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培优专题讲义有理数及其运算

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初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算

一、 有理数的基本概念: (一)常考点,易错点:

1.字母可以表示任意有理数,不能说a一定是正数,-a也不一定是负数

2.相反数等于本身的数是 ;平方等于本身的数是 ;立方等于本身的数是 ;倒数等于本身的数是 。

3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|-x|=|

1|,则x=______;若|x|=|-4|,则x=____; 2若-|x|=-|2|,那么x=___;若-|-x|=-|2|,那么x=____

2 ,那么a=____;若x2=(-2)2,则x=_______. 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 a 1632

5.注意乘方中括号的作用。(-2)的底数是_______,结果是_______;-3的底数是_______,结果是_______;n为正整数,则(-1)2n=_ __, (-1) 2n+1=_ __。计算:

(1) = ; (2) = ; (3) = ;(4) = (5)

=

6.a的相反数是 ;a+b的相反数是 ;a-b的相反数是 ;-a+b-c的相反数是 ; 变式训练:若a<b,则∣a-b∣= ,-∣a-b∣= (二)绝对值的化简: 7.绝对值即距离,则a0

8.绝对值的代数定义用式子可表示为:(体现分类讨论的思想) (a>0) |a| = (a=0 )

(a<0 ) 9.绝对值的非负性:

(1)若|a|=0,则a ; (2)若|a|=a,则a ; (3)若|a|=—a,则a ; (4)

, 则

aa______;______;(5)a0,则(6)若|a|+|b|=0,则a 且b |a||a| 小结:要打开绝对值号,关键要确定绝对值号里的数的符号。

例1. 已知:│a-1│+(b+1)2=0,那么(a+b)2003+a2003+b2003的值是多少?

例2.若ab<0,求

1

abab++的值. |a||b||ab|例3.(1)如果x<-2,那么|1-|1+ x||= ; 若|m-1|=m-1,则m___1. ; 若|m-1|=1-m,则m___1.

(2)已知a3,且aa0,则aaa1___________. 例4.有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b| C

1.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a|—|c—b|—|a—c|+|b-a|

2.数a,b在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||

例5. 若-2≤a≤0,化简|a+2|+|a-2| 即时练习:1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

2. 若a<0,试化简

32B 0 A

a 0 c b a 0 b 2a|3a|abc 3. 若abc≠0,则的所有可能值为

||3a|a||a||b||c|例6.若xy3与xy1999互为相反数,求

(三)分类讨论的思想:

x2y的值 xy例7. 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,且x的绝对值是5,

试求x-(a+b-cd)+│(a+b)-4│+│3-cd│的值.

即时练习:1. 已知|x|=2,|y|=3且x-y>0,则x+y的值为多少? 2.解方程:|x-5|=8

2

(四)两个重要的非负数:①a0;②a2≥0;③ a2a2a2

例8.若2a122ab0,且c12,求ca3b 的值。

例9.已知ab2与b1互为相反数,求代数式

1111的值. ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a1999)(b1999)

二、 突破有理数的计算

(一) 混合运算的几个优先原则:乘方优先,括号优先,凑整优先,同号优先,相反数优先,同分母优

先,分配律优先。减法要用心:连减取负当加算;小减大,取负,倒过来减。

11(1.5)42.75(5)32(6)8(2)(4)5 42例10.计算:(1) (2)

1252[4(10.2)(2)](16503)(2)255(3) (4)5(6)(4)(8) (5)

222999921353(3)(2)2(98)98(6) 48 (7)34824

(二)利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算:例11.计算:(巧算) (1)

111111111111 (2)+++++. 2004200320032002100310022481632例12.计算:(-

例13.

453553)×-(-)×(-)-×(-1) 513513135

例14.(1)(分组求和)1-2+3-4+…+2001-2002 (2)(倒序求和)1+3+5+7+…+99

3

(三)利用幂的性质巧算:例15.计算:(1)

(2)

(四)整体代入求值初步:例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= . 例17.已知

2ab5abab的值 3,试求代数式

ababab4

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