三年高考(2016-2018)(文)真题分类：专题14-与数列相关的综合问题

考纲解读明方向

考点 1、数列求和 方法 能在具体问题情境中识别数列等差关选择题 2、数列综合应用 系或等比关系,抽象出数列模型,并能用有关知识解决相应问题

分析解读 1、会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列和、2、能综合利用等差、等比数列基本知识解决相关综合问题、3、数列递推关系、非等差、等比数列求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和、分值约为12分,难度中等、

2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知A、【答案】B

B、

成等比数列，且

C、

D、

．若

，则

掌握 解答题 ★★★ 内容解读 掌握非等差、等比数列求和几种常见掌握 解答题 ★★★ 要求 常考题型 预测热度

点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而参数取值范围，是一个有效方法、如

2、【2018年浙江卷】已知集合小到大依次排列构成一个数列________． 【答案】27

．记为数列

，

前n项和，则使得

．将所有元素从

成立n最小值为

【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列求和公式确定满足条件项数取值范围，再列不等式求满足条件项数最小值、

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列和、分组转化法求和常见类型主要有分段型（如

），符号型（如

），周期型（如

）、

3、【2018年浙江卷】已知等比数列{an}公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5等差中项．数列 {bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}前n项和为2n+n． （Ⅰ）求q值；

（Ⅱ）求数列{bn}通项公式． 【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

2

【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列性质及等比数列通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列

详解：（Ⅰ）由

前n项和求通项，解得

是

等差中项得

，再通过叠加法以及错位相减法求、

，所以

，

解得、由得，因为，所以、

（Ⅱ）设由（Ⅰ）可知

，数列，所以

前n项和为、由

，故

解得、

，

、设，

所以

，

又

，所以

、

，因此

点睛：用错位相减法求和应注意问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数情形；(2)在写出“”与““

”表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出

”表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于1和不等

于1两种情况求解、

4．【2018年天津卷文】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+„+Tn）=an+4bn，求正整数n值． 【答案】(Ⅰ)

，

；(Ⅱ)4、

*

*

【解析】分析：（I）由题意得到关于q方程，解方程可得

，则其前n项和据此可得

解得

，则、结合题意可

得等差数列首项和公差为、（II）由（I），知（舍），或

、则n值为4、

点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列通项公式及前n项和公式等基础知识、考查数列求和基本方法和运算求解能力、 5、【2018年江苏卷】设称

是排列

，对1，2，···，n一个排列

，如果当s，则

一个逆序，排列所有逆序总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3一个

为1，2，···，n所有

排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231逆序数为2．记排列中逆序数为k全部排列个数． （1）求（2）求

值；

表达式(用n表示)．

【答案】（1）2 52）n≥5时，

【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素集合中逆序数为2个数，再利用枚举法确定含四个元素集合中逆序数为2个数；（2）先寻求含n个元素集合中逆序数为2与含n+1个元素集合中逆序数为2个数之间关系，再根据叠加法求得结果、

点睛：探求数列通项公式方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见数列)等方法、寻求相邻项之间递推关系，是求数列通项公式一个有效方法、 6．【2018年江苏卷】设（1）设（2）若

并求取值范围（用

表示）．

是首项为，公差为d等差数列，，若

对，证明：存在

是首项为，公比为q等比数列．

均成立，求d取值范围； ，使得

对

均成立，

【答案】（1）d取值范围为．（2）d取值范围为，证明见解析。

【解析】分析：（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差

d取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等

式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d取值范围、 详解：解：（1）由条件知：即

因此，d取值范围为

．因为

对n=1，2，3，4均成立，

．

对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．

点睛：对于求不等式成立时参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数式子，另一端是一个区间上具体函数，通过对具体函数研究确定含参式子满足条件、二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件、

2017年高考全景展示 1、【2017课标3，文17】设数列an满足a13a2(2n1)an2n、 （1）求an通项公式； （2）求数列an 前n项和、 2n122n；（2）

2n12n1【答案】（1）an【解析】试题分析：（1）先由题意得n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，再作差得

anan2211，验证n1时也满足（2）由于，所以利用2n12n1(2n1)(2n1)2n12n1裂项相消法求和、

【考点】数列通项公式，裂项法求和

【名师点睛】裂项相消法是指将数列通项分成两个式子代数和形式，然后通过累加抵消中间若干项方法，裂项相消法适用于形如c (其中an是各项均不为零等差数列，c为常数)数列、 裂

anan11或

(n1)(n3)项相消法求和，常见有相邻两项裂项求和(如本例)，还有一类隔一项裂项求和，如

1、

n(n2)2、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数等比数列,且a1a26,a1a2a3、 (I)求数列{an}通项公式；

