爱民区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

爱民区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B．1 C． D．

xy02． 已知不等式组xy1表示的平面区域为D，若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则a的取值

x2y1范围为（ ）

A．(,2) B．(,1) C．(2,) D．(1,) 3． 已知数列｛an｝满足an8和m，则Mm（ ） A．

2n7nN（）.若数列｛an｝的最大项和最小项分别为M n21127259435 B． C． D． 2232324． “x2﹣4x＜0”的一个充分不必要条件为（ ） A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4 5． 已知点M（﹣6，5）在双曲线C：方程为（ ） A．y=±

x B．y=±

x C．y=±x

D．y=±x ﹣

=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线

6． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（ ）

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精选高中模拟试卷

A．4 C．6

B．5 D．7

7． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（ ）

A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152

8． 若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线： xy110和l2：xy10上移动，则AB中点M所在直线方程为（ ）

A．xy60 B．xy60 C．xy60 D．xy60 9． 已知an=

*

（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

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A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30

10．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ） A．a＜1＜b

B．a＜b＜1

C．1＜a＜b

D．b＜1＜a

11．在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)， 2S+16且m?n0，则n的最小值为（ ）

an+39A．4 B．3 C．23-2 D．

2【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在

考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．

12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（ ） A．S10 B．S9

C．S8

D．S7

二、填空题

13．函数f（x）=x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为 ．

114．已知两个单位向量a,b满足：ab，向量2ab与的夹角为，则cos . 215．在（2x+

6

）的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．

16．已知函数f（x）=x2+17．已知椭圆且θ∈[

，

+

x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．

=1F为其左焦点，（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，

]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．

2218．若实数a,b,c,d满足ba24lna2cd20，则acbd的最小值为 ▲ ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=

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，求不等式f（x）＜4的解集．

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20．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a，b的值；

（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．

21．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试． （Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率； （Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．

22．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

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23．本小题满分10分选修41：几何证明选讲

如图，ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，

PAPE，ABC45，PD1，DB8．

Ⅰ求ABP的面积； Ⅱ求弦AC的长．

24．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．

（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．

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AOPEDBC

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爱民区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．

2． 【答案】A

【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D如图所示，先求zaxy的最小值，当a时，a=2

，

，

1211111（,），zaxy在点A取得最小值a；当a时，a，zaxy在点B取（1,0）22233111a得最小值a．若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则有zaxy的最小值小于1，∴2或

33a11a2，∴a2，选A． 1a1133y11B(,)33OA(1,0)x 3． 【答案】D 【解析】

试题分析：数列an82n72n52n52n7a8aa，， n1n1nnn1n1n2222第 6 页，共 16 页

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2n522n72n9，当1n4时，an1an,即a5a4a3a2a1；当n5时,an1an,n1n12225911a1,最小即a5a6a7....因此数列an先增后减,n5,a5为最大项，n,an8，

3221111259435项为，mM的值为．故选D.

223232考点：数列的函数特性.

4． 【答案】B

2

【解析】解：不等式x﹣4x＜0整理，得x（x﹣4）＜0 ∴不等式的解集为A={x|0＜x＜4}，

2

因此，不等式x﹣4x＜0成立的一个充分不必要条件，

对应的x范围应该是集合A的真子集．

写出一个使不等式x﹣4x＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x＜2，

2

故选：B．

5． 【答案】A

【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：∴

，①

﹣

=1（a＞0，b＞0）上，

又∵双曲线C的焦距为12， ∴12=2

22

，即a+b=36，②

22

联立①、②，可得a=16，b=20，

∴渐近线方程为：y=±故选：A．

x=±x，

【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．

6． 【答案】

【解析】解析：选B.程序运行次序为 第一次t＝5，i＝2； 第二次t＝16，i＝3； 第三次t＝8，i＝4；

第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5.

