第１６卷第１期 ２０１３年１月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．１６。Ｎｏ．１ Ｊａｎ．，２０１３ 扎里斯基与代数几何的抽象化 陈跃 （上海师范大学数学系，上海２００２３４） 摘要 扎里斯基在２Ｏ世纪３０年代末和４Ｏ年代，因为要为经典代数几何建立严格的逻辑基础，率先 将抽象代数大规模地引入到了经典代数几何中的过程，其结果导致产生了抽象的现代代数几何，促进了代 数几何的大发展。 关键词 代数几何；代数曲面；环；抽象代数；层；概形 中图分类号 Ｏ１７ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１３）０１—０１２１—０６ 扎里斯基（Ｚａｒｉｓｋｉ）是２Ｏ世纪最有影响的代数 几何学家中的一个，他通过运用抽象代数的方法，和 韦伊（Ｗｅｉｌ）、格罗腾迪克（Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ）等人一起 因此代数几何触发了现代数学中许多分支学科的发 展，从而它与现代数学中的其他分支学科有着广泛 的联系，并且被深刻地应用到了理论物理与其他的 科学技术中。 由于代数几何用到众多现代数学基础知识，特 别是非常抽象的抽象代数方法，加上代数几何学科 固有的比较奇异与独特的思维表述方式不易被人理 解，造成了现在国内还很少有学者在研究代数几何 的现状。而青年学子们在学习这门不同寻常的分支 学科时所遇到的困难就更大，他们除了要学习掌握 大量抽象的现代数学基础知识，还要努力弄明白现 代代数几何所采用的极端抽象语言背后的真正几何 内涵。这就需要我们回到代数几何的出发点，观察这 门学科是如何演变成今天现代形式的理论的。 在２０世纪的中期重新建立了代数几何的逻辑基础， 澄清了经典代数几何中的许多模糊之处，其结果导 致产生了抽象的现代代数几何，促进了２Ｏ世纪下半 叶代数几何的大发展，为此他在１９８１年荣获了沃尔 夫数学奖。 在现代数学众多的分支学科中，代数几何是一 门非常重要而又特别的基础数学学科＿１］。代数几何 的主要研究对象是代数簇（又称代数流形，或者可以 简单地认为是一组多元多项式的零点集合）。虽然这 是一类非常特殊的流形，在日常欧氏空间中无法想 象它们的图形，但其内涵十分丰富，几何性质独特， 比其他流形更具有“刚性”，在现代数学中的应用比 其实早期的经典代数几何并不象现在这样抽象 和复杂，其所用到的数学工具最多也只有多元代数 方程和单复变代数函数等理论。只是到了２Ｏ世纪， 这门学科才发生了翻天覆地的变化。虽然在代数几 何抽象化的过程中有许多因素导致了这种变化，但 是从初学者的角度看，扎里斯基在２０世纪３Ｏ年代 较普遍。低维代数簇的例子有代数曲线，代数曲面和 ３维代数簇等。例如与费马大定理有关的费马曲线 Ｘ”＋ 一 （变量都取有理数值） 就是一条代数曲线。目前庞大的代数几何学科可以 大致分成复代数几何（常被简称为复几何）与抽象 代数几何（或现代代数几何）两大部分。前者主要运 用多复变函数论、代数拓扑学和复微分几何等学科 的方法来研究复代数簇的性质，而后者主要是以抽 象代数和函子（｛ｕｎｃｔｏｒ｝理论作为工具来研究代数 末和４０年代率先将抽象代数大规模地引入到经典 代数几何中，从而促使改变了代数几何语言的这一 段历史，是帮助人们理解现代代数几何本质的一条 重要途径。鉴于目前国内还没有这方面比较系统的 中文介绍，本文简要讲述了这一段重要的历史。 几何，虽然难以理解和想象，但是结论精确，并且由 此得到的结果适用面更广。由于在研究代数簇的过 程中需要用到代数，几何，拓扑和分析等许多工具， 收稿日期：２０１２—０５—２７；修改日期：２０１２—１１—２３ １ 经典代数几何的发展简史 代数几何最早起源于在１７和１８世纪牛顿 作者简介：陈跃（１９５８－－），男，上海人，硕士，副教授，从事代数几何史 研究。