培优专题讲义有理数及其运算

一、 有理数的基本概念： （一）常考点，易错点：

1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数

2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。

3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x|=|

1|，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____； 2若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

2 ，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______. 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 a 1632

5.注意乘方中括号的作用。（－2）的底数是_______，结果是_______；－3的底数是_______，结果是_______；n为正整数，则（－1）2n=_ __, (－1) 2n+1=_ __。计算：

（1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5）

=

6.a的相反数是 ；a+b的相反数是 ；a-b的相反数是 ；-a+b-c的相反数是 ； 变式训练：若a＜b，则∣a-b∣= ，-∣a-b∣= （二）绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则a0

8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a＞0） |a| = （a＝0 ）

（a＜0 ） 9.绝对值的非负性：

（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a，则a ； （3）若|a|＝—a，则a ； （4）

， 则

aa______；______；（5）a0，则（6）若|a|+|b|=0，则a 且b |a||a| 小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。

例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？

例2.若ab<0，求

1

abab++的值． |a||b||ab|例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m－1|=m－1,则m___1. ； 若|m－1|=1－m,则m___1.

（2）已知a3，且aa0，则aaa1___________． 例4.有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| C

1.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c—b|—|a—c|+|b-a|

2.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||

例5. 若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

2. 若a<0，试化简

32B 0 A

a 0 c b a 0 b 2a|3a|abc 3. 若abc≠0，则的所有可能值为

||3a|a||a||b||c|例6.若xy3与xy1999互为相反数，求

（三）分类讨论的思想：

x2y的值 xy例7. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且x的绝对值是5，

试求x－（a+b－cd）+│（a+b）－4│+│3－cd│的值．

即时练习：1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？ 2.解方程：|x-5|=8

2

（四）两个重要的非负数：①a0；②a2≥0；③ a2a2a2

例8.若2a122ab0,且c12,求ca3b 的值。

例9．已知ab2与b1互为相反数，求代数式

1111的值. ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a1999)(b1999)

二、 突破有理数的计算

（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优

先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。

11(1.5)42.75(5)32(6)8(2)(4)5 42例10.计算：（1） （2）

1252[4(10.2)(2)](16503)(2)255（3） （4）5(6)(4)(8) （5）

222999921353(3)(2)2(98)98（6） 48 （7）34824

（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例11.计算：（巧算） （1）

111111111111 （2）+++++． 2004200320032002100310022481632例12.计算：（－

例13.

453553）×－（－）×（－）－×（－1） 513513135

例14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…+2001-2002 （2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99

3

（三）利用幂的性质巧算：例15.计算：（1）

（2）

（四）整体代入求值初步：例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= . 例17.已知

2ab5abab的值 3，试求代数式

ababab4