变截面压杆弹性稳定的解析解

杨立军;邓志恒;吴晓;孙晋

【摘 要】变截面压杆是工程结构中应用广泛的承力构件,当压杆所承受的荷载达到临界荷载时,整个结构就会失去稳定性.基于此,研究了变截面压杆弹性稳定的临界荷载解析解,推导了求解二阶线性齐次微分方程的摄动法.然后,采用该方法求出了变截面压杆微弯平衡状态下的微分平衡方程的解析解,结合边界条件得到了变截面压杆弹性稳定的临界荷载.最后,运用研究结果计算了变截面压杆的临界荷载(计算结果与其他文献基本一致).算例分析表明,该方法简便实用,且有良好的近似性.%A variable cross - section compression bar is an important structural member in an engineering structure. When the compression of the bar reaches its critical load, the whole structure will lost the stability. Thus it was studied that the analytical approach for stability of variable cross - section compression bars with a perturbation method. First, the perturbation method of particular importance in solving linear homogeneous differential equation of second order with variable coefficients was derived in detail. Then the analytical solution of the slightly bending differential equation of the variable cross - section compression bar was constructed by using the perturbation method. And the critical load of the variable cross - section compression bar with boundary constraints was obtained. Finally, as the numerical examples, the critical loads of variable cross -section

compression bars were calculated, and the calculation result agreed well with the result recorded in other literatures. It is shown by several

numerical examples that this method is simple and practicable, and owns good precision.

【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2013(032)001 【总页数】4页(P85-88)

【关键词】摄动法;变截面压杆;稳定;解析解 【作 者】杨立军;邓志恒;吴晓;孙晋

【作者单位】湖南文理学院土木建筑工程学院,湖南常德415000 【正文语种】中 文 【中图分类】TU323 0 引 言

变截面压杆在工程领域频繁出现,如桁架的变截面受压弦杆、腹杆、排架、框架结构的变截面柱,等等.在此情况下,由于杆件的压力较大,往往需要考虑杆件的弹性稳定,以防止受压杆件失稳造成工程结构失效[1-3].因此，需要提出用以探求这种杆件临界荷载的比较简便的方法.关于变截面压杆的稳定问题已有较多的研究，如刘庆潭采用传递矩阵法研究了锥形变截面压杆稳定[4],卞敬玲采用有限单元法研究了任意变截面压杆的分支屈曲[5],楼梦麟采用模态摄动法得到了变截面压杆稳定问题半解析解[6].相对于有限单元法,解析法由于能够得到结构临界荷载的解析表达式,更利于工程应用.变截面压杆弹性稳定的屈曲微分方程属于含有变系数的二阶线性齐次方程,一般难以求得精确解析解.因此，常常采用Bessel函数求解含有变系数的二阶线

性齐次方程,但采用Bessel函数时，理论复杂,过程烦琐,不利于工程应用.求解变截面压杆弹性稳定临界荷载的另一种方法是能量法,能量法的精度决定于杆件挠曲线的选取,但结构实际挠曲线往往很难确定,这也使得能量法要么误差较大,要么对研究人员的要求较高,从而了能量法的工程应用.基于此,本文提出了一种求解变截面压杆弹性稳定的屈曲微分方程的摄动法.该方法理论简单、计算方便、结果可靠,可以求解不同支承情况、不同荷载作用形式的变截面压杆弹性稳定,应用范围广泛,具有广阔的应用前景.

1 求解变系数二阶线性齐次微分方程的摄动法

变截面压杆弹性稳定的屈曲微分方程可以转化为如式(1)所示的变系数二阶线性齐次微分方程： (1)

式中：u为变截面压杆纵轴线位置ξ的函数；λ2为大参数；p(ξ)为区间[a,b]上的连续函数；q(ξ)为区间[a,b]上正的二次连续可微函数.令 z=φ(ξ),R(ξ)=u(ξ)Y(ξ). (2)

由式(2)可知： (3) (4) (5)

式(3)-(5)中：φ′，R′和Y′分别为φ，R和Y对ξ的一阶导数；φ″，R″和Y″分别为

φ，R和Y对ξ的二阶导数. 将式(3)-(5)代入式(1),经整理得 (6)

在式(6)中,令 (7) q(ξ)=φ′2， (8) (9)

则式(6)可以化为 (10)

由于p(ξ)，q(ξ)， (ξ)和Y(ξ)均为连续函数, 所以ε(ξ)在区间[a, b]上也连续即有界, 即

m≤ε(ξ)≤M. (11)

为了计算方便, 在本文中令式(6)中的ε(ξ)为区间[m, M]上的某一常量, 这样式(6)可化为 (12)

很容易求得式(12)的解为

(13)

式中：C1，C2为积分常数. 利用式(2)和(13),可求得式(1)的解为 (14)

式中：φ(ξ)，Y(ξ)的表达式由式(7)-(8)根据p(ξ)、q(ξ)的表达式求出. 考虑ε相当于大参数λ2是一个可以忽略的小数, 式(14)可以简化为 u(ξ)=Y(ξ)-1{C1cos[λφ(ξ)]+ C2sin[λφ(ξ)]}. (15)