Ｅｍａｉｌ：ｃｈｅｎｙｕｅ＠ｓｈｎｕ．ｅｄｕ．ｃａ （Ｎｅｗｔｏｎ）和贝朱（Ｂｅｚｏｕｔ）等人关于平面代数曲线 的研究工作，例如牛顿曾经研究过平面三次实代数 ｌ２２ 高等数学研究 曲线的分类。到了１９世纪上半叶的射影几何登场 胡同，它对代数几何领域的进一步发展来说已经是 不适合了。，，Ｅ２］ａ６ 后，才开始出现一些关于复代数曲线与复代数簇的 最简单的代数几何理论。然后黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）在研 究复变函数的阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴 的黎曼面概念和代数函数的理论，而黎曼面和代数 函数实际上也是代数曲线的另外两种表现形式。黎 曼从崭新的比较抽象的拓扑与几何视角来重新研究 复代数曲线，发现了流形的拓扑不变量——亏格， 这是代数拓扑与代数几何中最基本的一个概念。在 此之后，以克罗内克（Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ）、戴德金 ２ 扎里斯基跟随意大利学派学习代数几何 扎里斯基就是在这个历史发展的关键时刻进入 到代数几何这个领域中来的。１９２１年秋天２２岁的扎 里斯基从俄罗斯来到意大利罗马大学学习数学。这 时的罗马大学正是当时世界代数几何的研究中心， 也就是意大利学派的所在地。由于在经典代数几何 中需要用到许多经典代数知识（例如解代数方程组 的消去法），这对喜欢代数的扎里斯基来说，很自然 地被吸引到代数几何领域中来了。他在听卡斯泰尔 诺沃的代数几何与代数函数课程的时候，还自学了 此课所需要的单复变函数理论。而在恩里奎斯的代 数几何课上，他不安地发现“只有几何，只看到各种 （Ｄｅｄｅｋｉｎｄ）和韦伯（Ｗｅｂｅｒ）为代表的代数学派受 代数数论的启发相继引入了理想、赋值和除子等最 基本的概念，特别是戴德金和韦伯这两位数学家已 经有了用纯代数的方法来研究代数函数的超前想 法。与此同时，以Ｍ・诺特（Ｎｏｅｔｈｅｒ）为代表的几何 学派继续从经典射影几何的角度深入研究复代数曲 线，发现了平面曲线奇点解消的基本方法。 曲线和图形，非常随意，没有证明。，，Ｅ２１２１至于意大利 学派三位大数学家中最年轻、也是最有影响的塞维 １９世纪末期对于复代数曲面的研究标志着代 数几何的发展进入了一个新的历史阶段。虽然从代 数曲线到代数曲面的（复的）维数仅仅增加了一维， 但是与代数曲线完全不同，研究代数曲面需要克服 许多困难，难度极大（例如复代数曲面是难以直观想 象的实４维流形）。以Ｅ・皮卡（Ｐｉｃａｒｄ）为代表的分 析学派试图将黎曼的复代数曲线理论推广到复代数 曲面上。在他们的工作中出现了代数拓扑同调理论 的萌芽，然后庞加莱（Ｐｏｉｎｃａｒ６）才能够在这个基础 上写出他那著名的关于同调理论的一系列文章，创 立了代数拓扑学。接着莱夫谢茨（Ｌｅｆｃｈｅｔｚ）在２０世 纪的初期用这个同调理论开始研究复代数曲面的拓 扑性质。 里的课，就更随意了，其所作的断言常常分不清是定 理还是猜想，或是假设。这是因为传统的经典代数几 何的简单语言还不能精确地表达代数曲面的丰富性 质，所以只好常常借助于比较直观和简单的代数方 程与代数函数的语言来进行比较直观的几何推理， 并且往往对命题所涉及的特殊情形无法作出严格的 论证。尽管如此，扎里斯基还是以他的天赋从三位老 师那里学到了很多东西，以至他心存感激地称罗马 大学为他的“几何乐园”。 扎里斯基在学习经典代数几何的时候就开始关 心怎样完善他的意大利老师们的定理的严格证明问 题，只是此时他和他的老师们都还不了解在德国哥 廷根大学中抽象代数的发展状况，特别是由Ｅ・诺 特（Ｍ・诺特的女ＪＬ）等人创立的环论，没有意识到 应该用抽象代数的方法来解决问题。