∴x3,x5也是函数的零点

f(x)(x1)(x1)(x3)(x5)

由函数所具有的对称性，只需求x2时的最大值即可。

22f(x)(x4x3)(x4x5) 将函数化为

/f∴(x)4(x2)(x25)(x25)

当x(2,25)时，f(x)0；当x(25,)时，f(x)0. 故x

解析2：∵函数f(x)的图像关于直线x∴f(x)f(4x)

故有f(1)f(5)，f(1)f(3) 解得a8,b15.

22f(x)(1x)(x8x15) ∴

//2时，f(x)的最大值为f(25)16.

2对称

/f∴(x)4(x2)(x25)(x25)

易得f(x)的最大值为f(25)f(25)16.

解析3：求得f(x)(1x)(x8x15)后. ∵函数f(x)的图像关于直线x222对称

22g(x)f(x2)(x9)(x1) ∴

2令tx，则t0.

2y(t9)(t1)t10t9 ∴

∴t5时，yminy(5)16.

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