2 变截面压杆的弹性稳定

如图1所示，两端简支的变截面压杆,杆长l底部截面宽h0,顶部截面宽h1.以变截面压杆底部截面中心为坐标原点o,x轴为压杆纵向对称轴,y轴平行底部截面,建立如图1所示的坐标系.设压杆底部截面惯性矩为I0,顶部截面惯性矩为I1. 设x轴上处的变截面压杆惯性矩I(ξ)为 I(ξ)=I0(1-αξ)m， (16)

式中：是描述变截面压杆几何形状的2个形状参变量.由压杆底部和顶部截面惯性矩I0，I1,可以求得m为 (17)

变截面压杆的弹性曲线微分方程为 (18)

式中：E为材料弹性模量；F为杆件轴向压力. 令式(18)可以化为 (19)

如果α=0,即如图1所示，杆件是等截面压杆，此时式(19)变为常系数微分方程.由式(1)可知： p(ξ)=0,q(ξ)=1. (20)

由式(8)可以求得 φ′=±1，φ″=0,φ=±ξ. (21)

将式(20)和式(21)代入式(7)求得 Y(ξ)=A， (22)

式中：A为常数.

由式(15)求得，当α=0时，式(19)的解为 y(ξ)=A-1[C1cos λξ+C2sin λξ]. (23)

如图1所示，两端简支的压杆边界条件为 ξ=0时，u(0)=0；ξ=1时， u(1)=0.

(24)

将式(24)代入式(23), 求得两端简支等截面压杆的临界荷载为 (25)

式(25)即为两端简支等截面压杆的临界荷载精确解,这验证了本文方法的正确性. 如果α≠0,即如图1所示，压杆是变截面的，此时(19)为变系数二阶线性齐次微分方程,由式(1)得 p(ξ)=0,q(ξ)=(1-αξ)-m. (26)

因q(ξ)=φ′2,φ′，φ″和φ有2个根,但取哪个根并不影响式(19)的解,因此可只给出1个根.由式(8)和式(26)可以求得 φ′=-(1-αξ)-m/2, (27) (28) (29)

将式(26)-(29)代入式(7)求得 Y(ξ)=(1-αξ)-m/4. (30)

由式(15)即可求得α≠0时，式(18)的解为 (31)

将压杆边界条件式(24)代入式(31)求得 (32) (33)

联立式(32)和(33), 即可求得两端简支变截面压杆的临界荷载为 (34) 式中: 3 算 例

算例1 如图1所示，直径呈线性变化的两端简支的圆截面压杆(此时m=3)杆长l,底部截面惯性矩为I0,顶部截面惯性矩为I1,杆件材料的弹性模量为E.由式(34)可以计算出n,临界荷载就等于表1相应n值与EI0/l2的乘积(当I1/I0=1时,按式(25)计算n,即n=π2).本文方法和文献[5-7]方法计算所得的n值如表1所示.

表1 变截面压杆的n值Tab.1 n values of variable cross-section compression barI1/I00.10.20.40.60.81.0文献[5]3.084.366.197.8.779.76 文献[6]2.9.286.237.628.829.86 文献[7]3.124.416.247.8.839.86 本文3.234.496.277.658.829.86

从表1可以看出,本文方法与其他文献计算结果相差不大,表明本文方法有很好的精度.

算例2:如图1所示，变截面压杆杆长l,底部截面宽h0,顶部截面宽h1.底部截面惯性矩为I0,顶部截面惯性矩为I1,杆件材料的弹性模量为E.按式(34)给出公式计算的n值如表2所示.在表2中,β，m是描述变截面压杆几何形状的2个形状参变量,其中

表2 变截面压杆的n值Tab.2 n values of variable cross-section compression barβ0.10.30.50.70.930.42691.77183.59195.82018.4240m40.09860.88742.494.83127.986350.01870.42001.65943.927.5672

由表2计算结果可以分析β，m对压杆临界荷载的影响.从表2可以看出,随着β的增大,临界荷载增大；随着m的增大,临界荷载变小. 4 结 论

变截面压杆弹性稳定方程是变系数二阶线性齐次微分方程,本文采用摄动法得到了变截面压杆弹性稳定的临界荷载.采用摄动法计算等截面压杆的临界荷载可以得到和经典方法相同的解,计算变截面压杆的临界荷载结果与其他文献计算结果相差不大,验证了本文方法的正确性.

本文得到了变截面压杆弹性稳定的临界荷载解析表达式,由该式可以分析形状参变量β，m和杆长l等各种因素对临界荷载的影响:随着β的增大,临界荷载增大；随着m的增大,临界荷载变小；随着l的增大,临界荷载变小.

从本文计算可以看出,采用摄动法求解变截面压杆弹性稳定的临界荷载,计算过程简单,计算结果可靠.该方法可以求解不同支承情况、不同荷载作用形式的变截面压杆弹性稳定,应用范围广泛,具有广阔的应用前景. 参考文献：

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[6] 楼梦麟,李建元.变截面压杆稳定问题半解析解[J].同济大学学报：自然科学版,2004,32(7):857-860.

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