当时的看法是 也许可以用新的拓扑与分析的方法来改造代数几何 旧有的经典方法，所以卡斯泰尔诺沃鼓励扎里斯基 学习莱夫谢茨的拓扑方法。 当然对研究代数曲面的最主要贡献还是来自于 著名的意大利学派。这个学派的三个主要代表人物 是卡斯泰尔诺沃（Ｃａｓｔｅｌｎｕｏｖｏ）、恩里奎斯 （Ｅｎｒｉｑｕｅｓ）和塞维里（Ｓｅｖｅｒｉ），他们用天才的几何 直觉和高超的几何技巧，综合运用包括分析与拓扑 方法在内的各种方法创造了复代数曲面的一个非常 深刻的理论。但同时他们的工作也有一个致命的缺 ３ 扎里斯基写作《代数曲面》 １９２７年左右扎里斯基来到美国的约翰０霍普金 斯大学工作。他开始全方位地整理意大利学派在代 数曲面方面的工作，并且融入了自己对于代数曲面 的研究成果，写出了《代数曲面》＿３］一书。这本于 １９３５年问世的重要著作系统总结了意大利学派关 陷，就是缺少一个统一的逻辑基础，一些证明依赖于 几何直观，缺乏严密性。和数学史上常见的情形类 似，这种逻辑基础不稳的状况严重阻碍了代数几何 的进一步向前发展，以至于卡斯泰尔诺沃曾经说过 这样一句话：“意大利学派的方法已经进入了一个死 第１６卷第１期 陈跃：扎里斯基与代数几何的抽象化 １２３ 于代数曲面经典理论的主要成果，成为了后人了解 意大利学派的主要参考文献。从这本经典著作中，我 们可以发现意大利学派在复代数曲面方面的工作确 实达到了一个相当高的水平：代数曲面的奇点解消、 的理想所确定的坐标环的代数研究（例如不可约簇 所对应的坐标环为整环，而不可约簇的几何维数实 际上就等于这个整环的商域在复数域上的超越次数 等）。另一方面，希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）的代数不变量理 论也促成了理想理论的诞生。Ｅ・诺特和Ｅ・阿丁 代数曲面的除子与线性系的经典理论、代数曲面的 黎曼一罗赫（Ｒｏｃｈ）定理、代数曲面的参模（ｍｏｄｕｌｉ）．、 拓扑方法和分析方法等等。不过，扎里斯基更想做的 事情是为缺乏严密性的经典代数几何建立一个坚实 的逻辑基础，所以他在书中尽量简化各定理原来的 证明过程，并在其中注人严密性。从今天的眼光看， 在这本书里所用到的各种方法（包括较初步的拓扑 （Ａｒｔｉｎ）对环与理想理论的初期发展作出了主要贡 献，而范德瓦尔登（ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ）的著名教材 《代数学》则系统总结了Ｅ・诺特和Ｅ・阿丁的环论 以及其他抽象代数理论Ｉ５］，并且范德瓦尔登在３０年 代还写过一系列文章，初步尝试将经典代数几何建 立在多项式理想理论的基础上。 扎里斯基就是从读范德瓦尔登的《代数学》和 克鲁尔（Ｋｒｕｌ１）的《理想论》这两本书人手，开始自 学抽象代数与环的理想理论的。他对环的理想理论 可以说是相见恨晚，他尤其为克鲁尔所发现的局部 环理论所震撼，因为这正是研究任意域上的代数几 何所需要的。此外戴德金和韦伯的用纯代数方法研 方法）都应属于传统经典代数几何的范畴。现代意 义上使用抽象代数和层论方法的抽象代数几何在这 个时候还完全没有诞生。 扎里斯基在完成《代数曲面》的写作后并不十 分高兴。他曾经回忆说：“我试图尽我最大的努力揭 示出意大利几何学家们所采用的天才几何方法背后 的深刻思想，并对整个（代数）曲面理论中最重要的 一究代数函数的著名文章也给扎里斯基以深深的启 发。扎里斯基一边学习，一边研究怎样用这些现成的 些定理给出证明，虽然做得很成功，但是付出了一 个代价。这个代价就是失去了我自己的几何乐园，在 抽象代数语言来重新表述经典代数几何的研究成 这里我曾经是那样的幸福。我开始明显地对那些经 我整理的原始证明的严密性感到不安和失落（虽然 没有失去对弥漫在这些证明中富有想象力的几何精 神的敬意）；我逐渐相信所有这些证明都必须用纯代 数的方法重新来过。