高等数学中常见的变量替换

目 录

时间：2021.03.04

创作：欧阳地 引

言………………………………………………………………一

极

限

(运

算

中

变

1量

替

换

的

) 应

用………………………………………(1) (

一

)

对

于

00(或

)型极

限………………………………………………(2) (

二

)

对

于

∞

－

∞

型

极

限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限

nlimyx的四

)

求

法求

…数

(列

3的

) 极

(

限………………………………………………………(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换…………………………………(6) (

一

)

三

角

函

数

代

换……………………………………………………(6) (

二

)

倒

数

代

欧阳地创编

欧阳地创编

换…………………………………………………………(7) (

三

)

指

数

代

换…………………………………………………………(8) (四) 不定积分f(y)dx的计算，其中y是由方程F(x,y)0所

确

定

的

x的函

数………………………………………………………………

…

…

…

(

8

)

三 定积分运算中常用的变量替换…………………………………(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法

…

…

…

…

…

(

9

)

(二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算

…

…

…

…

…

(

1

0

)

(三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。……………………………………………(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换…………………………(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧……………………………(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应

欧阳地创编

欧阳地创编

用……………………(14)

(二) 求解齐次方程 中变量替换的应用………………………………(15) (三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用…………………………(15) 五

重

积

分

中

变

量

替

换

的

应

用……………………………………………(16) (一) 二重积分计算中的变量替换……………………………………(16) (

二

)

利

用

直

角

坐

标

系

计

算……………………………………………(18) (

三

)

利

用

柱

面

坐

标

系

计

算……………………………………………(19) (

四

)

利

用

球

面

坐

标

系

计

算……………………………………………(19) 结

束

语………………………………………………………………参

…

(考

1

9

) 文

献……………………………………………………………(

2

0

)

欧阳地创编

欧阳地创编

高等数学中常见的变量替换

鲁友栋

（数学系 辽宁 中国）

摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“

0”型，“”型，数0列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。

关键词 变量替换 积分 极限

引言

在各种各样的数算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数

欧阳地创编

欧阳地创编

学方法和解题技巧的重要性。

一极限运算中变量替换的应用

(一) 对于（或）型极限

若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令t例1，求下列极限：

ex（1）limx0x10012001,(k1,2,...) kx12arctanexx （2）lim 1x01xt2edt0x1解：（1）直接用洛必达法则，得

12231exxlim原式lim x0100x9950x0x1021ex2此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！

考虑变量替换u1，得 x2u5050u4950!lim...lim0； 原式ulimeuuueueu（2）解：令u，得 原式ulim21xarctanueuuetdt022u21u22ueu222ueulim1ulim uuut2t2u2u2edtueedtue00lim2eu4u2eueu2xeu22ue2u2lim2(12u2)eu2(1u)e2u22u2.

(二) 对于∞－∞型极限

此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必

欧阳地创编

欧阳地创编

达法则求解，或用“抓大头”求解。（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于＋∞最快的项）。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。[1]

例1，求lim[xx2ln(1)]

x解：令u得

1uuln(1u)1ln(1u)]limlim22u0u0uu11u1 2u1x1x[原式limu0limu11lim. u02u(1u)u02(1u)2(6x6x56x6x5) 例2：求xlim解：令u得 原

61x式

limu05511u61u1116lim(1u)(1u)6. x06u6663(三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xlim的求法。

xx(t)解题方法：①将隐函数F(x,y)0化为参数式

yy(t)yx②将lim化为limttx

0y

xy(t)的形式，t0可由观察法得出。[2] x(t)例：设有方程x3y33axy0(a0)，求(1) 曲线的渐近线方程

(2)求出与渐近线平行的切线。

欧阳地创编

欧阳地创编

3atx333321t解：令ytx，则xxt3axt，进而2 3aty1t3y3at21t3limlimt1 (1) Alimxxt11t33att13at23at3at(t1)Blimf(x)Axlim()lima 32xt11t3t11t(1t)(tt1)故斜渐近线为：yAxBxa，即xya0

x2ay(2) 方程xy3axy0的斜率为：y 2axy33而渐近线的斜率：y1，因为切线与渐近线平行，所以

x2ay它们斜率相等，即1，即(yx)(yx)a(xy)，解得

axy2yx或yxa，将yxa代入方程得a0(矛盾)，所以yx。

将其代入x3y33axy0，得切点(0,0),(a,a). 故所求的切线方程：y0(1)(x0)，即xy0. 或者ya(1)(xa)，即xy3a0. (四) 求数列的极限

