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爱民区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

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精选高中模拟试卷

爱民区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( )

A. B.1 C. D.

xy02. 已知不等式组xy1表示的平面区域为D,若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01,则a的取值

x2y1范围为( )

A.(,2) B.(,1) C.(2,) D.(1,) 3. 已知数列{an}满足an8和m,则Mm( ) A.

2n7nN().若数列{an}的最大项和最小项分别为M n21127259435 B. C. D. 2232324. “x2﹣4x<0”的一个充分不必要条件为( ) A.0<x<4 B.0<x<2 C.x>0 D.x<4 5. 已知点M(﹣6,5)在双曲线C:方程为( ) A.y=±

x B.y=±

x C.y=±x

D.y=±x ﹣

=1(a>0,b>0)上,双曲线C的焦距为12,则它的渐近线

6. 执行如图所示的程序框图,如果输入的t=10,则输出的i=( )

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A.4 C.6

B.5 D.7

7. 某人以15万元买了一辆汽车,此汽车将以每年20%的速度折旧,如图是描述汽车价值变化的算法流程图,则当n=4吋,最后输出的S的值为( )

A.9.6 B.7.68 C.6.144 D.4.9152

8. 若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线: xy110和l2:xy10上移动,则AB中点M所在直线方程为( )

A.xy60 B.xy60 C.xy60 D.xy60 9. 已知an=

*

(n∈N),则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是( )

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A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30

10.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x﹣2的零点为a,函数g(x)=lnx+x﹣2的零点为b,则下列不等式中成立的是( ) A.a<1<b

B.a<b<1

C.1<a<b

D.b<1<a

11.在等差数列{an}中,a1=1,公差d0,Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3),n=(a13,-a3), 2S+16且m?n0,则n的最小值为( )

an+39A.4 B.3 C.23-2 D.

2【命题意图】本题考查等差数列的性质,等差数列的前n项和,向量的数量积,基本不等式等基础知识,意在

考查学生的学生运算能力,观察分析,解决问题的能力.

12.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知在Sn中有S17<0,S18>0,那么Sn中最小的是( ) A.S10 B.S9

C.S8

D.S7

二、填空题

13.函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围为 .

114.已知两个单位向量a,b满足:ab,向量2ab与的夹角为,则cos . 215.在(2x+

6

)的二项式中,常数项等于 (结果用数值表示).

16.已知函数f(x)=x2+17.已知椭圆且θ∈[

+

x﹣b+(a,b为正实数)只有一个零点,则+的最小值为 .

=1F为其左焦点,(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,若AF⊥BF,设∠ABF=θ,

],则该椭圆离心率e的取值范围为 .

2218.若实数a,b,c,d满足ba24lna2cd20,则acbd的最小值为 ▲ .

三、解答题

19.已知函数f(x)=

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,求不等式f(x)<4的解集.

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20.已知f(x)=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0. (1)求常数 a,b的值;

(2)求f(x)在[﹣2,﹣]的最值.

21.从某中学高三某个班级第一组的7名女生,8名男生中,随机一次挑选出4名去参加体育达标测试. (Ⅰ)若选出的4名同学是同一性别,求全为女生的概率; (Ⅱ)若设选出男生的人数为X,求X的分布列和EX.

22.已知:函数f(x)=log2

,g(x)=2ax+1﹣a,又h(x)=f(x)+g(x).

(1)当a=1时,求证:h(x)在x∈(1,+∞)上单调递增,并证明函数h(x)有两个零点; (2)若关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根,求a的取值范围.

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23.本小题满分10分选修41:几何证明选讲

如图,ABC是⊙O的内接三角形,PA是⊙O的切线,切点为A,PB交AC于点E,交⊙O于点D,

PAPE,ABC45,PD1,DB8.

Ⅰ求ABP的面积; Ⅱ求弦AC的长.

24.设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1.

(1)若对一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围; (2)对于x∈[1,3],f(x)<﹣m+5恒成立,求m的取值范围.

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AOPEDBC

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爱民区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参) 一、选择题

1. 【答案】D

【解析】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边O'B'=2, ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D.