(II){bn}为各项非零等差数列,其前n项和Sn,已知S2n1bnbn1,求数列【答案】(I)an2n；(II) Tn5bn前n项和Tn、 an2n5 n2【解析】

试题分析：(I)列出关于a1,d方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和、

(II)由题意知S2n1(2n1)(b1b2n1)(2n1)bn1

2S2n1bnbn1,bn10,,

所以bn2n1, 令cn则cn因此

bn., an2n1 2nTnc1c2......cn3572n12n1, 23n1n22222又Tn123572n12n1n1, 2223252n2两式相减得Tn所以Tn51231112n12n1n1 222222n5、 2n【考点】等差数列通项,错位相减法求和、

【名师点睛】(1)等差数列运算问题一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就

能求另外两个,体现了方程思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”表达式；若等比数列公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

3、【2017天津，文18】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，{bn}是首项为2等比数列，且公比大于0，

b2b312,b3a42a1,S1111b4、

（Ⅰ）求{an}和{bn}通项公式；

（Ⅱ）求数列{a2nbn}前n项和(nN)、

【答案】（Ⅰ）an3n2、bn2n、（Ⅱ）Tn(3n4)2n216、 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等差数列an首项为a1，公差为d，等比数列公比为q，建立方程求解；（Ⅱ）先求a2n通项，再求a2nbn6n22，再根据错位相减法求和、

n*

（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}前n项和为Tn，由a2n6n2，有

Tn4210221623(6n2)2n，

2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1，

上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n1

12(12n)4(6n2)2n1(3n4)2n216、

12得Tn(3n4)2n216、

所以，数列{a2nbn}前n项和为(3n4)2n216、 【考点】1、等差，等比数列；2、错位相减法求和、

【名师点睛】重点说说数列求和一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，cnc，

anan1cnnn!n1!n!,cncn1n等形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以

等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和、

4、【2017北京，文15】已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求an通项公式；

（Ⅱ）求和：b1b3b5b2n1．

3n1【答案】（Ⅰ）an2n1；（Ⅱ）、

2【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等差数列和等比数列公差和公比分别为d和q，代入建立方程，求解；（Ⅱ）若bn是等比数列，那b2n1依然是等比数列，并且公比是q，根据等比数列求和、

2

【考点】1、等比，等差数列；2、等比数列前n项和、

【名师点睛】重点说说数列求和一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，cnc，

anan1cnnn!n1!n!,cncn1n等形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以

等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和、

5、【2017江苏，19】对于给定正整数k,若数列{an}满足ankank1an1an1ank1ank 、 2kan对任意正整数n(nk)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列” （1）证明：等差数列{an}是“P(3)数列”;

（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列、 【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）数列an既是“P2数列”，又是“P3数列”，因此， 当n3时，an2an1an1an24an，①

当n4时，an3an2an1an1an2an36an、② 由①知，an3an24an1(anan1)，③

an2an34an1(an1an)，④

将③④代入②，得an1an12an，其中n4， 所以a3,a4,a5,是等差数列，设其公差为d'、

在①中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d'， 在①中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a22d'， 所以数列

{an}是等差数列、

【考点】等差数列定义及通项公式 【名师点睛】证明{an}为等差数列方法： (1)用定义证明：an1and(d为常数）； (2)用等差中项证明：2an1anan2； (3)通项法： an为n一次函数； (4)前n项和法：SnAnBn

2016年高考全景展示 1、【2016高考浙江文数】如图，点列An,Bn分别在某锐角两边上，且

2AnAn1An1An2,AnAn2,nN*，BnBn1Bn1Bn2,BnBn2,nN*、(P≠Q表示点P与

Q不重合)若dnAnBn，Sn为△AnBnBn1面积，则（ ）

22A、Sn是等差数列 B、Sn是等差数列 C、dn是等差数列 D、dn是

等差数列

【答案】A 【解析】

试题分析：Sn表示点An到对面直线距离（设为hn）乘以BnBn1长度一半，即Sn1hnBnBn1，2由题目中条件可知BnBn1长度为定值，那么我们需要知道hn关系式，过A1作垂直得到初始距离h1，

那么A1,An和两个垂足构成了等腰梯形，那么hnh1AnAn1tan，其中为两条线夹角，即为

定值，那么Sn11(h1A1Antan)BnBn1，Sn1(h1A1An1tan)BnBn1，作差后：22Sn1Sn1(AnAn1tan)BnBn1，都为定值，所以Sn1Sn为定值．故选A． 2考点：新定义题、三角形面积公式、

【思路点睛】先求出nnn1高，再求出nnn1和n1n1n2面积Sn和Sn1，进而根据等差数列定义可得Sn1Sn为定值，即可得Sn是等差数列．

2、【2016高考上海文科】无穷数列an由k个不同数组成，Sn为an前n项和、若对任意nN，

Sn2,3，则k最大值为________、

【答案】4 【解析】

考点：数列求和、

【名师点睛】从研究Sn与an关系入手，推断数列构成特点，解题时应特别注意“数列an由k个不同数组成”不同和“k最大值”、本题主要考查考生逻辑推理能力、基本运算求解能力等、 3、【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知an是公差为3等差数列,数列bn满足