－［２３６８ 扎里斯基在这里所说的“纯代数”方法实际上 就是诞生于２Ｏ世纪２Ｏ至３Ｏ年代的抽象代数方法。 果，并且设法将以前经典的复数域上的代数几何扩 大为任意域上的代数几何，从而可以给出经典代数 几何中各个定理的严格证明。从这里出发，扎里斯基 开始了他的用抽象代数重新改造代数几何的漫长历 程，这 类的工作在历史上由于和数论（又称算术） 的内在联系而被称为“代数几何的算术化”。 让现在的人们感到有些吃惊的是：作为现代抽象代 数几何鼻祖的扎里斯基，在写完《代数曲面》的时 候，居然还不懂环的理想理论！ ５ 扎里斯基如何运用抽象代数 但是“扎里斯基不久就意识到，仅仅改写证明是 不够的。他必须引入和他的意大利老师的几何构架 不相似的新的概念。虽然算术化的目的是严格证明 意大利学派的代数几何，从而保留其传统，但是只有 引进全新的概念与方法，以此来完全取代旧的方法， 国内介绍现代数学发展历史的《２０世纪数学经 纬》［４］一书中讲到扎里斯基在写《代数曲面》时，说 他“用完全严格的代数方法”整理意大利学派的工 作，这是不确切的。 这个目标才能达劐。”［６］这也就是说，要想用类比的 ４ 扎里斯基如何学习抽象代数 环与理想概念的最早雏形是戴德金的代数数论 中数域的代数整数环及其理想的概念。克罗内克在 此基础上抽象出了一般的环与理想的概念，并且他 和拉斯克（Ｌａｓｋｅｒ）等人在２ ０，世纪初很早就发现了 理想与代数簇之间一些最基本的天然联系，利用这 方法逐字逐句地运用抽象代数已有的概念和理论， 将经典代数几何的定理平行地“翻译”成抽象代数 的语言是远远不够的，很多时候扎里斯基必须自己 重新发明新的抽象代数概念和推导出新的抽象代数 定理，才能满足描述代数簇复杂性质的需要。 例如在《代数曲面》的第一章中，扎里斯基仔细 分析了复代数曲面奇点解消定理的四种不同的证明 过程（其中就有塞维里的一个证明），这些证明所用 种联系可以将代数簇的几何研究转化为对由代数簇 １２４ 高等数学研究 的方法都是经典代数几何的方法。现在来看这些方 法都是不严格的，而且在经典代数几何的框架内也 是不可能真正严格地证明代数曲面奇点解消定理 的。曲面的奇点解消问题在代数几何中是一个非常 基本的问题，它的大意是为每个有奇点的代数曲面 寻找一个和它在同一双有理等价类中的光滑曲面， 这个问题与代数曲面的分类问题直接相关，而代数 簇的分类问题又是代数几何的中心研究课题。 在研究改进这个重要的代数曲面奇点解消定理 证明的时候，扎里斯基就第一次成功地将环论中的 整闭包与赋值环的理论运用到了代数几何中，并且 在范德瓦尔登等人工作的启发下还重新创造了一个 新的抽象代数概念——正规（ｎｏｒｍａ１）的概念。如果 一加严格，同时也更直观。你可以称此种直观为代数直 观，这种代数直观不可能从几何直观中得到。”ｌ２ “ 另一方面，从２０世纪的４Ｏ至５０年代，整佘基础 数学正处于从传统经典数学向抽象的现代结构数学 转变的转型时期，由于受到布尔巴基学派的强烈影 响，整个基础数学变得越来越抽象化和代数化。扎里 斯基正是顺应了这样的历史大趋势。 ６ 扎里斯基对代数几何抽象化的其他贡献 从此以后，扎里斯基就在代数几何的严格化与 代数化方向上做了大量的研究工作，其影响可以从 现在普遍采用的术语中反映出来，如人们熟知的最 基本的扎里斯基拓扑的定义、扎里斯基切空间的概 个整环在其商域中整闭，那么这个整环就是一个 正规环，而坐标环在其商域中整闭的不可约代数簇 就被称为正规簇。扎里斯基所引入的正规簇有非常 好的性质：ｎ维正规簇的奇点集合最多只有 一２维， 因此２维正规曲面只有有限个孤立的奇点。扎里斯 基接着引入一种被称为“正规化”的方法，可以将任 念，以及描写代数簇之间双有理映射重要性质的扎 里斯基主定理等。例如扎里斯基切空间就是对微分 流形上切空间的一种深入刻画与自然推广。如果ｍ 是代数簇上任意点Ｐ处局部环的极大理想，那么在 Ｐ点的扎里斯基切空间可以定义为向量空间ｍ／ｍ 的对偶空间。