解题方法：①先作出与数列同类形的连续变量x的函数;

②再求该函数当x时的极限，该极限即

为数列的极限。

例1求下列数列的极限：

32323232欧阳地创编

欧阳地创编

(1(1)limnnb1n)，其中a0,b0; (2)limn(na1)，a0.

na解：(1)显然b1时，原极限为1

(1当b1时，先求xlimb1x)。 a1x由

1b11xblnb()2b11bx11axlimx()limlimlim, 112xxxxaaaxxx1x1x1于

b1x(1)e则xlima1x1xlnbab1n)ba. b，故lim(1na1an1x(a1). (2)先求xlim1xxlimx(a1)lim1xa1lim1xxxalna(x21x1)x2lna.

limn(na1)lna. 故n例2：设数列xn由下式给出：

x112,xn1xnxn,(n1,2,). 2111). x11x21xn1(试求limn解：易知xn为正项数列，所以由

2xn1xnxnxn(xn1)xn

知xn递增，于是xnx10且0，从而知1211递减，有下界xnxn1有极限.从xn1xn(xn1)知 xn欧阳地创编

欧阳地创编

2xnxnxxn111① n1xn1xn1xnxn1xnxn1xnxn1于是,有Sn(111 x11x21xn1111111)()() x1x2x2x3xnxn11112② x1xn1xn1设limn1A，由①式变形为xn1xn11xn11，两边取xnxn1n时的极限有

AAA0A0 1A1xn1)2

Snlim(2所以由②式得limnny21y5，任选f(yx)，F(1,y)例3：设F(x,y)22xx00，作

x1F(x0,2x0)x2F(x1,2x1)x3F(x2,2x2),……,xn1F(xn,2xn)，

……,

证明：limxn存在并求值。

ny21解：F(1,y)y5f(y1)，令y1u，则

22f(u)u29

所以F(x,y)1(yx)29. 2x故x1F(x0,2x0)(x0129), x0欧阳地创编

欧阳地创编

x2F(x1,2x1)19(x1), 2x1……

xn1F(xn,2xn)19(xn), 2xn……

由题设条件，显见nN,xn0且xn1(xn又

129)93 xnxn11919(12)(1)1，所以数列xn单调减少有下xn229xnn界，因而该数列必收敛，记limxnA，在(1)式中令n，得

A19(A)，解得A3，取其正值便得limxn3.

n2A二 不定积分运算中常用的变量替换

(一) 三角函数代换

在被积函数中含有a2x2,a2x2,x2a2分别作变量代换：xasint,xatant,xasect，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变量还原。

(1) I1xax22dx (2)Ia2x2x2a2dx (3)Idx 4xx解：(1)令xatant;则

I1a1dt1dtcsctdt 2atantasectcostasinta11lncsctcottclnaax2a2ac xx(2) 令xasint，则

欧阳地创编

欧阳地创编

Iacost11132acostdtcottd(cott)cottc4422asintaa31ax3()c2x3a22

(3) 令xasect则

Iatantasecttantdtatan2tdta(sec2t1)dtatantatcasectax2a2aarccoscx

(二) 倒数代换

一般令x.适用于pq1的情形，其中p,q分别为被积函数的分母和分子关于x的最高次数。

例：(1) Idxx4x21t; (2)Idx;

x4(1x2)x22x3(3)I.

