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1998 超声振动系统设计及性能分析的解析方法-另一种形式的通解

来源：年旅网

第25卷第2期1998年4月华　北　电　力　大　学　学　报

JournalofNorthChinaElectricPowerUniversityVol.25No.2Apr.1998超声振动系统设计及性能分析的解析方法

顾煜炯　杨　昆　　　周兆英　姚　健

(华北电力大学,北京　100085)　(清华大学,北京　100084)

摘　要　在分析与推求变截面杆纵振动控制方程及其通解的基础上,给出了超声振动系统设计及性能分析的解析过程中所采用的一些基本公式。结合范例,介绍了用解析法进行超声换能器、变幅杆及其组合谐振系统的设计及性能分析的基本步骤。

关键词　超声振动系统　设计　性能分析　解析法中图分类号　O347　TB55

　　前　言

超声振动系统是功率超声设备的核心和关键,其设计好坏直接影响到应用效果。因此,

超声振动系统的设计理论与分析方法,是功率超声基础研究中至关重要的工作。虽然功率超声技术已有了很大的发展,但至今还未形成完善、系统的设计理论和分析方法体系,故对此的研究也颇为热门。在前人工作的基础上,作者开展了一系列有关超声振动系统设计理论与分析方法的研究,并逐步形成了较为完善的体系[1],主要是围绕解析法、有限元法、网络法等被认为是行之有效的几种方法而进行的。

本文介绍的解析法,基于均质细杆纵振动的近似理论,即假设组成振动系统的结构作一维纵振动,并且没有损耗。当振动系统的结构超出均质细杆的近似条件时,需要对结果作较大的修正[2],其应用有一定局限性,然而它对阐明超声振动传播的基本规律和特性仍有普遍意义。由于实际应用中的功率超声振动系统大多符合均质细杆的近似条件,故本文内容可作为解决超声振动系统设计及性能分析的理论指导和有效方法。

1　变截面杆纵振动的控制方程及其通解

假设有一任意截面的均质细杆,长为L,截面积函数为S(x),质量密度为Θ,拉压弹性模量为Y,横向尺寸远小于声波长,可视为细杆作一维纵振动。取细杆中心线为x轴,左端面为原点,如图1所示;图中,ZR为输出端的力阻。

显然,x截面的纵向位移u是坐标x和时间t两个变量的函数,即u=u(x,t),不难得到细杆纵振动的运动支配方程[3]

52u1dS5u152u　2+=22　　　　(1)

Sdx5x5xc5t式中,c为杆中纵波速,c=

收稿日期:1997-10-30。

。Y󰃗Θ

图1　变截面细杆作一维纵振动

华　北　电　力　大　学　学　报1998年

　　如果细杆受简谐激励,则式(1)变为

d2u1dSdu+k2u=02+Sdxdxdx

(2)

式中,k为波数,k=Ξ󰃗c;Ξ为角频率。

将振速v=(jΞ)u代入方程式(2),得到任意截面细杆作一维纵振动的振速控制方程

d2v1dSdv+k2v=02+Sdxdxdx

(3)

对方程式(3)作变换v=y󰃗S,可以得到

d2y2

2+k1y=0dx(4)

式中　k=k-2

1d2S。dx2

y=Asink1x+Bcosk1x

只有当k21为正常数时,方程式(4)才有简谐解

所以,细杆的振速分布函数和应力分布为

1(Asink1x+Bcosk1x)v(x)=

ST(x)=Y

(5)(6)

duYdv=

dxjΞdx

根据细杆两端的边界条件:振速条件(v󰃜x=0=v1,v󰃜x=L=v2)或力平衡条件(F󰃜x=0=-F1,F󰃜x=L=-F2),可求出待定系数A和B,从而得到细杆纵振动时振速和应力分布的解析式。

在功率超声振动系统中,常用杆件的形状有等截面、圆锥形、指数形、悬链线形、三角函数形等,表1列出了它们的有关参数。其中,Α=(N-1)󰃗NL称为锥度系数,Β=lnN󰃗L称为

