第五章 体力学 相似原理与量纲分析

第五章 量纲分析与相似原理

教学要点

一、 教学目的与任务

1本章教学目的

1） 2） 3）

2 本章教学任务

使学生掌握流动相似的基本概念。

动力相似准则及理解模型设计的基本方法。 能应用量纲和谐原理进行量纲分析。

1理解几何、运动、动力、初始与边界条件相似的基本概念。

2掌握各种动力相似准则，特别是重力相似准则、粘性力相似准则，能灵活应用模型律进行模型设计。

3量纲与单位的基本概念，量纲的和谐原理。 4） 掌握量纲的基本分析方法：定理。

二、重点、难点

重点：重力相似准则、粘性力相似准则，模型设计；量纲和谐原理，瑞利法与定

理。

难点：动力相似准则，量纲分析：瑞利法与 定理 三、教学方法

本章内容是学生学习流体力学进行量纲分析的基础。主要采用理论讲解和例题分析的方法并借助于多媒体课件。

第9次课 章 题目 模块 单元 原理模块 相似原理、量纲分析 年 月 日 第5章 相似原理与量纲分析 方式 方法 手段 课堂 重点内容学习法 板书 基本要求 熟悉流体力学中的基本量纲，掌握分析流体力学方程中量纲和谐的方法。 了解力学相似原理的基本含义，理解几何相似、运动相似、动力相似。了解π定理内容，熟悉佛汝德准则和雷诺准则的物理意义。 重点 内容拓展 量纲的和谐原理，瑞利法与 定理 难点 动力相似准则，量纲分析 相似理论应用 1、张也影. 流体力学. 北京：高等教育出版社，1999 2、莫乃榕，《工程流体力学》，华中科技大学出版社，2000 参考教材 3、周亨达. 工程流体力学（第二版）. 北京：冶金工业出版社，1998 4、程 军、赵毅山. 流体力学. 上海：同济大学出版社，2004 5、程 军、赵毅山. 流体力学学习方法及解题指导. 上海：同济大学出版社，2004 作业 习题：5—4、5—7、5—13 思考题：5—1、5—2

引言：

一、实验观察法

在实物或原形上进行实验，观察实验现象，并总结和推广到相应的模型或原形上。

二、相似方法

该方法是模型中的现象相似于原型中的现象的方法，应用条件：模型中发生的现象与原型中发生的现象相似，才有可能应用于原型。

相似原理：研究支配相似系统的性质以及如何用模型实验解决实际问题的一门科学，是进行模型实验的依据。但不是一种的科学方法，只是实验和分析研究的辅助方法。

三、量纲分析法

是流体力学中重要的数学方法，它表征给定现象（过程）的各个物理量的量纲进行分析，从形式推理出发，建立包括有关物理量在内的描述个别现象（或过程）的方程。

模型试验是对真实流动现象在实验室内的再现，目的是揭示流动的物理本质 问题的提出：

进行实验研究，需要解决什么问题？

1.实验条件如何安排？（设计实验流动模型的根据） 2.试验数据如何整理？

3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间服从什么关系） 解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究的基本问题。

§5－1 量纲分析法的意义和量纲和谐性原理

一、量纲分析方法提出的根据

1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。 2）任何完整物理方程，必须满足因次和谐性条件。 二、几个定义

1）表示物理量的差别如长度、时间、质量及力等称为因次。比较同类物理量大小，人

为用单位表示，不管用什么单位，因次只有一个。

2）物理量的数值决定于所取量度单位的称为有因次量；与所取单位无关的称为无因次

量。

3）不能从其它量导出的因次称基本因次；由基本因次乘幂组合而成的因次称导出

因次。

注：流体力学所研究的问题中确定基本因次时，要根据研究对象，所掌握的物理量以及有关基本因次的定义来确定。

三、物理因次的和谐原理

一个完整物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而其中各次因次也一定相同，不同因次的物理量不能相加减。

设表达某物理现象时，诸物理量间的函数式为yf(x1,x2,,xn) 按因次和谐要求，上式西边因次必须相同。

ykx11,x22,,xnn 式中，x1,x2,,xn——影响变量y的因素； aaa a1,a2,,an——待定系数； K——无因次的比例系数。

例：判别流动状态的关键在于临界速度，根据实验得知vcr与d,,有关，即

vcrf(d,,)

由上述因次和谐要求， vcrkd123

则，按因次关系 [LT]=[L]1[ML]2[MLT]3 两端因次必相等，得 x1 =-1，x2=-1 x3=1

11 vcrkd 即 vcrkxxx-1x-3x-1-1x d整理后，kvcrdRe， 这就是雷诺数表达式。 四、定理（布金汉定理）

该定理为因次和谐原理解多因次函数式的待定系数提供了简便的方法。设有物理量y为另一些物理量x1,x2,,xn的函数，即yf(x1,x2,,xn)，选基本量，流体力学中通常采用流速v、流体的密度和流动的任意特征长度l为基本量x1,x2,,x3，都是相互的，不能相互导出，符合基本量的条件。