2. 【答案】A

【解析】解析:本题考查线性规划中最值的求法.平面区域D如图所示,先求zaxy的最小值,当a时,a=2

1211111(,),zaxy在点A取得最小值a;当a时,a,zaxy在点B取(1,0)22233111a得最小值a.若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01,则有zaxy的最小值小于1,∴2或

33a11a2,∴a2,选A. 1a1133y11B(,)33OA(1,0)x 3. 【答案】D 【解析】

试题分析:数列an82n72n52n52n7a8aa,, n1n1nnn1n1n2222第 6 页,共 16 页

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2n522n72n9,当1n4时,an1an,即a5a4a3a2a1;当n5时,an1an,n1n12225911a1,最小即a5a6a7....因此数列an先增后减,n5,a5为最大项,n,an8,

3221111259435项为,mM的值为.故选D.

223232考点:数列的函数特性.

4. 【答案】B

2

【解析】解:不等式x﹣4x<0整理,得x(x﹣4)<0 ∴不等式的解集为A={x|0<x<4},

2

因此,不等式x﹣4x<0成立的一个充分不必要条件,

对应的x范围应该是集合A的真子集.

写出一个使不等式x﹣4x<0成立的充分不必要条件可以是:0<x<2,

2

故选:B.

5. 【答案】A

【解析】解:∵点M(﹣6,5)在双曲线C:∴

,①

=1(a>0,b>0)上,

又∵双曲线C的焦距为12, ∴12=2

22

,即a+b=36,②

22

联立①、②,可得a=16,b=20,

∴渐近线方程为:y=±故选:A.

x=±x,

【点评】本题考查求双曲线的渐近线,注意解题方法的积累,属于基础题.

6. 【答案】

【解析】解析:选B.程序运行次序为 第一次t=5,i=2; 第二次t=16,i=3; 第三次t=8,i=4;

第四次t=4,i=5,故输出的i=5.

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7. 【答案】C

x

【解析】解:由题意可知,设汽车x年后的价值为S,则S=15(1﹣20%), 4

结合程序框图易得当n=4时,S=15(1﹣20%)=6.144.

故选:C.

8. 【答案】D 【解析】

点:直线方程 9. 【答案】C 【解析】解:an=

图象如图, ∵9<

<10.

=1+

,该函数在(0,

)和(

,+∞)上都是递减的,

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10,a9. 故选:C.

【点评】本题考查了数列的函数特性,考查了数形结合的解题思想,解答的关键是根据数列通项公式画出图象, 是基础题.

10.【答案】A

【解析】解:由f(x)=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x, 由g(x)=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x,

作出计算y=ex,y=lnx,y=2﹣x的图象如图:

∵函数f(x)=ex+x﹣2的零点为a,函数g(x)=lnx+x﹣2的零点为b, 由图象知a<1<b, 故选:A.

∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a,y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b,

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【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用函数转化为两个图象的交点问题,结合数形结合是解决本题的关键.

11.【答案】A 【

12.【答案】C

【解析】解:∵S16<0,S17>0, ∴

=8(a8+a9)<0,

=17a9>0,

∴a8<0,a9>0, ∴公差d>0. ∴Sn中最小的是S8. 故选:C.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

二、填空题

13.【答案】 (﹣3,﹣2)∪(﹣1,0) .

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2xx2x x

【解析】解:函数f(x)=xe的导数为y′=2xe+xe=xe (x+2), 令y′=0,则x=0或﹣2,

﹣2<x<0上单调递减,(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上单调递增, ∴0或﹣2是函数的极值点,

2x

∵函数f(x)=xe在区间(a,a+1)上存在极值点,

∴a<﹣2<a+1或a<0<a+1, ∴﹣3<a<﹣2或﹣1<a<0.

故答案为:(﹣3,﹣2)∪(﹣1,0).

14.【答案】【解析】

27. 7考点:向量的夹角.

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)

求平面向量的数量积有三种方法:一是定义ababcos;二是坐标运算公式abx1x2y1y2;

三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 15.【答案】 240

【解析】解:由(2x+

6

),得

=

由6﹣3r=0,得r=2. ∴常数项等于故答案为:240.

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16.【答案】 9+4

2

【解析】解:∵函数f(x)=x+

x﹣b+只有一个零点,

∴△=a﹣4(﹣b+)=0,∴a+4b=1, ∵a,b为正实数,

∴+=(+)(a+4b)=9+≥9+2当且仅当

==9+4

b时取等号,

+

,即a=

∴+的最小值为:9+4故答案为:9+4

【点评】本题考查基本不等式,得出a+4b=1是解决问题的关键,属基础题.

17.【答案】 [

﹣1] .

);

【解析】解:设点A(acosα,bsinα),则B(﹣acosα,﹣bsinα)(0≤α≤F(﹣c,0); ∵AF⊥BF, ∴

=0,

, =2c,

=

即(﹣c﹣acosα,﹣bsinα)(﹣c+acosα,bsinα)=0,

22222

故c﹣acosα﹣bsinα=0,

cos2α=故cosα=而|AF|=|AB|=而sinθ==

=2﹣,

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∵θ∈[,], ],

∴sinθ∈[,∴≤∴≤+

≤,

∴,

即,

解得,≤e≤﹣1; ,

﹣1].

故答案为:[

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用,同时考查了三角函数的应用.

18.【答案】5 【解析】

点:利用导数求最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用f′(x)>0或f′(x)<0求单调区间;第二步:解f′(x)=0得两个根x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极值同端点值的大小.

三、解答题

19.【答案】

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【解析】解:函数f(x)=

当x≥﹣1时,2x+4<4,解得﹣1≤x<0; 当x<﹣1时,﹣x+1<4解得﹣3<x<﹣1. 综上x∈(﹣3,0).

不等式的解集为:(﹣3,0).

20.【答案】

32

【解析】解:(1)∵f(x)=x+3ax+bx, 2

∴f'(x)=3x+6ax+b,

,不等式f(x)<4,

又∵f(x)在x=﹣1时有极值0, ∴f'(﹣1)=0且f(﹣1)=0, 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0, 解得:a=,b=1 经检验,合题意.

2

(2)由(1)得f'(x)=3x+4x+1,

令f'(x)=0得x=﹣或x=﹣1, 又∵f(﹣2)=﹣2,f(﹣)=﹣∴f(x)max=0,f(x)min=﹣2.

21.【答案】

44

【解析】解:(Ⅰ)若4人全是女生,共有C7=35种情况;若4人全是男生,共有C8=70种情况;

,f(﹣1)=0,f(﹣)=﹣,

故全为女生的概率为=.…

4

(Ⅱ)共15人,任意选出4名同学的方法总数是C15,选出男生的人数为X=0,1,2,3,4… P(X=0)=

=

;P(X=1)=

=

;P(X=2)=

=

P(X=3)==;P(X=4)==.…

故X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×

+1×

+2×

3 +3×

4 +4×

=

.…

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【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式,正确理解题意是解决问题的基础.

22.【答案】

+2x,

【解析】解:(1)证明:h(x)=f(x)+g(x)=log2=log2(1﹣∵y=1﹣

)+2x;

在(1,+∞)上是增函数,

故y=log2(1﹣

)在(1,+∞)上是增函数;

又∵y=2x在(1,+∞)上是增函数; ∴h(x)在x∈(1,+∞)上单调递增; 而h(1.1)=﹣log221+2.2<0, h(2)=﹣log23+4>0;

同理可证,h(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增;

故h(x)在(1,+∞)上有且仅有一个零点,

同理可证h(x)在(﹣∞,﹣1)上有且仅有一个零点, 故函数h(x)有两个零点;

(2)由题意,关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=结合函数a=

<a<0;

即﹣1<a<0.

=2ax+1﹣a在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)上有两个不相等实数根;

的图象可得,

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【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断,属于中档题.

23.【答案】

【解析】ⅠPA是⊙O的切线,切点为A ∴PAEABC45 又∵PAPE ∴PEA45,APE90

2由于PD1,DB8,所以由切割线定理可知PAPDPB9,既EPPA3

127BPPA. 22Ⅱ在RtAPEAPE中,由勾股定理得AE32

故ABP的面积为

由于EDEPPD2,EBDBDE6,所以由相交弦定理得

ECEAEBED 12 所以EC24.【答案】

1232

22,故AC52 .

【解析】解:(1)当m=0时,f(x)=﹣1<0恒成立, 当m≠0时,若f(x)<0恒成立, 则

解得﹣4<m<0

综上所述m的取值范围为(﹣4,0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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(2)要x∈[1,3],f(x)<﹣m+5恒成立, 即令﹣﹣﹣﹣

当 m>0时,g(x)是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m﹣6<0, 解得

.所以

恒成立.

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时,﹣6<0恒成立. 当m<0时,g(x)是减函数. 所以g(x)max=g(1)=m﹣6<0, 解得m<6. 所以m<0. 综上所述,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 题的关键.

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问

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