2017届高三数学(理)黄金考点总动员 专题05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性) 含解析

2017届高三数学33个黄金考点总动员

考点5 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性）

【考点剖析】

一．最新考试说明：

1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性． 3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 二．命题方向预测：

1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．

2．函数的奇偶性是高考考查的热点．

3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结：

1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．

2．若奇函数定义域中有0,则必有f(0)0．即0f(x)的定义域时，f(0)0是f(x)为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有:f(x)f(x)f(|x|)．

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3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用:定义法（取值、作差、鉴定)、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等．

4．若函数fx的定义域关于原点对称，则fx可以表示为

fx11fxfx2fxfx2，该式的特点是：右端为一个奇函数和一

个偶函数的和．

5．既奇又偶函数有无穷多个（f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．

6．复合函数的单调性特点是:“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．

7．函数yfx与函数yfx的图像关于直线x0（y轴）对称． 8．函数yfx与函数yfx的图像关于直线y0(x轴）对称． 9．函数yfx与函数yfx的图像关于坐标原点中心对称． 10．函数ya与函数ylogxa0,a1的图像关于直线yx对称．

xa四、名师二级结论： 一个防范

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的．例如函数y=1分别在(－∞，0），(0，＋∞）内都是单调递减的，但不能说

x它在整个定义域即（－∞，0）∪（0,＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为（－∞，0)和（0，＋∞）,不能用“∪”连接． 一条规律

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函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

注意:分段函数判断奇偶性应分段分别证明f（－x)与f（x）的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性． 两个应用

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式．

2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法:利用f（x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法

判断函数单调性的三种方法方法:(1）定义法；(2)图象法；(3）导数法．

判断函数的奇偶性的三种方法：（1)定义法；（2）图象法；(3)性质法． 在判断函数是否具有奇偶性时,为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式:

f(－x）＝±f(x）  f（－x)±f（x)＝0f(x)＝±1，f（x)≠0． f(x)五、课本经典习题:

(1）新课标人教A版必修一第36页练习第1(3）题 判断下列函数的奇偶性:fxx2x1．

【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题

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设

1x2f(x)1x2，求证:（1)f(x)f(x)；（2）f(1)f(x)．

x【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． (3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题

对于函数fxa221aR．（1）探索函数f(x)的单调性；（2）是否存在

x实数a使f(x)为奇函数？

【经典理由】典型的函数性质应用题,可以进行改编、变式或拓展． (4）新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题 设

exexexexf(x),g(x)2222，求证：

22（1）g(x)f(x)1；(2）f(2x)2f(x)•g(x)；（3）g(2x)g(x)f(x)．

【经典理由】典型的证明函数性质题,可以进行改编、变式或拓展． 六．考点交汇展示：

(1）函数的奇偶性与函数的零点交汇

例1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A）ycosx （B）ysinx (C）ylnx （D）yx【答案】A

【解析】由选项可知，B,C项均不是偶函数，故排除B,C，A,D项是偶函数,但D项与x轴没有交点，即D项的函数不存在零点，故选A。 （2） 函数的周期性与函数的零点交汇

例2．已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3时，

f(x)x22x1221

,若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，

则实数a的取值范围是 ． 【答案】(0,1)

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(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题

例3．【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四)】函数fx是定

2x,0x1义在R上的奇函数，当x0时，fx,则方程fx1在3,5上1xfx1,x12的所有实根之和为（ ）

A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C

【解析】由题意可知,当x[3,3]时，由奇函数性质可知，有实根之和为0，当x(3,4]时，f(x)2，由

x6fx1x的所

f(x)2x61x得x4，当当x(4,5]时，f(x)2，方程

x8f(x)2x811fxx无解，所以在区间-3,5,方程x的所

有实根之和为4．

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【考点分类】

热点一 函数的单调性

1．【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1) 上为减函数的是（ ）

1A。y1 B.ycosx C.yln(x1) D.y2

xx【答案】D

2．【2016湖北七校联考】已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是（ ）

17A．1 B． C． 848D．3

8【答案】C

【解析】令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函数，则

所以2x21x只f(2x21)f(x)f(x),又因为f(x)是R上的单调函数，有一个零点,即2x故选C．

3．下列函数中,满足“fxyfxfy\"的单调递增函数是（ ） (A）fxx （B）fxx （C)

3122x10只有一个零点，则18(1)0，解得7，81fx2x (D）fx3

x【答案】D

【解析】A选项：由fxyxy，fxfyx1212y(xy)1212，得

3fxyfxfy，所以A错误；B选项：由fxyxy，

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fxfyx3y3(xy)3，得fxyfxfy，所以B错误；C选项：函数1fx2x是定义在R上减函数，所以C错误；D选项：由fxy3，

xyfxfy3x3y3xy,得fxyfxfy；又函数fx3x是定义在R上增函

数，所以D正确．故选D 【方法规律】

1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法:

(1)可以结合定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行．

2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间． (3)图象法：如果f(x）是以图象形式给出的,或者f（x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

（4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

3．函数单调性的应用：f（x)在定义域上(或某一单调区间上）具有单调性，则f(x1)f（x1）〈 f（x2）x1设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 【易错点睛】

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误区1．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错 【例1】（2014浙江宁波十校联考）求y＝x24x12的单调区间．

【错解】令t＝x2－4x－12，则t＝x2－4x－12在(－∞，2］上递减,在与上递减，在上是减函数，在与上递减，在上为增函数,则不一定说明函数f(x）在为增函数，如图（1)，由图像可知函数f（x)在上整体不呈上升趋势，故此时不能说f（x）在上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在上为增函数，即只需f(x)在上的最小值即可,同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．

图（1）

图（2）

需注意以下两点：

(1）函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数（或减函数），不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数）,例如函数f(x)=1在(－∞，0)上是减函数，

x在(0,＋∞）上也是减函数，但不能说f(x)=1在(－∞，0）∪(0,＋∞）

x上是减函数,因为当x1＝－1,x2＝1时，有f（x1)＝－1＜f(x2)＝1不满足减函数的定义．

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(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数

y＝x3－3x的单调增区间有两个：（－∞，－1）和(1,＋∞)不能写成(－∞,－1）∪(1，＋∞)． 热点二 函数的奇偶性

1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A．yxe B．yx1 C．y2xxx12x

D．y1x2

【答案】A．

2．已

知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x则f(1)g(1)（ ） A．

3

3x21，

B． 1 C． 1 D． 3

【答案】C

【解析】分别令x1和x1可得f1g13和f1g11，因为函数

f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以

f1f1,g1g1，即f1g11

f1g13f12f1g11，则f1g11,故选

f1g11g11C．

3．【2016年高考四川理数】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2

)f(1)= . 的奇函数,当0＜x＜1时，f(x)4，则f(52x学必求其心得，业必贵于专精

【答案】-2

【方法规律】

1．判断函数奇偶性的方法 （1）定义法

一般地，对于较简单的函数解析式,可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式,可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：

（2)图象法

奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性．

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2。已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数

常常采用待定系数法，利用f（x）±f(－x)＝0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． 【易错点睛】

函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x）和

f（－x）必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称,这是函

数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称,它一定是非奇非偶函数．

误区．不明分段函数奇偶性概念致错 【例

x22x3,x01】判断f(x)=的奇偶性． 3,x0x22x3,x0【错解】当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝(－x）2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f（x)．

当x＜0时，－x＞0，f(－x）＝－（－x)2＋2(－x)－3＝－（x2＋2x＋3）＝－f（x)．所以f(x)是奇函数． 【剖析】漏x＝0情况．

【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f（－x)＝－f(x）成立,但当x＝0时，f(0)＝3≠－f（0），所以函数f(x）既不是奇函数也不是偶函数． 热点三 函数的周期性

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1．【2016高考山东理数】已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，

f(x)x31

11f(x)f(x) 。则f；当1x1 时,f(x)f(x);当x1 时，222（6）= （ ）

（A)−2 （B)−1 （C)0 （D）2 【答案】D

2.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x[1,1)时，

4x22,1x0,，则f(3) f(x)20x1,x, ．

【答案】1

【解析】f(3)f(1)4121．

224【方法规律】

函数周期性的相关结论：

设a是非零常数，若对f(x）定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x）；②f(x+a)=1;③f(x+a)=-1；④f(x＋a）＝f（xf(x)f(x)－a），则f(x）是周期函数，2｜a|是它的一个周期．（以上各式中分母均不为零)．

热点四 函数性质的综合应用

1．【2016年高考北京理数】已知x,yR，且xy0,则（ ) A。110xy

)B.sinxsiny0 C。(12x1()y0D.lnxlny0 2【答案】C

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【解析】A：由xy0,得11，即110，A不正确；

x

y

xyB：由xy0及正弦函数ysinx的单调性，可知sinxsiny0不一定成立；

11，xy0,得()C：由0122x111()y，故()x()y0,C222正确；

D：由xy0，得xy0，不一定大于1，故lnxlny0不一定成立,故选C.

