文科立体几何

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19.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

一、解答题

1．[2018·淮南一模]如图所示，正四棱椎𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，侧棱长为2√2，𝐸为𝑃𝐷的中点．（1）求证：𝑃𝐵∥平面𝐴𝐸𝐶； （2）若𝐹为𝑃𝐴上的一点，且

𝑃𝐹𝐹𝐴

=3，求三棱椎𝐴−𝐵𝐷𝐹的体积．

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2．如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐵𝐷𝐸𝐹相交于𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐶=120∘，𝐵𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐷𝐸//𝐵𝐹，𝐵𝐹=2𝐷𝐸，𝐴𝐹⊥𝐹𝐶，𝑀为𝐶𝐹的中点，𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝐺. （1）求证：𝐺𝑀//平面𝐶𝐷𝐸；

一、解答题 1．如图,在底面为直角梯形的四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90°, 𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴=3,𝐴𝐷=2,𝐴𝐵=2√3,𝐵𝐶=6.

(1)求证: 𝐵𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐶；

2．如图，在棱长都相等的正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐷,𝐸分别为𝐴𝐴1,𝐵1𝐶的中点．

（1）求证：𝐷𝐸//平面𝐴𝐵𝐶； （2）求证：𝐵1𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸．

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3．如图，直棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的棱长都为2，点𝐹为棱𝐵𝐶的中点，点𝐸在棱𝐶𝐶1上，且𝐶𝐶1=4𝐶𝐸.

（1）求证：𝐸𝐹⊥平面𝐵1𝐴𝐹； （2）求点𝐶1到平面𝐴𝐸𝐹的距离.

4．如图,在四棱锥PABCD中,棱PA底面ABCD,且ABBC, AD//BC, PAABBC2AD2, E是PC的中点. (1)求证: DE平面PBC； (2)求三棱锥APDE的体积.

5．如图，四面体ABCD中， O、E分别BD、BC的中点， ABAD2，

CACBCDBD22.

（1）求证： AO平面BCD； （2）求点D到平面ABC的距离.

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1.若图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥平面ABC，且△ABC和△A1BC均为正三角形. （1）在B1C1上找一点P，使得A1P⊥平面A1BC，并说明理由. （2）若△ABC的面积为3，求四棱锥A1- BCC1B1的体积.

2.如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD；

（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点． （1）若PA=PD，求证：AD⊥平面PQB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．

4.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=DA1．

（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

AA1，D是棱AA1上的点，且AD=

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

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5.如图，在三棱锥A﹣BCD中，O、E分别为BD、BC中点，CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证：AO⊥面BCD（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值 （3）求点E到平面ACD的距离．

CD2，△ABC是边长为4的正三角形，把△6.如图甲，在四边形ABCD中，AD23，ABC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC丄平面ACD，如图乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点. (1)求证：AD丄平面PON； (2)求三棱锥M-ANO的体积.

图甲 图乙

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7.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E为A1B1的中点，且C1E⊥BB1． （1）求证：A1C∥平面BEC1；

（2）求A1C与平面ABB1A所成角的大小．

8.四面体PABC中，已知PA3，PBPC2，APBBPCCPA60．

PACB

求证：（ⅰ）PABC．（ⅱ）平面PBC平面ABC．

9.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；

（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．

10.如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点． （1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；

（2）求直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．

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11.如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE． （Ⅰ）证明：BE⊥平面D1AE； （Ⅱ）求三棱锥C﹣BD1E的体积．

14.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=∠BAD=∠ABC=90°。（1）证明：直线BC∥平面PAD; （2）若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积。

1AD, 2

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