“北约”联考数学笔试模拟试题

“北约”联考数学笔试模拟试题

1．求证：

112. log2log5ax2bxc0,bx2cxa0,cx2axb0 2．证明三个不同的一元二次方程：

222(abc0)中至少有一个方程有相异实根。

3．设如图所示，是一人出差从A城到B城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市的连线上（单位：时）。试求此人从城A到城B所需时间的最小值。

4．某人总贷款A元，还款期限为n月，设月利率为r, 问： （1）若采取等额还货法（每月还款数额相同），则每月还款a是多少？

（2）若采取等本金还贷法（每月还相同等额本金，外加该月发生的所有利息），则第k月还款额ak是多少？

1

x2y25．已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交

ab于R、S。

（1）求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程； （2）在同一坐标系内画出已知椭圆及所求轨迹的草图。

6．有一些半径相等（假设为R）的球，如图堆放——相邻两球都外切——成一座“球山”，如果堆放层数为n，试求“球山”中球的总个数，并求“球山”的高？

7．在三角形ABC中，设分别接近于三边BC,CA,AB的各内角的三等分线相交于X,Y,Z，则三角形XYZ是一个等边三角形。

华约联考数学笔试模拟试题

1．函数f(x)4xmx5在[2,]上是增函数，则f(1)的取值范围是（ ） A．f(1)25

B．f(1)25

C．f(1)25

D．f(1)25

22．函数ylogax的图像绕原点逆时针旋转90得到的图像是函数（ ）的图像。 3．若a0,b0，则不等式b A．(,0)(0,)

1b1a

1a的解集是（ ） x11 B．(,0)(0,)

ab 2

C．(,)(,)

1b1a

D．(11,) ab4．已知平面上有n(n3)个点，其中无三点共线，也无四点共圆，是否存在通过其中三个点的圆，它的内部不含任何一个已知点（ ） A．一定存在 B．一定不存在 C．不一定存在

2D．结论随n的大小而不同

*5．某学生回答：用数学归纳法求证：nnn1(nN)的过程如下：当n1时，显然命题是正确的；

假设nk时，有kkk1，

2 当nk1时，(k1)k12k23k2k24k4k11,

*

所以当nk1时，命题正确；由此对于nN，命题是正确的。

以上证明过程是错误的，错误在于（ ） A．当n1时，验证过程不具体 B．归纳假设的写法不正确 C．从k到k1的推理不严密 D．从k到k1的推理过程没有使用归纳假设 6．已知方程x(41)x4ai0(aR)有实根b，且zabi，则复数z等于（ ） A．22i B．22i C．22i D．22i

7．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c. 当静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线击出，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是（ ） A．４a

B．2(ac)

C．2(ac)

D．以上三种情况都有可能

28．如图所示，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成。现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体。则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）

A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤ C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤

9．三个朋友，每人写一明信片，一共三封明信片，寄给这三位中除本人之外的另两位之一，则这三人收到名信片的不同结果共有（ ） A．24种 B．16种 C．8种 D．4种

3

10．已知数列an是首项为a1，公差d0的等差数列，则方程组

a1xa2ya3za4a5xa6ya7za8解的情况必为（ ） axayaza1011129 A．唯一解

B．无解

C．无穷多解

D．以上均有可能

x2y211．已知二次曲线Ck的方程：1.

9k4k（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

Cn，（2）且mn，是否存在两条曲线Cm、其交点P与点F1(5,0)，m、n为正整数，

F2(5,0)满足PF1PF20？若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由。

12．有10个人各自拿着一个水桶到同一自来水龙头接水，他们的水桶的容量不同，因而接

满水的用时也不同。假设这10个人同时到达水龙头明，问怎样安排打水顺序，才能使等待的总时间最短？

13．二次函数f(x)pxqxr中实数p、q、r满足

2pqr0，其中m2m1mm0，

求证：（1）pf(

4

m)0； （2）方程f(x)0在(0,1)内恒有解。 m1

14．求边长为a的正方体绕其体对角线旋转一周得到的旋转体的体积。

15．过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF，边结ED和CF交AB于P和Q，

求证：PMQM.

证明：以M为原点，MB为横轴建立如图所示坐标系。

设圆的半径是单位长，OMa,P、Q的坐标分别是(p,0)(q,0)，直线CD、EF的斜率分别是k1、k2,则

“卓越”联考数学笔试模拟试题

1．下列命题中假命题为（ ） A．若pq，则qp C．若pq，则qp

B．若pq，则pq D．若pq，则qp

2．周长为定值a的扇形，它的面积S中其半径R的函数，则函数的定义域为（ ） A．(,a)

a2

B．(aa,)

2(1)2C．(a,2a)

D．(0,a)

3．方程(452xx11)lg(1x)0的解为（ ）

B．x1

C．x0

n A．x1或0

D．x4

4．已知aR，无穷等比数列an的前n项和Sna2 A．1

B．

，则an 的各项和为（ ）

D．与a有关的一个数值

1 2

C．1 2

5

5．如果复数z满足z1zi，那么zi的最小值为（ ）

A．

1 2 B．

2 2 C．1

D．2

6．以下命题正确的是（ ）

A．若x是第一象限角，则ysinx是增函数 B．函数ysinxcosx的最小正周期是

C．函数ycos2xsin2x是偶函数且最小正周期是

22 2D．若函数f(x)axbsinx1满足f(5)7，则f(5)7

7．质点M在以下三个力：f1(4,2),f2(1,3),f3(1,4)的共同作用下，从点P(6,11) 位移到了点Q(5,15)，这三个力的合力对质点所做的功为（ ） A．0

B．2

2

2C．4

2 D．8

8．直线xcosysinr和xyr的位置关系是（ ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．随值变化而变化

9．若正棱锥的底面边长与侧 棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A．六棱锥 B．五棱锥 C．四棱锥 D．三棱锥

10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体

感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于6 C．丙地：中位数为2，众数为3

D．丁地：总体均值为2，总体方差为3

11．已知在实数范围内：xyuv,xyuv,求证：xyuv.

6

2222nnnn

12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。 （1）求该选手被淘汰的概率；

（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望。（注：本小题结果可用分数表示）

13．如图所示，在同一地平面上有三个军事哨所A、B、C，已知A在B的南36西，B在

432555

C的北24西，B与A、C的距离的值是方程3x22700x3200000的两个根，

现三个哨所同时发现了同一架飞机T，仰角都是60. 求飞机T的高度。

14．已知函数f(x)对任意的xR都有f(x)11，若f(1)51，求

f(x2)f(7n4)的值(nN*).

7

15．已知抛物线y2px(p0)过焦点F的任一条弦AB，设A(x1,y1),B(x2,y2)且

2y10,y20.

（1）是否存在常数，使

11，若存在，求出的值，并给予证明，若不FAFB

存在，请说明理由；

（2）在抛物线对称轴（Ox的正方向）上是否存在一定点M，经过点M的任意一条弦AB，使

1MA21MB2为定值，若存在，则求出定点M的坐标和定值，若不存在，

请说明理由。

8

2014年全国重点大学 自主招生数学模拟试题（第二套）

一、选择题

1．设a0，复数(ai)的实部为8，则其虚部为（ ）. A．43

B．42

C．83

D．82

42．在正四棱锥PABCD中，M,N分别为PB,PD的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2. 则异面直线AM与CN所成角的余弦为（ ）. A．

1 6 B．

1 3 C．

2 3 D．

3 4x23．椭圆y21的内接三角形的面积的最大值为（ ）.

4 A．3

B．

9 4 C．

32 2 D．

33 24．在ABC中，ab3c，则sinAsinBsinC的最大值为（ ）. A．

7 81 B．

42 9 C．

1 9 D．

322 815．从3个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到（ ）种面值. A．42 B．43 C．44 D．45 6．在ABC中，在AB上取点C1使得AC1在CA上取点B1使得CB111AB，在BC上取点A1使得BA1BC，331CA,BB1与CC1交于点A2，CC1与AA1交于点B2，AA1与3（ ）.

C．

BB1交于点C2. 则

A．

SA2B2C2SABCB．

1 3

1 51 7

D．

1 97．5条直线最多把平面分成（ ）部分. A．13 B．14 C．15

D．16

9

8．AB为过抛物线y4x焦点F的弦，O为坐标原点，且OFA150,C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为（ ）. A．

21 3 B．

2 3 C．

4 3 D．1

9．正方形ABDC和正方形CDFE有两个公共顶点C,D，他们的位置可用矩阵

ACBDE来表示. 变换S将正方形ABDC逆时针旋转90，即将ABDC分别移到FABC的最短的变换序列是（ ）. FED22BDCA的位置. 变换T将正方形CDFE逆时针旋转90，即将CDFE分别移到DFEC的位置. 则下列将各顶点从原来的位置变为 A．TSTST

323B．STSTST

22C．STSTS D．TSTST

2210．一个圆柱形试杯，杯底的厚度不计，空杯时重心在离杯底

2处，盛满水时水的重量等于5351 5试杯的重量，则当装水的高度与试杯的高度之比为（ ）时重心最低. A．2

二、解答题

11．在ABC中，abc. 求证：C60.

12．长度为2的线段AB的端点在抛物线yx上滑动. 求其中点P的轨迹方程.

10

2 B．

35 5

C．21

D．

2

13．已知a,b,c为正数. 求证：

abc1.

2bc2ca2ab14．P过两点的切线交点为Q. 求证：QFP1FP2F. 1,P2为抛物线y4x上任意两点，

15．数列an满足2ak2ak1ak,Sn为前n项之和.

（1）若bkak1ak，求证：bn 为等比数列，并求公比q. （2）若b11,且SlimSn存在，求a1及S.

n222014年全国重点大学 自主招生数学模拟试题（第三套）

一、选择题

1．在ABC中，ab3c，则cosAcosBcosC的最大值为（ ）. A．

2．在正四棱锥PABCD中，M,N分别为PB,PD的中点，且侧面棱长等于底面边长. 则异面直线AM与BN所成角的余弦为（ ）.

7 81 B．

1 8 C．

1 9 D．

8 81 11

A．

1 61 6 B．

1 35 12 C．

2 32 3 D．

3 41 23．掷两枚骰子（每枚有6面，分别是1～6点），掷到两枚点数之和为7点以下的概率为（ ）. A．

B．

C．

2 D．

4．直线yk(x1)1与曲线y1x有两个公共点，则k的取值范围是（ ）. A．(0,]

12

B．(0,) C．(0,)

12

D．(,)

125．从10个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到（ ）种面值. A．70 B．68 C．66 D．

6．有A，B，C三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律：每经过一定时间A景点的游客会到B景点，B景点的游客会到C景点，而C景点的游客会有一半到A景点，一半到B景点，则经过一段时间到达平衡状态时，A，B，C三个景点的游客数量之比为（ ）. A．1：1：1 B．1：2：3 C．1：2：2 D．2：2：3 7．在ABC中，在AB上取点C1使得AC1在CA上取点B1使得CB111AB，在BC上取点A1使得BA1BC，441CA,BB1与CC1交于点A2，CC1与AA1交于点B2，AA1与4为（ ）.

BB1交于点C2. 则

A．

SA2B2C2SABCB．

4 13

4 7 C．

5 13 D．

5 98．从1～9九个数字中取出6个，得到一个顺子（即至少有5个数为连续整数）的概率为（ ）.

A66 A．46

A9

A55B．55

A9

5656A5A6A5A6C．5546 D．4556

A9A9A9A99．光线从原点发出，经直线x3y10反射后经过点（1，0），则光线在直线上的入射点为（ ）. A．(1,0) 10．(xxA．20

12

3

B．(0,3) 3C．(1,23) 3D．(2,3) 316)的展开式中x2的系数为（ ）. x

B．30

C．40

D．50

二、解答题

11．在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点. 求点A1到面ACD的距

离.

12．有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个

和是，66，68，70. 求这4个数.

13．如图，6个方格中有5个棋子标为1至5，剩下一个空格，每次移动的规则为：与空格

相邻的棋子移到空格中，并且那个棋子原来的位置变为空格，成为1步. （1）图中的排列至少经过几步使得5，4分别到1，2的位置？ （2）将5，4分别移到1，2的位置，并且3保持在原来的位置至少需要几步？ 1 4 2 5 3

14．把600粒花生分给100只猴子. 请证明不管怎样分，至少有8只猴子分的花生一样多.