函数式中剩下的y及x4,x5,,xn各量的因次，可用这三个基本量的因次的若干幂次的乘积来表示即

[x4]=[v]a4[l]b4[]c4[x5]=[v]a5[l]b5[]c5[xn]=[v]an[l]bn[]cn如将各基本量分别乘以1,2,3，

v'1vl'2l

'3其余各物理量相应变为

y'1a2b3cyx4'1a42b43c4x4xn'1an2bn3cnxnabc将式yf(x1,x2,,xn)代入y'123y，得

y'1a2b3cf(x1,x2,,xn)y'f(1v,2l,3,23x4,23xn)111;2;3，代入上式后，得 vla41b4c4an1bncn

式中1,2,3可任意选择，取1

yvalbcf(1,1,1,xnx4,)或f(1,1,1,4,,n) anbncna4b4c4vlvl 从上式可以看出，n+1个有因次量y,x1,x2,xn组成的函数关系，简化成减少3个基本因次即n+1-3个无因次量之间的函数关系。而后，再利用因次和谐原理解出物理方程。这个方

程是布金汉首先提出来的，并用表示这些无因次量，所以称为布金汉定理（定理） 例：沿管道单位长度的压降p与液体的密度、粘度、流速v、半径r有关，试用定理给出它们的关系式。

解：根据题意有

pf(v,r,,) lp用定理，得 albcf(1,1,1,abc)

vrv4r44p其中， albc；4abc

v4r44vrpl应用因次和谐原理，得 2； 4vrvr1于是，得

p1f()f() lvrRev2r整理后，得本次课小结：

vrplv2 ——管道阻力系数，Re——雷诺数

lr1） 掌握各种动力相似准则，特别是重力相似准则、粘性力相似准则，能灵活应用模型律进行模型设计。 2） 理解量纲与单位的基本概念，量纲的和谐原理。 3） 掌握量纲的基本分析方法： 定理。

作业：5—4、5—7、5—13

思考题：

5—1 布金汉定理主要解决了什么问题？

5—2 相似理论有什么意义？有哪些相似准则？ 第10次课 章 题目 模块 单元 原理模块 相似原理、量纲分析 年 月 日 第5章 相似原理与量纲分析 方式 方法 手段 课堂 重点内容学习法 板书 基本要求 熟悉流体力学中的基本量纲，掌握分析流体力学方程中量纲和谐的方法。了解π定理内容，熟悉佛汝德准则和雷诺准则的物理意义。 重点 内容拓展 量纲的和谐原理，瑞利法与 定理 难点 ，量纲分析 相似理论应用 1、张也影. 流体力学. 北京：高等教育出版社，1999 2、莫乃榕，《工程流体力学》，华中科技大学出版社，2000 参考教材 3、周亨达. 工程流体力学（第二版）. 北京：冶金工业出版社，1998 4、程 军、赵毅山. 流体力学. 上海：同济大学出版社，2004 5、程 军、赵毅山. 流体力学学习方法及解题指导. 上海：同济大学出版社，2004 作业

习题：5—4、5—7、5—13 思考题：5—1、5—2 §5－3 相似理论基础

两种流动相似的必要和充分条件是几何相似、运动相似及动力相似。 一、 几何相似

模型与实物的外形相同，各对应部分夹角相等而且对应部分长度（包括粗糙度）均成一定比例。

l1A1l12V1l13长度l；面积A2；体积V3

l2A2l2V2l2夹角 12;12;11

几何相似即使通过比例尺δl来表达，只要δl维持一定，就能保证两个流动保持相似。 二、 运动相似

对应的质点，流过相应的距离的时间成一定比例。tt1 t2根据运动相似和几何相似推出流速与加速度的相似关系，

uu1tl1u2l2tt2a1tu1a2u2tt2u1l1

a上述可知，运动相似与否，取决于u，a，而流速相似和加速度相似又取决于l,t。 三、 动力条件相似

实物与模型的流体，对应质点所受的诸力成一定比例。

FF1M1a11V1al3a F2M2a22V2其中，aull2;u ttt32l2lll2u2 所以，Fl22tt或

F1

l2u2即两种几何相似系统动力相似条件，——密度相似系数。

相似准则 一、牛顿相似准则

F1F2F11l12u12 整理，得 1l12u122l22u22F22l22u22或 NeF（常熟）——————牛顿相似准数 l2u2这就是牛顿相似准则或惯性力相似准则。即两种流体系统动力相似，此准数相等，反之亦然。

注：上述牛顿相似准则是所有力的合力所对应的情况，而力的种类也有很多，都满足牛顿相似准数是非常困难的，但是在实际研究流体力学现象时往往只是某一种力起主要作用，分析其主要作用的力，是指满足牛顿相似准数就形成以下准则。 二．雷诺相似准则

在流动现象中起主要作用的是粘性力和惯性力时

粘性力 TAdu，其大小可用Tlu表示，代入牛顿相似准数 dy得，

l1u11l2u22 或

luRe 其中，  Re——雷诺相似准则

根据式子中的推导过程，雷诺相似准则就是粘性力与惯性力之比。 三。佛汝德相似准则

若起主要作用的是重力和惯性力，重力可用gl来衡量，将它代入牛顿相似准数，得：

2u12u2u2 或Fr g1l1g2l2gl3 Fr——佛汝德相似准数，也可用上述准则，称为佛汝德相似准则或重力相似准则。 四。欧拉相似准则

若起主要作用的是总压力和惯性力，总压力可用 pl 来衡量。代入牛顿相似准则，得

2p1p2 221u12u2或 Eup 式中，Eu——欧拉相似准数 u2这个准则称为欧拉相似准则或压力相似准则。 五。马赫相似准则

若在流动中，压缩性占主要地位，惯性力与弹性力之比的平方根，称为马赫相似准数（简称马赫数）

Mu2l2kl2uu ka式中，a——流体中的音速，ak。

当M<1时的流动称亚音速流动；M>1时的流动称超音速流动。