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7． 【答案】C

x

【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）， 4

结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）=6.144．

故选：C．

8． 【答案】D 【解析】

考

点：直线方程 9． 【答案】C 【解析】解：an=

图象如图， ∵9＜

＜10．

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C．

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象， 是基础题．

10．【答案】A

【解析】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x， 由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，

作出计算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：

∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b， 由图象知a＜1＜b， 故选：A．

∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，

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【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．

11．【答案】A 【

解

析

】

12．【答案】C

【解析】解：∵S16＜0，S17＞0， ∴

=8（a8+a9）＜0，

=17a9＞0，

∴a8＜0，a9＞0， ∴公差d＞0． ∴Sn中最小的是S8． 故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 （﹣3，﹣2）∪（﹣1，0） ．

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2xx2x x

【解析】解：函数f（x）=xe的导数为y′=2xe+xe=xe （x+2）， 令y′=0，则x=0或﹣2，

﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增， ∴0或﹣2是函数的极值点，

2x

∵函数f（x）=xe在区间（a，a+1）上存在极值点，

∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1， ∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．

故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．

14．【答案】【解析】

27． 7考点：向量的夹角．

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）

求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式abx1x2y1y2；

三是利用数量积的几何意义．

（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 15．【答案】 240

【解析】解：由（2x+

6

），得

=

由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于故答案为：240．

．

．

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16．【答案】 9+4

．

2

【解析】解：∵函数f（x）=x+

x﹣b+只有一个零点，

∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1， ∵a，b为正实数，

∴+=（+）（a+4b）=9+≥9+2当且仅当

==9+4

b时取等号，

+

，即a=

∴+的最小值为：9+4故答案为：9+4

【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．

17．【答案】 [

，

﹣1] ．

）；

【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤F（﹣c，0）； ∵AF⊥BF， ∴

=0，

， =2c，

=

，

即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，

22222

故c﹣acosα﹣bsinα=0，

cos2α=故cosα=而|AF|=|AB|=而sinθ==

=2﹣，

，

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∵θ∈[，]， ]，

≤

，

∴sinθ∈[，∴≤∴≤+

≤，

∴，

即，

解得，≤e≤﹣1； ，

﹣1]．

故答案为：[

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．

18．【答案】5 【解析】

考

点：利用导数求最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：函数f（x）=

当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0； 当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1． 综上x∈（﹣3，0）．

不等式的解集为：（﹣3，0）．

20．【答案】

32

【解析】解：（1）∵f（x）=x+3ax+bx， 2

∴f'（x）=3x+6ax+b，

，不等式f（x）＜4，

又∵f（x）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0， 解得：a=，b=1 经检验，合题意．

2

（2）由（1）得f'（x）=3x+4x+1，

令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1， 又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．

21．【答案】

44

【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C7=35种情况；若4人全是男生，共有C8=70种情况；

，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，

故全为女生的概率为=．…

4

（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C15，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4… P（X=0）=

=

；P（X=1）=

=

；P（X=2）=

=

；

P（X=3）==；P（X=4）==．…

故X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×

+1×

+2×

3 +3×

4 +4×

=

．…

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【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．

22．【答案】

+2x，

【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

的图象可得，

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【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

23．【答案】

【解析】ⅠPA是⊙O的切线，切点为A ∴PAEABC45 又∵PAPE ∴PEA45，APE90

2由于PD1，DB8，所以由切割线定理可知PAPDPB9，既EPPA3

127BPPA． 22Ⅱ在RtAPEAPE中，由勾股定理得AE32

故ABP的面积为

由于EDEPPD2，EBDBDE6，所以由相交弦定理得

ECEAEBED 12 所以EC24．【答案】

1232

22，故AC52 ．

【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立， 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立， 则

解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立， 即令﹣﹣﹣﹣

当 m＞0时，g（x）是增函数， 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0， 解得

．所以

恒成立．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m＜0时，g（x）是减函数． 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0， 解得m＜6． 所以m＜0． 综上所述，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 题的关键．

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问

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