13

a2b2c2abc15．已知a,b,c为正数. 求证：. bcacab2

2014年全国重点大学 自主招生数学模拟试题（第四套）

一、选择题

1．四面体的4个顶点到平面的距离之比为1:1:1:2，则这样的平面共有（ ）个. A．1 B．4 C．10 D．32 2．在ABC中，sinAsinBsinC最大值为（ ）. A．

216 27 B．

8 27 C．

4 27 D．

2 273．如图，四棱锥PABCD的底面为边长为1的正方形，PA1,PA底面ABCD，则PB 的中点E到面PCD的距离为（ ）. A．

1 2 B．

22 22 C．

2 4 D．

1 44．已知实数x,y满足xyxy1，则5xy的最大值为（ ）. A．2

B．22

C．7

D．27

5．由3朵红花，3朵紫花串成一个花环，可以组成（ ）种花色. A．50以下 B．51～100 C．101～150 D．150～200

6．如图，从A点出发，假设每一步都是同等概率走向相邻的结点，则在4步之内回到A点的概率为（ ）. A．

1 4 B．

3 4 C．

1 8 D．

3 8 14

7．一个信封需要贴80分面值的邮票，现有52张7分和18张25分的邮票，共可贴（ ）个信封. A．8 B．9 C．10 D．11 8．在边长为10的正方形桌面上平放直径为1的圆形棋子，要求互不重叠，且不能超出边界，至多可以放（ ）个. A．100 B．103 C．106 D．109 9．边长为1的正8边形内最大的三角形面积为（ ）. A．2

B．12 2C．132 4D．12

10．已知a,b为正数，ab1，则A．9

二、解答题

B．18

18的最小值为（ ）. a2b2C．27

D．36

11．如图，AB与CD是圆O的直径，ABCD,P是AB延长线上一点，AB2BP，连接PC交圆O于点E，连接DE交AB于点F. 求证：PFPO3PB.

12．在下面的圆圈中分别填上1，2，3，4，5，6，使得三边的和都相等.

13．已知a,b,c为正数. 求证：

15

21113abc23. 33abc

14．四棱锥PABCD的底面为边长为1的正方形，PA1,PA底面ABCD,PD的中点

为E. 求二面角DACE的正切.

15．设A0,B0,C0,ABC90. 求证：tanAtanBtanC

3.

2014年全国重点大学 自主招生数学模拟试题（第五套）

一、选择题

1．设有5个人都以同样的机会分到4个不同的房间，则任意两个房间最多相差1个人的概率是（ ）.

15352 B． C． D． 165212．在ABC中，三条边长均为整数，周长为20，则这样的三角形有（ ）种.

A． A．6

B．7

C．8

D．9

3．已知数列an满足3an1an4,a19，前n项和为Sn，则满足不等式

Snn6 A．5

1的最小n为（ ）. 125

B．6

22 C．7 D．8

4．已知实数x,y，则xyxy31xy的最小值为（ ）. 2216

A．7 12

B．5 123 4

C．3 12

D．1 125．一个球与棱长为1的正四面体的6条棱都相切，则球 的体积为（ ）. A．

3 12 B． C．

2 24 D．

3 246．在三棱柱ABCA1B1C1中，点A,BB1的中点M及B1C1的中点N所决定的平面把三棱柱分成两部分的体积之比为（ ）. A．

1 4 B．

3 7 C．

7 13 D．

13 237．设ab0,则a1的最小值为（ ）. 2b(ab)B．22

C．3

D．23

A．2

8．在棱长这10的正方体容器内放置直径为1的小球，至多可以放（ ）个. A．1024 B．1043 C．1048 D．1034

9．棱长为1的正八面体内最大的四面体体积与正八面体的体积之比为（ ）. A．

1 3 B．

3 4 C．

1 2 D．

1 410．甲、乙、丙3支球队按如下规则进行比赛：由其中两队比赛，胜者再与另一队比赛，直

到一队

A．B．C．D．

ax2111．已知函数f(x)，其中a是非零实数，b0.

bx

（1）求f(x)的单调区间； （2）若a0，设xi

1,i1,2,3,且x1x20,x2x30,x3x10. a2a； b17

证明：f(x1)f(x2)f(x3)

（3）若f(x)有极小值fmin，且fminf(1)2， 证明：f(x)f(x)22(nN).

12．设数列an的前n项和为Sn,a10,vSn1uSna1v，其中u,v为正整数，且uv，

nnnnN.

（1）证明：an为等比数列；

（2）设a1,ap两项均为正整数，其中p3. ①若pa1，证明v整除u； ②若存在正整数m，使得a1m证明：Sp(m1)m.

ppp1，ap(m1)p1，

18