-1-1

)󰃗蜿蜒指数,Χ=ch-1N󰃗L称为双曲形状系数,∆=cos(NL称为三角形系数,N=

S1󰃗S2。

表1　几种常用变截面杆的形状参数

类型

等截面圆锥形指数形悬链线形三角函数形

S(x)SS1(1-Αx)

-2Βx

k1kkk-Β

(1-Α1󰃗L)

ΒL

S1e2

S2chΧ(L-x)S1cos∆x2

chΧL1󰃗cos∆Lk-Χk+Β2

　　根据式(5)和(6),可得到各种形状细杆的振速函数和应力分布的通式,它们是:

(1)等截面杆

v(x)=Asinkx+Bcoskx

T(x)=-c(Acoskx-Bsinkx)jΘ

(7a)(7b)

第2期顾煜炯等:超声振动系统设计及性能分析的解析方法55

　　(2)圆锥形杆

v(x)=

T(x)=-cAjΘ

11-Αx

=(Asinkx+Bcoskx)(8a)

coskxΑsinkxsinkx+-2-B1-Αx1-Αxk(1-Αx)Αcoskx2

k(1-Αx)

(8b)

　　(3)指数形杆

v(x)=eΒx(Asink1x+Bcosk1x)

T(x)=

(9a)

k1sink1x)]

-jΘcΒx

e[A(k1cosk1x+Βsink1x)+B(Βcosk1x-k(9b)

　　(4)悬链线形v(x)=

T(x)=

1(Asink1x+Bcosk1x)

ch(L-x)

(10a)

-k1cosk1xΧshΧ(L-x)sink1xjΘcA++kchΧ(L-x)ch2Χ(L-x)

ΧshΧ(L-x)cosk1xk1sink1x-2

chΧ(L-x)chΧ(L-x)

(10b)

　　(5)三角函数形

v(x)=T(x)=

1(Asink1x+Bcosk1x)cos∆x

(11a)

-k1cosk1x∆sin∆xsink1xjΘcA++kcos∆xcos2∆x

∆sin∆xcosk1xk1sink1x-cos∆xcos2∆x

(11b)

　　如果振动系统由单一截面杆组成,那么只要将边界条件代入振速或应力分布的通式,即可求出频率方程或振动特性。然而在实际应用中,振动系统往往由几种不同截面杆单元组合

而成,需要将复合系统分离成相对的杆单元,然后利用边界条件和连续性条件,根据各个单元的振速和应力分布的通式,求出复合系统的频率方程或振动特性。

2　超声换能器的设计及性能分析

功率超声换能器的特点是,其振动系统为一振动子,同时又是产生弹性振动的源。这样一来,换能器的结构和尺寸同时也决定了它的谐振和动力特性。功率超声换能器可以有磁致伸缩和压电两种原理,各有其优缺点,它们一般均采用纵向复合棒结构,如图2所示。

56华　北　电　力　大　学　学　报1998年

(a)　复合棒磁伸缩换能器的结构尺寸　　　　　　(b)　复合夹心式压电换能器的结构尺寸图2　纵向复合棒超声换能器的结构尺寸用解析法设计和分析复合棒超声换能器的过程,作者已在文献[4]中进行了详细的介绍,这里就不再赘述。3　超声变幅杆的设计及性能分析311　单一截面变幅杆的设计及性能分析

由图1知,任意单一截面变幅杆的边界条件为

v(0)=v1;F(0)=0;v(L)=v2;F(L)=-ZRv2

将上述边界条件中的任意两个代入振速函数和应力分布的通式,即可求得待定系数A和B;再由其余两个边界条件,得到频率方程。下面以指数形变幅杆为例,说明其解析过程。

(9b)和前两个边界条件由式(9a)、

B=v1,　　A=-Vk1

Β1

　　将求得的A、B代入式(9a)和(9b),即可得到指数形变幅杆的振速函数和应力分布

v(x)=v1e

Βx

-Βsink1x+cosk1x

jΘckv1Βx

esink1xk1

(12a)(12b)

T(x)=

(12b),可得到指数形变幅杆的频率方程　　由后两个边界条件和式(12a)、

jksink1LZR=

Βsink1L-k1cosk1LZ2

(13)

式中,Z2——变幅杆输出端的特性声阻抗,Z2=ΘcS2。

当变幅杆的输出端自由(或空载)时,即ZR=0,其频率方程为

sink1L=0

(14)

　　令v(x)=0,由式(12a),可得到节面位置方程

tgk1x0=

k1Β(15)

　　由式(12a),可得到指数形变幅杆的变速比

第2期顾煜炯等:超声振动系统设计及性能分析的解析方法57

v2=eΒL(-v1

Βsink1L+cosk1L)(16)

312　复合变幅杆的设计及性能分析

用解析法设计和分析复合变幅杆,不仅要利用边界条件,而且还须利用连续性条件,以求得所有的待定系数,从而得到频率方程和性能参数的解析式。下面以圆锥形过渡的复合阶梯形变幅杆为例,如图3所示,来说明复合变幅杆设计和性能分析的解析过程。

这种复合变幅杆各部分的振速函数和应力分布为

v1(x1)=A1sinkx1+B1coskx1

T1(x1)=-v2(x2)=T2(x2)=-jΘcA

c(A1coskx1-B1sinkx1)jΘ(17a)(17b)(18a)(18b)(19a)(19b)

11-Αx2

(A2sinkx2+B2coskx2)

coskx2Αsinkx2+-B

1-Αx2k(1-Αx2)2sinkx2Αcoskx2+

1-Αx2k(1-Αx2)2

v3(x3)=A3sinkx3+B3xcoskx3T3(x3)=-c(A3coskx3-B3sinkx3)jΘ

　　考虑变幅杆两端自由的情形,其边界条件和连续性条件为

(20a)v1(0)=vf

(20b)F1(0)=0

v1(L1)=v2(0)F1(L1)=F2(0)v2(L2)=v3(0)F2(L2)=F3(0)v3(L3)=vbF3(L3)=0

(20c)(20d)(20e)(20f)(20g)(20h)

图3　复合阶梯形变幅杆各部分标注

　　将各部分的振速函数和应力分布的通式与以上条件联立,可求得各待定系数

0;　　A2=-vfsinkL1+

ΑcoskL1;　A3=vbsinkL3;

B1=vf;　B2=vfcoskL1;　　　　　　　　B3=vbcoskL

　　将An、Bn(n=1,2,3)代入相应的振速函数和应力分布通式,可得到复合变幅杆各部分的振速函数和应力分布的解析式,分别为

v1(x1)=vfcoskx1T1(x1)=jΘcvfsinkx1

v2(x2)=

vf(21a)(21b)(22a)

1-Αx2

-sinkL1+

Αcosk1L1sinkx2+coskL1coskx2

58华　北　电　力　大　学　学　报1998年

T2(x2)=

-jΘcvf-1-Αx2

sinkL1+

ΑcoskL1

coskx2+

Αsinkx2k(1-Αx2)

(22b)(23a)(23b)

-coskL

sinkx2-

Αcoskx2k(1-Αx2)

v3(x3)=vb(sinkL3sinkx3+coskL3coskx3)T3(x3)=-jΘcvb(sinkL3coskx3-

coskL3sinkx3)

　　由条件(20e)和(20f),可得到复合变幅杆的频率方程和相应的变速比tgkL3=-(tankL1+Α󰃗k)[1+(ΑN󰃗k)tankL2]-(tankL2-ΑN󰃗k-(tankL1+Α󰃗k)tankL2+1

[sinkL1+(Α󰃗k)coskL1]sinkL2+coskL1coskL2}coskL3

(24)(25)

vbN{-=vf

4　复合超声振动系统的设计及性能分析

功率超声振动系统一般是由换能器、变幅杆和专用工具级联而成的,每一部分均是谐振单元。用解析法设计和分析这类复合振动系统时,一般将其中的每一个谐振单元按同一频率分别设计和分析,然后将它们级联起来。

范例:假设某一功率超声振动系统由复合棒磁致伸缩换能器,圆锥杆小端接圆柱的复合变幅杆和圆锥过渡的复合阶梯形工具组成,其结构如图4所示,要求谐振频率为f0,试确定每一部分的尺寸,并分析其振速和应力分布。

图4　复合超声振动系统各部分的标注

第一步,换能器的设计和性能分析

设其声速为c1,密度为Θ1,波数为k1=2Πf0󰃗c1,分别代入复合棒振子的频率方程和变速比,以及振速和应力分布的解析式,由此来进行换能器的设计和性能分析。第二步:变幅杆的设计和性能分析

这种变幅杆是图2所示复合圆锥形变幅杆的特例。设其声速为c2,密度为Θ2,波数为k2

=2Πf0󰃗c2,面积系数为N1,根据式(21)～(25),即可得到复合变幅杆的频率方程和变速比,以及各部分的振速和应力分布的解析式,由此来进行变幅杆的设计和性能分析。

第2期顾煜炯等:超声振动系统设计及性能分析的解析方法59

第三步:复合工具杆的设计和性能分析

这种复合变幅杆已在前面作了具体分析。设其声速为c3,密度为Θ3,波数为k3=2Πf󰃗c3,面积系数N2,根据式(21)～(25),即可得到频率方程和变速比,以及各部分的振速和应力分布的解析式,由此来进行复合工具杆的设计和性能分析。

采用以上步骤,笔者成功地设计了超声手术刀振动系统,并对其性能进行了具体分析,有关内容可参见文献[1]。

5　结　论

(1)均质变截面细杆纵振动的控制方程及其通解,是用解析法进行超声振动系统设计及性能分析的理论基础。(2)超声振动系统常采用等截面、圆锥形、指数形、悬链线形、三角函数形等杆单元,文中给出了其振速和应力分布的通式,它们是分析和设计超声振动系统的基本公式。

(3)用解析法设计和分析单一截面杆的超声振动系统时,只须利用其边界条件;但对于复合超声振动系统,则须联立边界条件和连续性条件后,才可得到解析。

(4)超声振动系统一般是由换能器、变幅杆工具联结而成的,每一环节均是的、具有同一频率的谐振单元。可将各部分按同一频率分别设计和分析,然后级联即可。

参　考　文　献

1　顾煜炯1超声振动系统的研究及系列超声手术刀的研制:[博士学位论文]1北京:清华大学,19962　顾煜炯,杨昆1设计横向耦合的细杆纵振动固有频率的计算1华北电力大学学报,1998,25(1):47～513　KarlF.Graff.WaveMotioninElasidsSolids.OhioStateUniversityPress,1975:108～1114　顾煜炯,周兆英,姚健1磁致伸缩换能器振子及其性能分析1机械工程学报,1997,33(5):98～103

AnalyticalMethodforDesigningandAnalyzingthePerformanceof

UltrasonicVibrationSystem

　　　　　　GuYujiong1;YangKun1;ZhouZhaoying2;YaoJian2

　　　　　　1)NorthChinaElectricPowerUniv.,Beijing100085　　　　　　2)TsinghuaUnive.,Beijing100084

ABSTRACT　Basedontheanalysisandinquityintothegoverningequationitssolutionsforthelongitudinalvibrationofvariablecross-sectionalbar,somefundamentalformulasusedanalyticallyindesigningandanalyzingtheultrasonicvibrationsystemsaregiven.Combinedwithexamples,themainstepsusingtheanalyticalmethodtodesignandanalyzetheperformanceofultrasonictransducers,amplitudetransformers,andtheresonantsys2temsoftheircombinationsareintroduced.

KeyWords　ultrasonicvibration,design,performanceanalysis,analyticalmethod

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