(x2)100解：(1)令x，得

It41t2(1dt1d(2t))dt(2t)212(2t)21 t21t112ln2t(2t)21cln22x41c. 2x(2)令x，得

1t41I(2)dt2dt(t21)dt 21tt11t12tt41t1111(t3tarctant)c3arctanc.

3xx3x欧阳地创编

欧阳地创编

(3)令x2，得

111It100[(2)22(2)3](2)dt(2t97t963t98)dt

ttt1tt98t97t99111cc. 99979849973333(x2)97(x2)49(x2)(三) 指数代换

当被积函数是由ax所构成的代数式的积分时，一般采用指数代换即令tax来求解。

例：求下列积分

3xdx(1)Ixx1 (2)I9341eexx2dx

解：(1)令3xt，则xlnt有， ln33xdxt1dt1111Ix2()dt x2ln35t4t1(3)3(3)4t3t4ln3t511[ln|t4|ln|t1|]c5[ln|3x4|ln|3x1|]c; ln3ln3x2(2)令et，则x2lnt，有

I12111dt2()dt 22t1tttttxx12[lntln(1t)]c2e2x2ln(1e2)c.

t(四) 不定积分f(y)dx的计算，其中y是由方程F(x,y)=0所确定的x的函数。

解题方法：

①将方程F(x,y)0，代为参数方程x(t)

y(t)欧阳地创编

欧阳地创编

②将参数方程代入If(y)dx，即

If(y)dxf((t))(t)dt.

③变量还原将积分结果化为x,y的关系式. 例：求下列积分 (1)设y(xy)2x，求dxy3.

1dx，(2)设y3(xy)x3，求x3y解(1)令xyt，则yxt代入y(xy)2x，得

t2(t23)t3tx2,y2,dx2dt 2t1t1(t1)11t2(t23)tdx32dt于是：t21dt x3yt3t(t1)222t1t111ln|t21|cln|(xy)21|c; 22(2)令ytx，代入方程中，得t3x3(xtx)x3,则有

x114t3,y,dxdt. t3(1t)t2(1t)t4(1t)2dxt6(1t)3(4t3)于是3dt(3t27t34t4)dt 42yt(1t)7445y37y44y5(ttt)c(345)c.

45x4x5x3三 定积分运算中常用的变量替换

(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法，

欧阳地创编

欧阳地创编

解题方法：

①作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式

f(u)，其中u为中间变量，此时积分变为变上限(下限)积分；

②利用变上限(下限)积分的微分法求解。 例1：设f(x)为(-∞，+∞)上的连续函数，且

g(x)f(xt)costdt,求g'(x).

ab解：令uxt则

g(x)cosxbxaxbxf(u)cos(ux)duf(u)cosudusinxbxaxf(u)(cosucosxsinusinx)du

bxaxaxf(u)sinudu,

而

g'(x)sinxaxf(u)cosuducosx[f(bx)cos(bx)f(ax)cos(ax)]bx

cosxaxf(u)sinudusinx[f(bx)sin(bx)f(ax)sin(ax)]bx

axf(u)(sinucosxcosusinx)duf(bx)cosbf(ax)cosaaxf(u)sin(ux)duf(bx)cosbf(ax)cosaaf(xt)sintdtf(bx)cosbf(ax)cosabbxbx

例2：求下列函数的导数 (1)F(x)ex0f(tex)dt，求F'(x)，(2)F(x)0xf(xt)dt，求F'(x)，

解：(1)令f(x)0f(tex)dt，令utex有

122212sinx欧阳地创编

欧阳地创编

f(x)0F(x)eex2f(u)1ex2du，则

ex2x210f(te2x2)dt0f(u)du.

ex2222dF(x)(f(u)du)x'f(ex)ex(2x)2xexf(ex). 于是0dx(2)F(x)0xf(xt)dtx0sinxsinxf(xt)dt,令uxt，则

x0sinxf(xt)dtxxxsinxf(u)(du)xsinxf(u)du,则

F(x)xxsinxf(u)du

于是

F'(x)(xxsinxf(u)du)'xxsinxf(u)dux[f(x)f(xsinx)(1cosx)]

xf(x)x(1cosx)f(xsinx)xsinxf(u)du.