2.已知定义在R 上的函数fx2af(log0.53),bflog25,cf2m

xm1 （m为实数)为偶函数，记

，则a,b,c 的大小关系为（ )

（A）abc （B）acb （C)cab （D)cba 【答案】C

3.【2016高考江苏卷】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1)上，

xa,1x0, f(x)2x,0x1,5其中aR. 若f(5)f(9) ，则f(5a)的值

22是 . 【答案】2

5【解析】f(5)f(1)f(9)f(1)1a12a3，

22222255因此

32f(5a)f(3)f(1)f(1)155．

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【方法规律】

1．解这类综合题的一般方法

在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助． (1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小;

（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象．

2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系

若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心），则该函数必是周期函数．特别地,有以下结论(其中a≠0）: 若f（x）有对称轴x＝a，且是偶函数，则f(x）的周期为2a； 若f(x)有对称轴x＝a，且是奇函数，则f（x）的周期为4a; 若f（x)有对称中心（a，0），且是偶函数,则f（x)的周期为4a； 若f(x）有对称中心（a，0)，且是奇函数，则f（x)的周期为2a． 【易错点睛】

误区1．函数的性质挖掘不全致误

【例1】奇函数f(x)定义在R上，且对常数T＞0,恒有f（x＋T)＝f(x）,

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则在区间上，方程f（x)＝0根的个数至少有 ( ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【错解】由f（x）是R上的奇函数，得f(0)＝0x1＝0．再由f(x＋T)＝f（x）得f（2T)＝f(T)＝f(0）＝0x2＝T,x3＝2T．即在区间上，方程f(x）＝0根的个数最小值为3个．

【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即

f(x)f(x)……①f(x)f(xT)……②解时要把抽象性质用足,不仅要充

分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．

【正解】由方程①得f（0）＝0x1＝0．再由方程②得f（2T）＝f（T)＝f（0)＝0x2＝T，x3＝2T．

又∵f(x-T)=f(x+T)，令x＝0得f(-T)=f(T)．又f(-T)=-f(T),f(T)=0,x2222222f(T3T+T)=0 x5224T.再由②得2，故方程f(x）＝0至少有5个实数根．故选C．

误区2．忽视隐含条件的挖掘致误

【例2】设f(x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间上,

ax1,1x0其中f(x)=bx2,0x1x13)=f()，a，b∈R．若f(1则a＋3b的值为________． 223111)=f(-2)=f(-)，即f()=f(-)．又【错解】因为f（x）的周期为2，所以f(322222学必求其心得，业必贵于专精

b21112因为f(-)=-a+1,f()=1b4，所以1a+1=b4,3a+2b=-2．

23222312【剖析】

(1）转化能力差,不能把所给区间和周期联系起来；（2)挖掘不出f（－1）＝f（1)，从而无法求出a、b的值．

【正解】因为f（x）的周期为2，所以f(3)=f(3-2)=f(-1),即f(1)=f(-1)．又

22222因为

b21b421112b4a+1=,．整理，得a=-(b+1)．① ，所以f(-)=-a+1,f()=2332221132又因为f(－1)＝f(1）,所以-a+1=b2，即b＝－2a．

2②

将②代入①,得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×（－4)＝－10．

【热点预测】

1．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A．

f(x)x3

B．

f(x)sinx C．

fx1 x D．f(x)x|x|

【答案】D

【解析】选项A：f(x)x在定义域R上单调递增,且为奇函数;选项B：

33f(x)sinx在2k,2k上单调递增，在2k,2k(kZ)上单调递

2222(,0),(0,)单调递减，减，且为奇函数；选项C：f(x)1在且为奇函数；x学必求其心得，业必贵于专精

选项D．

2x,x0D：f(x)xx2在定义域

x,x0R上单调递减,且为奇函数；故选

2．【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】已知定义域为a4,2a2的奇函数fx2016xfafb的值为(

3sinxb2,则

）

A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A

3．【2016高考新课标2理数】已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若

mx1函数yx与yf(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则(xiyi)i1（ ）

(A)0 （B）m （C）2m （D）4m 【答案】C

111的交点【解析】由于fxfx2，不妨设fxx1,与函数yxxx为1,2,1,0,故xx12y1y22,故选C.

