2019-2020学年人教版九年级上册第二次月考数学试题及答案

2019-2020 学年九年级上册第二次月考数学试卷

一．选择题（满分 30 分，每小题 3 分）

1．方程（a﹣2）x2+ax+b＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的取值范围是（

）

A．a≠0

B．a≠2 C．a＝2

） C．x2＝﹣x

1

D．a＝0

2．下列关于 x 的方程中一定没有实数根的是（

A．x2﹣x﹣1＝0

B．4x2﹣6x+9＝0

2

D．x2﹣mx﹣2＝0

3．在平面直角坐标系中，抛物线 y 与直线 y 均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），

则下列说法：

①当 0＜x＜2 时，y ＞y ；

2

②y 随 x 的增大而增大的取值范围是 x＜2；

2

1

③使得 y 大于 4 的 x 值不存在；

2

④若 y ＝2，则 x＝2﹣

2

或 x＝1．

其中正确的有（

）

A．1 个

B．2 个 C．3 个 D．4 个

）

4．已知关于 x 的一元二次方程 3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（

A．方程有两个相等的实数根

B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根

D．无法确定

5．已知当 x＞0 时，反比例函数 y＝ 的函数值随自变量的增大而减小，此时关于 x 的方程

x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0 的根的情况为（

）

B．没有实数根

A．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（

）

A．9 人

1

2

B．10 人

1

2

1 2

C．11 人

1

2

D．12 人

）

7．已知实数 x ，x 满足 x +x ＝7，x x ＝﹣12，则以 x ，x 为根的一元二次方程是（

A．x2﹣7x+12＝0

B．x2﹣7x﹣12＝0

）

C．x2+7x﹣12＝0 D．x2+7x+12＝0

8．二次数 y＝x2+6x+1 图象的对称轴是（

A．x＝6

B．x＝﹣6 C．x＝ ﹣3

）

C．（0，﹣3）

D．x＝4

9．抛物线 y＝x2﹣4x+1 与 y 轴交点的坐标是（

A．（0，1）

B．（1，O） D．（0，2）

）

10．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2+bx 与 y＝﹣bx+a 的图象可能是（

A．

B．

C． D．

二．填空题（满分 24 分，每小题 4 分）

11．方程 x2＝2x 的根为

．

，其二次项的系数和一次项系数

12．方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是

的和是

．

．

13．抛物线 y＝x2﹣3x+2 与 x 轴交于点 A、B，则 AB＝

14．把抛物线 y＝2x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式

为

．

．

（填

15．若关于 x 的二次函数 y＝ax2+a2 的最小值为 4，则 a 的值为

16．二次函数 y＝ax2+bx+ （ 、 是数，且 a≠0）的图象如图所示，则 a+b+2c c a、b c 常“＞”、 “＝”或“＜”）0．

三．解答题（满分 18 分，每小题 6 分）

17．（6 分）解下 列一元二次方程．

（1）x2﹣6x﹣4＝0

（2）x（x﹣7）＝5x﹣36

18．（6 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：

x

…

﹣1

0

1

2

4

…

y

… 10 1 ﹣2 1 25 …

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．

19．（6 分）已知关于 x 的方程 2x2+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及 k 的

值．

四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）

20．（7 分）如图所示，在宽为16m，长为 20m 的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相

垂直），把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为 285m2，道路应为多宽？

21．（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣ 2m）＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为 x ，x ，且 x 2+x 2＝10，求 m 的值．

1

22．（7 分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过 A（2，0），D（﹣1，0）和 C（4，5）

2 1 2

三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在同一坐标系中画出直线 y＝x+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二

次函数的值．

五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）

23． 9（ 分）如图，某校广场有一段 25 米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）

为一边，围成一块 100 平方米的长方形草坪（如图 CD EF，CD＜ CF）已知整修旧围栏的

价格是每米 1.75 元，建新围栏的价格是 4.5 元．若 CF＝x 米，计划修建费为 y 元．

（1）求 y 与 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；

（2）若计划修建费为 150 元，能否完成该草坪围栏的修建任务？若能完成，请算出利用旧

围栏多少米；若不能完成，请说明理由．

24．（9 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中 a、b、c 分别为

△ABC 三边的长．

（1）如果 x＝﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；

（△2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；

（△3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

25．（9 分）已知一元二次方程 x2﹣4x+3＝0 的两根是 m，n 且 m＜n．如图，若抛物线 y＝﹣

x2+bx+c 的图象经过点 A（m，0）、B（0，n）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C．根据图象回答，当 x 取何值时，抛物线

的图象在直线 BC 的上方？

（3）点 P 在线段 OC 上，作 PE⊥x 轴与抛物线交于点 E，若直线 BC 将△CPE 的面积分成相等

的两部分，求点 P 的坐标．

参

一．选择题

1．解：依题意得：a﹣2≠0，

解得 a≠2．

故选：B．

2．解：△A、 ＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；

△B、 ＝﹣108＜0，方 程没有实数根；

△C、 ＝1＝0，方程有两个相等的实数根；

△D、 ＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

3．解：设抛物线解析式为 y＝a（x﹣2）2+4，

∵抛物线与直线均过原点，

∴a（0﹣2）2+4＝0，

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣2）2+4，

∴由图象得当 0＜x＜2 时，y ＞y ，故①正确；

2

y 随 x 的增大而增大的取值范围是 x＜2，故②正确；

2

1

∵抛物线的顶点（2，4），

使得 y 大于 4 的 x 值不存在，故③正确；

2

把 y＝2 代入 y＝﹣（x﹣2）2+4，得

若 y ＝2，则 x＝2﹣

2

或 x＝2+ ，故④不正确．

其中正确的有 3 个，

故选：C．

4．解：∵ ＝△42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

5．解：∵当 x＞0 时，反比例函数 y＝ 的函数值随自变量的增大而减小，

∴k＞0，

∵x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0，

∴ ＝△[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8＞0，

∴关于 x 的方程 x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0 有两个不相等的实数根，

故选：C．

6．解：设参加酒会的人数为 x 人，

根据题意得：

x（x﹣1）＝55，

整理，得：x2﹣x﹣110＝0，

解得：x ＝11，x ＝﹣10（不合 题意，舍去）．

1

2

答：参加酒会的人数为 11 人．

故选：C．

7．解：∵x +x ＝7，x x ＝﹣12，

1

∴以 x ，x 为根的一元二次方程可为 x2﹣7x﹣12＝ 0．

1

2 1 2

故选：B．

2

8．解：∵y＝x2+6x+1＝（x+3）2﹣8，

∴二次数 y＝x2+6x+1 图象的对称轴是直线 x＝﹣3，

故选：C．

9．解：当 x＝0 时，y＝x2﹣4x+1＝1，

∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，1），

故选：A．

10．解：A、对于直线 y＝﹣bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线 y＝

ax2+bx 来说，对称轴 x＝﹣

＞0，在 y 轴的右侧，符合题意，图形正确．

B、对于直线 y＝﹣bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y＝ax2+bx 来

说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线 y＝﹣bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0； 而对于抛物线 y＝ax2+bx 来

说，对称轴＝﹣

＜0，应位于 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误，

D、对于直线 y＝﹣bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线 y＝ax2+bx 来

说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

故选：A．

二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）

11．解：x2＝2x，

x2﹣2x＝0，

x（x﹣2）＝0，

x＝0，或 x﹣2＝0，

x ＝0，x ＝2，

1

2

故答案为：x ＝0，x ＝2．

1

2

12．解：①由方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，得

x2﹣2x﹣35＝﹣26，

即 x2﹣2x﹣9＝0；

②x2﹣2x﹣9＝0 的二次项系数是 1，一次项系数是﹣2，

所以其二次项的系数和一次项系数的和是 1+（﹣2）＝﹣1；

故答案为：x2﹣2x﹣9＝0；﹣1．

13．解：当 y＝0 时，x2﹣3x+2＝0，解得 x ＝1，x ＝2，

1

所以抛物线 y＝x2﹣3x+2 与 x 轴的交点 A、B

2

的坐标为（1，0），（2，0），

所以 AB＝2﹣1＝1．

故答案为 1．

14．解：y ＝ 2x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 y＝

2

﹣2；

故答案是：y＝2（x+3）2﹣2．

15．解：∵关于 x 的二次函数 y＝ax2+a2 的最小值为 4，

∴a2＝4，a＞0，

解得，a＝2，

故答案为：2．

16．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0

∵抛物线与 y 轴交于 y 轴负半轴，

∴c＜0

∵对称轴在 y 轴左侧

∴﹣ ＜0

x2+3 ）

（

∴b＜0

∴a+b+2c＜0

故答案为：＜．

三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）

17．解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，

b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣4）＝52，

x＝

，

x ＝3+

，x ＝3﹣ ；

1

2

（2）x（x﹣7）＝5x﹣36，

整理得：x2﹣12x+36＝0，

（x﹣6）2＝0，

开方得：x﹣6＝0，

即 x ＝x ＝

6．

1

2

18．解：（ 1 ）把（0，1），（ 1 ，﹣2）， 2（， 1）

代入 y＝ax2+bx+c 得

所以抛物线解析式为 y＝3x2﹣6x+1；

（2）y＝3（x2﹣2x）+1

＝3（x2﹣2x+1﹣1）+1

＝3（x﹣1）2﹣2，

所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．

19．解：

∵关于 x 的方程 2x2+kx+1﹣k＝0 的一个根是﹣1，

∴2﹣k+1﹣k＝0，解得 k＝ ，

∴原方程为 2x2+ x﹣ ＝0，解得 x＝﹣1 或 x＝ ，

即方程的另一根为 ，k 的值为 ．

四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）

20．解：设道路为 x 米宽，

，解得 ，

由题意得：（20﹣x）（16﹣x）＝285，

整理得：x2﹣36x+35＝0，

解得：x ＝1，x ＝35，

1

2

经检验是原方程的解，

但是 x＝35＞20，因此不合题意舍去，

故道路为 1m 宽．

21．解：（△1）由题意可知： ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）

＝4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x +x ＝2m﹣2，x x ＝m2﹣2m，

1

2

1 2

∴ + ＝（x +

x ）2﹣2x x ＝

10，

12

1 2

∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，

∴m2﹣2m﹣3＝0，

∴m＝﹣ 1 或 m＝3

22．解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过 A（2，0），B（0，﹣1）和 C（4， ∴ ，

∴a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣1，

∴二次函数的解析式为 y＝ x2﹣ x﹣1；

（2）

当 y＝0 时，得 x2﹣ x﹣1＝0；

解得 x ＝

2，x ＝﹣1，

12

∴点 D 坐标为（﹣1，0）；

∴图象如图，

∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是﹣1＜x＜4．

5）三点，

五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）

23．解：（1）y＝1.75x+4.5（

×2+x），

＝1.75x+

+4.5x，

＝6.25x+

（0＜x≤25）；

（2）当 y＝150 时，6.25x+

＝150

整理得：x2﹣24x+144＝0

解得：x ＝x ＝12

1

经检验，x＝12 是原方程的解，且符合题意．

2

答：应利用旧围栏 12 米．

24．解：（△1） ABC 是等腰三角形，

理由：当 x＝﹣1 时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，

∴b＝c，

∴△ABC 是等腰三角形，

（△2） ABC 是直角三角形，

理由：∵方程有两个相等的实数根，

∴ ＝（△2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC 是直角三角形；

（△3）∵ ABC 是等边三角形，

∴a＝b＝c，

∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，

即：x2+x＝0，

∴x（x+1）＝0，

∴x ＝0，x ＝﹣1，

1

即：这个一元二次方程的根为 x ＝0，x ＝﹣1．

1

2

25．解：（1）∵x2﹣4x+3＝0 的两个根为 x ＝1，x ＝3，

1

2

∴A 点的坐标为（1，0），B 点的坐标为（0，3），

2

又∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0）、B（0，3）两点，

∴

，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3，

答：抛物线的解析式是 y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）作直线 BC，

由（1）得，y＝﹣x2﹣2x+3，

∵抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 与 x 轴的另一个交点为 C，令﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x ＝1，x ＝﹣3，

1

∴C 点的坐标为（﹣3，0），

2

由图可知：当﹣3＜x＜0 时，抛物线的图象在直线 BC 的上方，

答：当﹣3＜x＜0 时，抛物线的图象在直线 BC 的上方．

（3）设直线 BC 交 PE 于 F，P 点坐标为（a，0），则 E 点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），

∵直线 BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分，

∴F 是线段 PE 的中点（根据等底等高的三角形的面积相等），

即 F 点的坐标是（a，

），

∵直线 BC 过点 B（0.3）和 C（﹣3，0），

设直线 BC 的解析式是 y＝kx+b

（k≠0），代入得： ，

∴

∴直线 BC 的解析式为 y＝x+3，

∵点 F 在直线 BC 上，

∴点 F 的坐标满足直线 BC 的解析式，

即

1

＝ a+3

2

解得 a ＝﹣1，a ＝﹣3（此时 P 点与点 C 重合，舍去）， ∴P 点的坐标是（﹣1，0），

答：点 P 的坐标是（﹣1，0）．