1b1=1，b2=，anbn1bn1nbn,、

3（I）求an通项公式； （II）求bn前n项和、 【答案】（I）an3n1（II）【解析】

试题分析：（I）由已知条件求出首项为2,根据公差为3,即可确定等差数列通项公式；（II）先判断bn是等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求和公式求bn前n项和、 试题解析：（I）由已知,a1b2b2b1,b11,b231. n122311,得a1b2b2b1,b11,b2,得a12,所以数33列an是首项为2,公差为3等差数列,通项公式为an3n1、 （II）由（I）和anbn1bn1nbn ,得bn1bn1,因此bn是首项为1,公比为等比数列、记bn3311()n331. 前n项和为Sn,则Snn1122313考点：等差数列与等比数列

【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这

些方程可将等差、等比数列中运算问题转化解关于基本量方程（组）,因此可以说数列中绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效方法、

24、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数数列an满足a11， an(2an11)an2an10、

（I）求a2,a3；

（II）求an通项公式、 【答案】（Ⅰ）a2【解析】

试题分析：（Ⅰ）将a11代入递推公式求得a2，将a2值代入递推公式可求得a3；（Ⅱ）将已知递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{an}为等比数列，由此可求得数列{an}通项公式．

111,a3；（Ⅱ）ann1． 242

考点：1、数列递推公式；2、等比数列通项公式．

【方法总结】等比数列证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明

an1；（2）中项法，q（常数）

an2即证明an根据数列递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列1anan2．

来求解．

5、【2016高考山东文数】（本小题满分12分）

已知数列an前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1、 （I）求数列bn通项公式；

(an1)n1（II）令cn、求数列cn前n项和Tn、 n(bn2)【答案】（Ⅰ）bn3n1;（Ⅱ）Tn3n2n2 【解析】

(6n6)n1n1（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn，又Tnc1c2c3cn， 3(n1)2n(3n3)即Tn3[222323424(n1)2n1]， 所以2Tn3[223324425(n1)2n2]， 以上两式两边相减得

Tn3[22222所以Tn3n2n2

234n1(n1)2n24(2n1)]3[4(n1)2n2]3n2n2。

21考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列、等比数列求和；3、“错位相减法”、

【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式及求和公式、等比数列求和、数列求和“错位相减法”、此类题目是数列问题中常见题型、本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高、解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列项数、本题能较好考查考生逻辑思维能力及基本计算能力等、 6、【2016高考天津文数】(本小题满分13分)

已知an是等比数列，前n项和为SnnN，且(Ⅰ)求an通项公式；

112,S663、 a1a2a3(Ⅱ)若对任意nN,bn是log2an和log2an1等差中项，求数列【答案】（Ⅰ）an2n1（Ⅱ）2n2 【解析】

试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由

1bn2前2n项和、

n112解得q2,q1，a1a1qa1q2a1(1q6)分别代入Sn63得q1，a11

1q（Ⅱ）先根据等差中项得bn组求和法求和：

111(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，再利用分222T2n(b12b22)(b32b42)(b22n1b22n)b1b2b2n2n(b1b2n)2n2

2

考点：等差数列、等比数列及其前n项和 【名师点睛】分组转化法求和常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}前n项和．

(2)通项公式为an＝组求和法求和．

bn，n为奇数，

cn，n为偶数

数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分

7、 【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{an}前n项和为Sn、已知S2=4，an1=2Sn+1，

nN*、

（I）求通项公式an；

（II）求数列{ann2}前n项和、

2,n1【答案】（I）an3n1,nN*；（II）Tn3nn25n11、

*,n2,nN2【解析】

试题分析：（I）由an12Sn1转化为an13an，进而可得数列an通项公式；（II）先去掉绝对值，再对n范围讨论，采用分组求和法，即可得数列ann2前n项和．



（II）设bn|3n1n2|，nN，b12,b21、 当n3时，由于3n1*n2，故bn3n1n2,n3、

设数列{bn}前n项和为Tn，则T12,T23、

9(13n2)(n7)(n2)3nn25n11当n3时，Tn3，

13222,n1所以，Tn3nn25n11、

*,n2,nN2考点：等差、等比数列基础知识、

【方法点睛】数列求和常用方法：（1）错位相减法：形如数列anbn求和，其中an是等差数列，bn11是等比数列；（2）裂项法：形如数列或求和，其中fn，gnfngnfngn是关于n一次函数；（3）分组法：数列通项公式可分解为几个容易求和部分．