4．已知f(x1)f(x1),f(x)f(x2)，方程f(x)0在［0，1］内有且只有一个根x1，则f(x)0在区间0,2013内根的个数为( ）

2A．2011 B．1006 C．2013 D．1007

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【答案】C

【解析】由f(x1)f(x1),可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2，由f(x)f(x2)可知函数f(x)关于直线x1对称，因为函数f(x)0在［0，1］内有且只有一个根x1,所以函数f(x)0在区间0,2013内根的个数为

22013个，选C．

5．若fxxaxax4的图像是中心对称图形，则a（ ) A．4 B．4 C．2 D．2

33【答案】B

43a44aa44aa4)(x)(xx)，g(x)xx【解析】f(xa因为为偶222222a4函数，所以当且仅当3a240，即a4时，f(x)为奇函数，图像关32于原点对称．故选B．

6．若函数fxxR是奇函数，函数gxxR是偶函数，则一定成立的是( ）

A．函数fgx是奇函数 B．函数gfx是奇函数 C．函数ffx是奇函数 D．函数ggx是奇函数 【答案】C

7．已

知a0且a1，函数f(x)(a1)x3a4,(x0)xa,(x0)满足对任意实数x1x2，都有

f(x2)f(x1)0成立，则a的取值范围是 x2x1( ）

学必求其心得，业必贵于专精

（A）0,1 （B）1, （ C） 【答案】C

【解析】由已知，得函数yf(x)在R

5解得a的取值范围是1,．

351, 35

（ D),2

3



a10上单调递增，故满足，a13a418。下列函数是偶函数，且在0,1上单调递增的是（ )

A．ysinx B．y12cos222x C．yx

2D．ysinx 【答案】D

【解析】对于函数ysin此函数为偶函数，且在区间0,1上xcosx，

2单调递减，A选项错误；对于函数y12cos且当0x1时，04x4,故函数y

12cos22x在区间0,1上不单调，B

222xcos4x,此函数为偶函数,

选项错误；对于函数yx，该函数

2为偶函数,且函数yx在区间0,1上单调递减，C选项错误；对于函数ysinxsinxsinx，定义域为R，且sinx

sinxsinx，故该函数为偶函数，且当0x1时，ysinx，结合图象可

知，函数ysinx在区间0,1上单调递增,合乎题意，故选D． 9. 已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，x则f(x210，x20，若x1x2，

13)f(x1)0．如果f(),4f(log1x)3,那么x的取值范围为 34x2x18

（ ）

学必求其心得，业必贵于专精 （A)(0,1) (B）(1,2)

22111(,1](2,) （D）(0,)(,2) （C）

282【答案】B

10．

已知实数a0,b0，对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题： ①“f(x)是奇函数\"的充要条件是“函数f(xa)的图像关于点A(a,0)对称”；

②“f(x)是偶函数\"的充要条件是“函数f(xa)的图像关于直线xa对称\"；

③“2a是f(x)的一个周期\"的充要条件是“对任意的xR，都有

f(xa)f(x)”;

④ “函数yf(xa)与yf(bx)的图像关于y轴对称”的充要条件是“ab\"

其中正确命题的序号是

A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A

【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性,函数

学必求其心得，业必贵于专精

而f(x)的图f(x)是奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，

象关于原点对称与函数f(xa)的图象关于点A(a,0)对称是等价的，故①正确,同理②也是正确的，那么本题只能选A了，对于③,我们知道函数f(x)满足“对任意的xR，都有f(xa)f(x)”时,f(x)是周期为2a的周期函数,但反过来一一定成立，如f(x)满足“对任意的xR，都有

f(x)1f(xa)”时，③错误,而函数yf(xa)f(x)也是周期为2a的周期函数，

与函数yf(ax)的图象是关于直线xa对称，而还是y轴，故④错误． 11．已知偶函数fx在0,单调递减,f20,若fx10，则x的取值集合是__________． 【答案】（— 1 ， 3 ）．

【解析】因为偶函数fx满足f20,若fx10，则有

f(x1)f(2)f｜(x｜1)f(2)，又函数fx在0,单调递减，所以有

|x1|22x121x3．

12．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】定义在R上的奇函数fx,当x0时，fx2【答案】1

xx2，则f(0)f1＝ ．

113．设函数f(x)x12x0，若函数g(x)f(x)ax,x[2,2]为偶函数，则0x2实数a的值为 ． 【答案】1

2ax1【解析】g(x)2x0，0x2(1a)x1学必求其心得，业必贵于专精

ax1g(x)(1a)x12x0(1a)x10x2ax12x00x2

因为g(x)为偶函数，则g(x)g(x),则ax1(1a)x1对于x2,2恒成立，从而有a1a,得a1．

214．函数fx的定义域为A,若x,x12A且fx1fx2时总有x1x2,则称fx为单函数．例如，函数fxx1xR是单函数．下列命题: ①函数fxx②函数fx22xxR是单函数；

log2x,x2,2x,x2是单函数；

12③若fx为单函数，x,x数．

A且x1x2，则fx1fx2；

④函数fx在定义域内某个区间D上具有单调性，则fx一定是单函其中的真命题是 （写出所有真命题的编号)． 【答案】③

学必求其心得，业必贵于专精