xxx(二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算 解题方法：

①作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式

f(u)，其中u为中间变量

②然后再积分或作判断 例1：设f(x)连续，证明

0lnf(xt)dt0ln证明：

'xf(1t)'dt0lnf(t)dt f(t)lnf(xt)dt0'令xtux1xlnf(u)dulnf(u)dulnf(u)dux00'x11f(u)du

0lnf(t)dt0lnf(t)dt1lnf(t1)dt①

x'x1欧阳地创编

欧阳地创编

x11xxtu1lnf(t)dtlnf(u1)dulnf(t1)dt, ②

00将②式代入①式，得

lnf(xt)dtlnf(t)dtlnf(t)dtlnf(t1)dt

0000'x'x0lnxf(t1)'dt0lnf(t)dt f(t)即证。

x2e,x0例2：设f(x)求f(x1)dx. 021x,x0解：0f(x1)dxux11f(u)du1f(x)dx1(1x2)dx0exdx

211011413071x(xx)e(e11).

33e103(三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。

解题分法：若积分限为

①0,2时,则令x②[0,]时，则令ux

0,③时，则令④时，则令x[0,]ux 2244例1：求下列积分

1sin2xcosxsinxdx (2)I02dx (1)I041sinx1sinxcosx解：(1)令u4x则

欧阳地创编

欧阳地创编

1sin2(u)21cos2u2sinx4I4(du)4du4dx001cos2u02cos2x1sin2(u) 4201cosx4dx(tanxx)|104cos2x4(2) 令u2x，得

cos(u)sin(u)0sinucosucosxsinx22I(du)02du02dxI1sinucosu1sinxcosx21sin(u)cos(u)22故I0，即02cosxsinxdx0

1sinxcosx20nnn例2．证明：sinxcosxdx202sinnxdx，n为正整数。 证明：

02sinxcosxdx202sin2xdxnnnn令u2xdun222cosnu() 22tu012n2cosnudu2n02cosnudu22ncosn(t)(dt)2222

2nn02sintdt202sinxdx

nn(四) 定积分等式的证明中所作的变量替换。

解题方法：任何变量替换，主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为f(x)，另一端为f(u)，则令x(u)。若一端为f(x)，另一端为f(u)则所作的变换通过分析等式两端的

欧阳地创编

欧阳地创编

积分上、下限去确定。[1]

例1．证明0exttdte0edt 分析：0exttdte比较extt与e2x2x24xt24x2x2t2x40dtex2u2x40du

14x2u24，可知，应令xtt2(x2u2)，则

xuxu或t 22x4t24xt(x2u)0，进而tx证明：0exttdt0exx2t2442令txu2x24xxex(xuxu2)()22(du1)e22xxx2u24du

dte0edt.

t24例2．设f(x)连续，试证

24f(9x)4f(3x)dx2dx；

f(9x)f(3x)f(9x)f(3x)4并求2f(9x)dx的值。

f(9x)f(3x)4分析：2f(9x)4f(3u)dx2du

f(9x)f(3x)f(9u)f(3u)f(9x)f(3u),,可

f(9x)f(3x)f(9u)f(3u)比较两边的被积函数

知只要9x3u，即u6x命题即可得证。

证明：

24f(9x)f(3u)4f(3x)令u6x2dx(du)dx42f(9x)f(3x)f(3u)f(9u)f(3x)f(9x)利用上式可得

24f(9x)14f(9x)4f(3x)dx[2dx2dx]f(9x)f(3x)2f(9x)f(3x)f(9x)f(3x)欧阳地创编

欧阳地创编

1411dx21. 222四 解微分方程中变量替换的应用技巧

(一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用 解题方法：方程中出现f(xy),f(xy),f(x2y2),f()等形式的项时，通常要使用相应的变量替换：

yuxy,xy,x2y2,...等。[3]

xyx例1：求解下列微分方程

y1y21ytan (2)y'(1)y'2 2x2yxxysin(xy)x1x2y22) (3)xy'y[ln(xy)1]0 (4)yy'x(2x解：(1)令uxy,dudyyx，代入方程得 dxdxdu1，即usinududx,则ucosusinuxc dxusinu故原方程的通解为：sin(xy)xycos(xy)xc,

y22dydu(2)令u,yux,2yux，代入方程，得

xdxdxuxdudx，则lnsinulnxlnc, utanu，即cotududxx即sinucx

y2故原方程的通解：sincx,

xdudyyx，代入方程，得 dxdxduduududxyylnuy0，即lnu，亦即， dxdxxulnux(3)令uxy,欧阳地创编

欧阳地创编

进而lnlnulnxlnc,则lnucx，即uecx 故原方程的通解：xyecx,

dudyduu2x2y，代入原方程，得()2 dxdxdxxdudx1111~即22，解得c，即c.

uxuxux(4)令ux2y2,故原方程的通解：

11~c. x2y2x(二) 求解齐次方程y'()中变量替换的应用 解题方法：令u,yux,y'uxu'代入原方程，得

uu'x(u)，则dulnxc

(u)uyxyx例：求解下列微分方程

(1)(xy'y)arctanx； (2)xy'yx2y2. 解：(1)由原方程得y'yxyx1yarctgxyx

令u,yux,y'uxu'，代入方程，得

uxu'u1 arctanudxdx所以arctanudu，即arctanu，

xx1解得：uarctanuln(1u2)lnxlnc

2即cx1ue2uarctanu，因此xyce22~yyarctanxx

(2)y'得

yyy1()2，令u,yux,y'uxu'代入原方程，

xxx欧阳地创编

欧阳地创编

uxu'u1u2，所以

du1u2dx， x解得arcsinulnxc，即arcsinlnxc (三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 例：求解下列方程 (1)y'xtany， (2)(x2y21)y'2xy30 cosyxsiny,知cosyy'xsiny，即cosycosyyx解：(1)由y'(siny)'xsiny，

令sinyu，则原方程变为u'ux①

特征方程：10 即1，特解u*1x(1D)xx1 D1于是方程①的通解为：ucexx1， 故原方程的通解为sinycexx1

(2)令u(y)x2，于是u'(y)y'2x，原方程变为

u(y)y212x3y y'1y1② 3y即u(y)y21u'(y)y3，则u'(y)u(y)1y则方程②的齐次方程：u'(y)u(y)0.则

dudyc，解得lnulnylnc，即u. uyy欧阳地创编

欧阳地创编

令方程②的解为uc(y)，将其代入②，并整理得 yc'(y)111~3c'(y)2解得c(y)c yyyy~1~11c故方程②的通解为：u(c)2

yyyy~y1. 故原方程的通解为：x2y2c五 重积分中变量替换的应用

(一) 二重积分计算中的变量替换

设被积函数f(x,y)在区域D上连续，若变换

xx(u,v),yy(u,v)，满足如下条件

(1)将uov平面上的区域D*上的点一对一地变为D上的点；

(2)x(u,v),y(u,v)在D*上有连续的一阶编导数，且雅可比行列式

xx,(x,y)uvJ0 (u,v)yy,uv则f(x,y)dxdyf[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv

DD*同样，作什么变换主要取决于积分域D的形状，有时也兼顾被积函数f(x,y)的形状，基本想法是定限简便，求积容易。

例1：计算Ixydxdy，其中D是由曲线()4在

236Dxyxy欧阳地创编

欧阳地创编

第一象限中所围成的区域。[4]

解：()4x2y3xy是一个四次方程，要解出x(或y)相当6难。因此不宜在直角坐标系中计算。为此，令

x2cos2,y3sin2则曲线方程变为42sin2cos2，即

2sin2cos2，又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区

域，于是02

2因而sincos,令0，得0，2(x,y)2cosJ(,)3sin2

4cossin6sincos12sincos

故

I6sincos|J|dd2dDx0222sincos0126sin2cos22d615

例2：设f(t)为连续函数，证明：

Df(xy)dxdyaf(t)(a|t|)dt.

a其中D为矩形域，|x|,|y|(常数a0)如图(1)， 证明：令uxy,vxy，则

DDx:auva,auva如图(2)

a2a2J(x,y)11 (u,v)(u,v)2(x,y)y a DDxy

故：f(xy)dxdyf(u)dudv

a -a 0 -a x 0 12a 2a 2x

欧阳地创编

-a 2欧阳地创编

10au1aauf(u)dudvf(u)uauadv2a20

0aa(au)f(u)du0f(u)dua(a|u|)f(u)du0(a|u|)f(u)du af(t)(a|t|)dt.

a0a(二) 利用直角坐标系计算

例1，Iy1x2dxdydz，其中为

y1x2z2,x2z21,y1之间。解：如图

2y1xdxdydz121x21x211x2z2Dxzdxdz11xy22y1x2dyz x2+z2=1 11xdxdzydy

o 11xdx1121x21x2x2Z2dz 2x y y=1 21128 1(x4x2)dx33345(三) 利用柱面坐标系计算

例：I(xyz)dv,由x2y2Z2；0Zh所围成形

体

解：由于关于yoz坐标面，xoz坐标面均对称，故

xdvydv0,

于是IzdvdxdyDxyhx2y2zdz0d0dpzdz

2hhhh1120(h22)d0(h23)dh4

24(四) 利用球面坐标系计算 例：Izln(x2y2z21)222xyz1， ，其中为dv222xyz1欧阳地创编

欧阳地创编

解：Icosln(1r2)1r221r2sindrdd

0sincosd0r3ln(1r2)d0dr 21r因为0sincosd0, 所以I0.

结束语

以上我仅就五个领域，论述了由于运用变量替换而给解题带来的方便之处。虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题的相当部分，通过实践，我们可以清楚的看到在运算中由于运用了变量替换，不仅给解题带来了方便，更为我们提供了一种全新的思维方式。当然，变量替换应用的领域很广泛，不只有我以上提到的几种。譬如，利用残数定理计算实积分等领域中也用到了变量替换。因此，可以毫不夸张的说变量替换已经作为一种数学思想渗透在数学这门学科的每一个角落，它就如同一盏指航灯，为我们在数学海洋的遨游中指明了方向，使我们顺利到达成功的彼岸。因此，变量替换的作用不可忽视，变量替换应用的前景无可限量。它会为我们打开方便之门，成为数学知识宝库中一个瑰丽的奇葩，大放异彩！ 参考文献：

［1］华东师范大学数学系编 .数学分析上册。高等教育出版社，1991年。 ［2］华东师范大学数学系编 .数学分析下册。高等教育出版社，1991年。 ［3］王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程。高等教育出版社，1983

欧阳地创编

欧阳地创编

年。

［4］陈文灯，黄先开.数学题型集粹与模拟试题集.理工类2001版。世界图书出版公司，2000年。

Common in higher mathematics variable substitution

Lu Youdong

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) AbstractVariable substitution is resolving the significant measure of higher mathematics problem . Thoroughly comprehending the variable substitution may foster the capability that student utilized the different actual problem of agile handle of the information studyed . Hence being living in the higher mathematics , how to employ and masters the variable substitution is the key to resolve some issues ; The how agile application variable substitution is a problem that merit valueing . The original detailedly introduced by means of several examples \" the mould , \" the sequence of number awaits variable substitution in some kinds of calculations the maximum application and circular function replace , reciprocal replace with the mould , and the index number replace awaits the variable substitution indefinite integral calculation in the application , and emphasizees to introduce the application that the definite integral being living operates the variable substitution in the solution differential equation

KeywordsVariable substitution Integration The maximum 时间：2021.03.04

创作：欧阳地 欧阳地创编