数学模型实验报告

课 程 实 验 报 告

课程名称 《数学模型》 专 业 信息与计算科学 班 级 学 号 姓 名 指导教师

2011年 6月 28日

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湖南工程学院数学建模实验报告 学生姓名： 杨同彬 学 号：200910010310 专业班级：信息与计算科学0903 指导老师：刘光辉 评分 一、实验选择题目:1、2、3、6、9 二、实验内容： 1、已知如下点列，求其回归直线方程，并计算最小误差平方和 x 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23 y 42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60 2、合金强度y与其中含碳量x有密切关系，如下表 x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 y 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5 根据此表建立y(x)。并对结果作可信度进行检验、判断x对y影响是否显著、检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。 3、 某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下表是该产品在10个城市的销售记录。 x1 x2 y(个) 120 100 102 140 110 100 190 90 120 130 150 77 155 210 46 175 150 93 125 250 26 145 270 69 180 300 65 150 250 85 试建立关系y(x1，x2)，对结果进行检验。若某城市本厂产品售价160（元），对手售价170（元），预测此产品在该城市的销售量。 6、某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。 I 设备 1 原材料A 4 原材料B 0 II 2 0 4 8台数 16kg 12kg 该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？ 9、某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益如下表：

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工程项目 A B C D 收益(%) 15 10 8 12 由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于其他各项投资之和而用于项目B和C的投资要大于项目D的投资。试建立该公司收益最大的投资分配方案的数学模型。 三、实验目的： 熟练就在用MATLAB的集成环境，掌握MATLAB的基本运算、绘图命令简单编程 四、问题分析和求解过程: 解：1、程序如下： x=[0.1 0.11 .12 .13 .14 .15 .16 .17 .18 .2 .21 .23]; y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]; n=length(x); xb=mean(x); yb=mean(y); x2b=sum(x.^2)/n; xyb=x*y'/n; b=(xb*yb-xyb)/(xb^2-x2b); a=yb-b*xb; y1=a+b.*x; plot(x,y,'*',x,y1); serror=sum((y-y1).^2) 解：2、在x-y平面上画散点图，直观地知道y与x大致为线性关系。

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用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。 作回归分析用命令 [b,bint,r,rint,ststs]=regress(y,x,alpha) 可用help查阅此命令的具体用法 残差及置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图 设回归模型为 y=β0+β1x, 在MATLAB命令窗口中键入下列命令进行回归分析 x=0.1:0.01:0.18;x=[x,0.2,0.21,0.23]'; y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5]'; X=[ones(12,1),x]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,0.05); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 得结果和图 b = 27.0269 140.6194 bint = 22.3226 31.7313 111.7842 169.46 stats = 0.9219 118.0670 0.0000 结果含义为 β0=27.0269 β1=140.6194 β0的置信区间是 [22.3226,31.7313] β1的置信区间是 [111.7842,169.46] R2=0.9219 F=118.0670, p<10-4. R是衡量y与x的相关程度的指标，称为相关系数。R越大，x与y关系越密切。通常R大于0.9才认为相关关系成立。 F是一统计指标 p是与F对应的概率，当 p<0.05时，回归模型成立。 此例中 p=0 <10-4<0.05，所以，所得回归模型成立。 观察所得残差分布图，看到第8个数据的残差置信区间不含零点，此点视为异常点，剔除后重新计算。

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此时键入： X(8,:)=[]; y(8)=[]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 得： b = 27.0992 137.8085 bint = 23.8563 30.3421 117.8534 157.7636 stats = 0.94 244.0571 0.0000 可以看到：置信区间缩小；R2、F变大，所以应采用修改后的结果。 解：3、这是一个多元回归问题。若设回归模型是线性的，即设y=β0+β1x1+β2x2 那么依然用regress(y,x,alpha)求回归系数。键入 x1=[120,140,190,130,155,175,125,145,180,150]; x2=[100,110,90,150,210,150,250,270,300,250]; y=[102,100,120,77,46,93,26,69,65,85]'; x=[ones(10,1),x1',x2']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats, 得b = 66.5176

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0.4139 -0.2698 bint = -32.5060 165.11 -0.2018 1.0296 -0.4611 -0.0785 stats = 0.6527 6.5786 0.0247 p=0.0247,若显著水平取0,01，则模型不能用；R2=0.6527较小;β0，β1的置信区间包含零点。因此结果不理想。于是设模型为二次函数。此题设模型为纯二次函数： y=β0+β1x1+β2x2+β11x1+β22x2 22MATLAB提供的多元二项式回归命令为rstool(x,y,model,alpha).其中alpha为显著水平、model在下列模型中选一个： 其意义与前面的对话窗意义类似。若要回答“本厂售价160，对手售价170，预测该市销售量”的问题，只需在下方窗口中分别肩入160和170，就可在左方窗口中读到答案及其置信区间。

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下拉菜单Export向工作窗输出数据具体操作为： 弹出菜单，选all，点击确定。此时可到工作窗中读取数据。可读数据包括：beta（回归系数） rmse（剩余标准差） residuals （残差）本题只要键入 beta,rmse,residuals 得 beta = -312.5871 7.2701 -1.7337 -0.0228 0.0037 rmse = 16.36 residuals = 6.6846 -12.6703 -0.2013 6.4855 -19.6533 7.99 -11.4737 5.4303 -4.9932 22.3926 解：6、原LP问题为 maxz2x13x2x12x284x1164x212x0,x021 s.t. MATLAB命令的标准形是求目标函数的最小值, 通常将maxf通常转变为min-f来编程求解。原问题转化为 min(z)2x13x2x12x284x1164x212x0,x021s.t. 在MATLAB中输入 >> clear >> f=-[2,3]; >> A=[1,2;4,0;0,4]; >> B=[8,16,12];

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>> lb=[0,0]; >> [X,fval]=linprog(f,A,B,[],[],lb) 击回车键，显示最优解及目标函数最优值 Optimization terminated successfully. X = 4.0000 2.0000 fval = -14.0000 所以，工厂应选择生产第Ⅰ、Ⅱ产品的产量分别为4件和2件，工厂最多可获利14万元。 解:9、设x1、 x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数，则投资问题的数学模型为 maxf0.15x10.1x20.08x30.12x4 x1x2x3x40  x2x3x40 s.txx2x3x41 1xj0(j1,2,3,4)  MATLAB中输入 >> clear >> f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12]; Optimization terminated successfully. x = 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500 >> A = [1 -1 -1 -1 0 -1 -1 1]; >> b = [0 0]; >> Aeq=[1 1 1 1]; >> beq=[1]; >> lb = zeros(4,1); >> [x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 回车后结果显示： fval = -0.1300 exitflag = 1 即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收

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益可到达13%。过程正常收敛。 9