扎里斯基给出的这个简洁定义是内蕴 意代数曲面都变成正规曲面，然后反复交替使用现 在被称为爆发（ｂｌｏｗｉｎｇ ｕｐ）的二次变换方法与取整 闭包的方法，逐步消除一个个奇点。扎里斯基严格证 明了：一定可以在有限步之后得到没有奇点的光滑 的（即不依赖于代数簇所嵌入的外在空间），可以直 接用到后来的概形（ｓｃｈｅｍｅ）理论中。 在扎里斯基后半生的学术生涯中，他逐渐放弃 了早年主要使用的经典代数几何方法（包括拓扑与 分析的方法），转而“一心一意地用新的代数方法来 正规曲面，这个光滑正规曲面与原来的代数曲面是 双有理等价的。在这里，对于代数曲面的坐标环取整 闭包、从而得到正规曲面的这样一种代数操作，其对 应的几何操作在以往的经典代数几何中是没有的 （也是旧的几何语言所无法描述的）。这样，通过引入 阐发基本的几何思想，，Ｅｚ？８７。扎里斯基发现了光滑点 与正则局部环的紧密联系，研究了双有理映射与算 术亏格的关系，以及与曲面的黎曼一罗赫定理有关 的线性系理论等。他研究过的重要问题还包括３维 强有力的抽象代数方法，扎里斯基就能够彻底消除 原来证明中的模糊之处，于１９３９年完全严格地证明 代数簇的奇点解消、代数曲面的极小模型、代数簇上 的全纯函数和等奇异性理论等。 ． 了这个重要的代数曲面奇点解消定理，迈出了在代 数几何中大规模运用抽象代数方法关键的第一步。 扎里斯基引入抽象代数方法的代价是改变了代 数几何中原先比较直观简单的经典几何语言，代之 在扎里斯基等人的大力倡导下，２Ｏ世纪中期代 数几何的研究由于采用了抽象代数的方法，而提升 到了一个更高的抽象层次。扎里斯基自己在研究各 种代数几何问题的同时，还投入了很多精力来研究 以更加抽象和难以理解的抽象代数语言。不过这种 语言更加精致和准确，足以澄清和处理原来比较粗 糙的古典语言所不能对付的复杂情形。抽象代数方 法的好处是能够去除无关的信息，直接抓住问题的 本质。扎里斯基的学生广中平佑（Ｈｉｒｏｎａｋａ）曾经这 样给出他的老师引入抽象代数方法的理由；“如果你 能够将问题代数化，将问题用代数的语言表达出来， 那么剩下的事情就是进行纯粹的代数推理，从而更 代数几何所需要的新的抽象代数理论，即被称为交 换代数的交换环和局部代数理论，并且在塞缪尔 （Ｓａｍｕｅ１）的协助下写出了两大卷已经成为了抽象 代数经典教材的《交换代数》Ｉ７ ］。这不仅为后来格罗 腾迪克更抽象的概形理论做好了代数准备，同时也 反过来促进了抽象代数理论的进一步发展。扎里斯 基的学生李普曼（Ｌｉｐｍａｎ）曾经这样评价扎里斯基： “他将抽象的交换代数方法开拓性地运用到（代数） 第１６卷第１期 陈跃：扎里斯基与代数几何的抽象化 １２５ 几何问题中，从而在极大程度上打开了进一步发展 的大ｆ－ｊ。”［。］” 响了扎里斯基的一批优秀学生，其中就有芒福德 （Ｍｕｍｆｏｒｄ）、广中平佑和Ｍ・阿丁（Ｅ・阿丁的儿子） 等人。很快人们就发现概形对于代数几何来说是—－ 与扎里斯基同时或稍后，韦伊、范德瓦尔登和周 炜良等人也在积极地推进代数几何基础的重建工 作。虽然他们的工作也非常重要（例如韦伊的抽象代 数簇理论），但在采用抽象代数语言方面，他们的影 响都不如扎里斯基的影响大。这种交换代数的语言 成为了接下来更大规模重建工作所必需的最基本语 种特别适合的语言，它不仅可以解决代数几何本身 的重要问题，而且可以用来解决数论等其他学科中 的问题。例如对于数论中和黎曼猜想类似的韦伊猜 想，就可以准确地运用概形理论来进行描述和证明。 又例如芒福德用概形理论来准确地表述一般的参模 空间概念，形成了他的著名的几何不变量理论。而 Ｍ・阿丁甚至还将概形理论推广成了更抽象的代数 一 日ｏ ７ 层论的引入与概形理论的诞生 对代数几何的逻辑基础进行最彻底的改造还是 空间（ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｐａｃｅ）理论，“这使得有可能把抽象 代数几何学的范围拓广并且使它与代数几何的其他 分支更紧密地联系起来。”ｌ＿１叩 来自于塞尔（Ｓｅｒｒｅ）和格罗腾迪克在５Ｏ年代的伟大 工作，人们的感觉是他们突然之间彻底重写了代数 几何。塞尔的层论与同调代数是２０世纪中叶的整体 微分几何、多复变函数论、抽象代数和拓扑学得到充 分发展后的产物。层论最早由勒雷（Ｌｅｒａｙ）在４Ｏ年 代初提出，这种理论结合了同调代数的上同调理论 后，可以从流形的局部信息得到流形的整体几何信 息。到了５Ｏ年代初期，“层论特别是凝聚层的上同调 理论被Ｈ・嘉当（Ｃａｒｔａｎ）和塞尔气势恢弘地运用到 了斯坦（Ｓｔｅｉｎ）流形上”［９］。接着塞尔又看出层论也 可以用在比斯坦流形更特殊的复代数簇上，于是他 ８ 扎里斯基所作杰出贡献的长远影响 后来的历史发展证明，当代数几何的逻辑基础 问题被彻底解决后，代数几何便获得了飞速的发 展口 。以获得菲尔兹奖的重要工作为例，几乎每一 届菲尔兹奖颁奖时都有代数几何方面的数学家获 奖。 ・１９６６年阿蒂亚（Ａｔｉｙａｈ）因为证明了指标定 理（黎曼一罗赫定理的深远推广）、格罗腾迪 克因为建立抽象代数几何的逻辑基础而分 别获奖． ・１９７０年广中平佑因为用概形理论完全解决 就立即着手系统地将层论运用到了代数几何中。而 格罗腾迪克是一个集大成者，他等于是综合了扎里 斯基和塞尔两人的工作，即通过运用前者的交换代 数与后者的层论及同调代数，将经典的代数簇理论 推广成了适用面更广的概形理论。格罗腾迪克及其 学派通过撰写总页数长达７５００页的一系列重要专 了任意维数的代数簇奇点解消问题而获奖． ・１９７４年芒福德因为用概形理论得到一般参 模空间理论的贡献而获奖． ・１９７８年德利涅（＇Ｄｅｌｉｇｎｅ）因为用现代代数几 何证明了重要的韦伊猜想而获奖． ・１９８２年丘成桐因为证明了复几何中重要的 卡拉比猜想而获奖． ・１９８６年法尔廷斯（Ｆａｌｔｉｎｇｓ）因为用现代代数 著，用概形和上同调真正为整个代数几何学科建立 起了一个牢固的逻辑基础，使现代代数几何成为了 一个在很大程度上将几何、代数、数论以及分析统一 起来的极其完美的理论体系。 值得指出的是，当塞尔在代数几何中引入层论 后，扎里斯基马上就看出了它对代数几何的重要意 义，因为层论极大地简化了代数几何中的证明推理 过程。他积极地学习层论与上同调，并写文章介绍这 些新的理论。而当格罗腾迪克提出非常“激进”的概 几何证明了重要的莫德尔（Ｍｏｒｄｅｌ１）猜想而 获奖［ｎ］ ・１９９０年森重文（Ｍｏｒｉ）因为用现代代数几何 完成了３维代数簇的分类（极小模型理论） 而获奖． 形理论时，一开始遇到了很多的质疑和冷落，很多人 都觉得这种理论在抽象的道路上走得太远了，很难 有什么实际用处。然而扎里斯基却坚定地支持格罗 腾迪克，请他到哈佛大学来讲概形理论，这极大地影 ・１９９８年康采维奇（Ｋｏｎｔｓｅｖｉｃｈ）因为对代数 几何的一个重要分支——计数几何 （Ｅｎｕｍｅｒａｔｉｖｅ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ）的贡献而获奖，并 且在这一年怀尔斯（ｗｉｌｅｓ）因为用现代代数 ｌ２６ 高等数学研究 ２０１３年１月 几何证明了数论中著名的费马大定理而荣 ［４］张奠宙．２Ｏ世纪数学经纬［Ｍ］．上海：华东师范大学出版 社，２００２：１２３． 获菲尔兹特别贡献奖． ・２００２年沃耶沃茨基（Ｖｏｅｖｏｄｓｋｙ）因为发展了 ， Ｅ５］王青建，崔智超．范德瓦尔登《代数学》的价值ＥＪ］．高等 数学研究，２００７，１０（１）：１２６—１２８． 代数簇新的上同调理论而获奖。 这一切都充分显示了扎里斯基对于建立代数几 何逻辑基础的所作杰出贡献的重要意义和长远影 响。如果当初没有扎里斯基等人在引入抽象代数语 言方面的开拓性工作，则后面的代数几何大发展是 ［６］ＧＲＡＹ工Ｊ，ＰＡＲＳＨＡＬＬ Ｋ Ｈ．Ｅｐｉｓｏｄｅｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ Ｍｏｄｅｒｎ Ａｌｇｅｂｒａ（１８００—１９５０）［Ｍ］．Ｒｈｏｄｅ Ｉｓｌａｎｄ： Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，２００７：２９７． ［７３ ＺＡＲＩＳＫＩ Ｏ，ＳＡＭＵＥＬ Ｐ．Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ Ａｌｇｅｂｒａ，Ｖｏ１． ＩＥＭ］．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｖａｎ Ｎｏｓｔｒａｎｄ，Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ，１９５８： １－３２０． 难以想象的。所以说在从经典代数几何通向现代抽 象代数几何的发展过程中。扎里斯基实际上起到了 中间过渡桥梁的作用。在这个意义上我们可以说扎 ［８］ＺＡＲＩＳＫ１ ０，ＳＡＭＵＥＬ Ｐ．Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ Ａｌｇｅｂｒａ，Ｖｏ１． ＩｌｌＭ］．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｖａｎ Ｎｏｓｔｒａｎｄ，Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ，１９６０： １—４０７． 里斯基是最后一位经典代数几何学家，同时他也是 第一位现代代数几何学家。 ｛＿｜考文献 ｒ９］ＢＯＲＥＬ Ａ．普林斯顿高等研究院的数学学部（ＩＩ）［Ｊ３．数 学译林，２００２，２１（１）：５５． ［１Ｏ］王元．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０：２７５． Ｅｌｉ陈跃．现代数学主要分支学科的遇俗介绍ＥＪ］．数学文 化，２０１２，３（１）：１０３・１０６． Ｅｌ１］ＤＩＥＵＤＯＮＮＥ Ｊ．Ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ［Ｍ￣． Ｍｏｎｔｅｒｅｙ， Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ： Ｗａｄｓｗｏｒｔｈ， Ｉｎｃ．， １ １４－１６２． １９８５： ［２］ＰＡＲＩＫＨ Ｃ．Ｔｈｅ Ｕｎｒｅａｌ Ｌｉｆｅ ｏｆ Ｏｓｃａｒ ＺａｒｉｓｋｉＥＭ］．Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ ｔ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，Ｉｎｃ．１９９１． ［１２］陈跃．对话李克正教授：为什么学习代数几何［Ｊ］．高等 数学研究，２０１１，１４（４）：１２３－１２７． Ｅ３］ＺＡＲＩＳＫＩ Ｏ．Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｓｕｒｆａｃｅｓ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄ．Ｂｅｒｌｉｎ Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７１ ｔ １－２４７． Ｚａｒｉｓｋｉ ａｎｄ ｔｈｅ Ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ＣＨＥＮ Ｙｕｅ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２３４，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｅ １９３０ｓ ｔｏ １９４０ｓ，ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ａ ｓｏｌｉｄ ｌｏｇｉｃａｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｚａｒｉｓｋｉ，ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ＂ｔｉｍｅ ｉｎ ｈｉｓｔｏｒｙ，ａｐｐｌｉｅｄ ａ ｔｒｅｍｅｎｄｏｕｓ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ａｂｓｔｒａｃｔ ａｌｇｅｂｒａ ｉｎ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｔｈｅ ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ｔｈｕｓ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｅｍｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａｂｓｔｒａｃｔ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｕｒｆａｃｅ，ｒｉｎｇ，ａｂｓｔｒａｃｔ ａｌｇｅｂｒａ，ｓｈｅａｆ，ｓｃｈｅｍｅ 、ｏ●（）●ｏ．（）－ｏ●ｏ●０●ｏ●０●（＞●ｏ●ｏ●－（＞●夺●ｏ●ａ● ●０●ｏ●＜＞●０●（＞● ｏ●＜＞●＜＞●ｏ●ｏ ●ｏ●ｏ●＜＞●（＞●（＞●◇●＜＞●＜＞●（＞●（） ０●（＞０ ●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●ｏ（上接第１２０页） ｔｉｍ￣ｔｉｖｅ￣ｙｓｔｓ ｆｏｒ Ｈｉｇｈｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ＤＵＡＮ Ｙｕｌｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ＳｃｉｅｎＣｅｓ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３００３９，ＰＲＣ） ， Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｅｘａｍｐｌｅｓ。ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｄｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ。Ｏｕｒ ｇｏａｌｓ ａｒｅ ｔｏ ａｓｓｉｓｔ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｔｏ ａｄａｐｔ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ａｔｍｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｔｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｖａｒｉｏｕｓ“ｓｔｕｍｂｌｉｎｇ ｂｌｏｃｋｓ”ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｌｅａｒｎｉｎｇ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｔｅａｃｈｉｎｇ
