(试卷)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第八章相交两圆的性质及应用

【基础知识】

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质．

性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦．

性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1在相交两圆中，内接三角形都相似．

如图81，△ACD，△AGH，△BEF均相似．

EAFO2O1GCBH图8-1D

推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真．如图81中，AC，AD分别为eO1，eO2的直径ABCD．

推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角．

推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上． 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．

性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为180． 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）． 事实上，如图82，eO1与下eO2相交于A，B．

CαO1GBE图8-2AβO2DHF

（1）令ACB，ADB，eO1与eO2为等圆ABAB,0,π． sinsin实用文档 专业整理 1

（2）eO1与eO2为等圆EGFHGEHF．

sinGBEsinHBF（3）由正弦定理即证．

性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图83所示，即可证得CE∥DF （证略）．

CNO1EMB(a)ACDO2FEB(b)图8-3AFDACDFBE(c)

性质7eO1与eO2相交于A、B，EF是过B的一条割线段，E在eO1上，F在e2上，N为O1O2的中点，则M为EF的中点的充要条件是MNNB．

事实上，如图83 （a），设M1，K，M2分别为O1、N、O2在EF上的射影，由垂径定理，知M1、M2分别为EB、BF的中点，由梯形中位线定理知K为M1M2的中点，不妨设EB≥BF，则

KBM1BM1KEBM1M2EBEBBFEBBF 22244EBBF 2由M为EF的中点EMMFMKMFKBBFEBBF 4（注意NKMB） MKKBNMNB．

注 特别地，当M与B重合时，有NBEF． 【典型例题与基本方法】

例1如图84，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P．设三角形ABP，BCP，CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1，O2，O3，O4．求证：OP，O1O3，O2O4三直线共点．（1990年全国高中联赛题）

DCRO4OO1A图8-4O3GPO2QB

实用文档 专业整理

2

证明连PQ2并两方延长交eO2于Q，交AD于R在△PRD和△PBQ中，

以而PRDPBQ90，即PO2AD． PDRBDABCABCPBQP，DPRQPB，利用相交两圆的性质1，知eO与eO4的连心线OO4公共弦AD，故PO2∥OO4． 同理，PO4∥OO2．从而PO2OO4为平行四边形，O2O4交OP于其中点G． 同理，O1O3也交OP于其中点G． 所以，OP，O1O3，O2O4三直线共点．

例2如图85，证明：若凸五边形ABCDE中， 则BACDAE． ABCADE，AECADB，

（第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题）

DCBFEA图8-5

证明设对角线BD与CE相交于F．由AECAEFADBADF，知A，E，D，F共圆．因此，AFEADEABC，即ABCAFC180，故A，B，C，F共圆． 此时，两圆eABCF与eAFDE相交于点F，A，从而由相交两圆性质2的推论1，知△ADB∽△AEC，即BADCAE，故BACDAE．

例3如图86，两圆eO1，eO2相交于A，B，eO1的弦BC交eO2于E，eO2的弦BD交eO1于F．证明：（Ⅰ）若DBACBA，则DFCE；（Ⅱ）若DFCE，则DBACBA．

（1979年全国高中联赛题）

ACAECFO1O2B(a)DO1DB图8-6O2FE(b)

证明（Ⅰ）对图86 （a），因A，B，E，D四点共圆，有ABDAED，且ABCADE，而么ABDABC，故AEDADE，于是ADAE． 又由相交两圆性质2的推论1，知△ADF∽△AEC．注意到ADAE，则△ADF≌△AEC，故DFEC． 对图86 （b），由A，E，B，D及A，C，B，F分别四点共圆，有AECADF，ACEAFD又由 CBAABD，知ACAF，AEAD，有△AEC≌△ADF，故DFCE．

实用文档 专业整理

3

（Ⅱ）由DFCE及（Ⅰ）中证明，可得△ADF≌△AEC，由此，可推证得DBACBA．

注此例的第（Ⅰ）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点M，N．过点

M引直线l1，l2，使它们分别与弦MN所构成的角相等．除点M外，l1与两圆的交点分别为A，B，

l2与两圆的交点分别为C，D．证明：ABCD．

例4如图87，已知eO1与eO2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与eO1，eO2交于M，N，AO1Q1AO2Q2．求证：PQ1PQ2． P为线段MN的中点，Q1，Q2分别是eO1，eO2上的点， （1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题）

MQ1O1BQ2图8-7PANO2

证明连MB，BN，因BAMN，则由相交两圆性质2的推论2，知O1在MB上，O2在BN上．连O1O2，O1P，则四边形O1O2NP为平行四边形，即O1PO2NO2A．于是，知O1O2AP为等腰梯形，从而 AO1PAO2P，PO2AO1O1Q1．

又AO1Q1AO2Q2，注意O1PO2NO2Q2，便有△O1Q1P≌△O2PQ2． 故PQ1PQ2．

注此例实际上是由IMO21第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为A，两边点各以匀速自A点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到A点．求证：平面上有一定点P，它不论在何时皆和两动点等距离．

例5如图88，平面上两圆eO1与eO2相交，其中一交点为A．两动点Q1，Q2各以匀速自A点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到A点．求证：过A的任一割线交两圆的两交点M，N分别与对应的移动中的Q1，Q2的连线互相平行．

（IMO21试题改编）

实用文档 专业整理 4

MANO2O1Q1B图8-8Q2

证明设两动点Q1，Q2出发后，经某一时段后分别到达eO1和eO2上的如图88所示位置．不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故AO1Q1AO2Q2．

设B为eO1与eO2的另一交点，连Q1B，Q2B．因圆周角等于所对的同弧上的圆心角的一半，故11ABQ1AO1Q1，ABQ2180ANQ2180AO2Q2，即

2211ABQ1ABQ2AO1Q1180AO2Q2180，从而Q1，B，Q2三点共线．

22于是由性质6，知MQ1∥NQ2． 【解题思维策略分析】

1．发掘题给条件中的两圆性质

例6如图89，eO1与eO2的半径均为r，eO1过YABCD的两顶点A，B，eO2过顶点B，C，M是eO1，eO2的另一个交点，求证：△AMD的外接圆半径也是r．

MNO1αBA图8-9O2βCD

证明作YABMN，连ND，MC，则四边形DCMN也是平行四边形．记BAM，BCM，由于eO1与eO2是等圆，由相交两圆的性质5（1），．

注意到AD∥BC，ND∥MC，AB∥NM，则知ADNBCMBAMAMN，由此，有AMDAND． A，D，M，N四点共圆，于是， 又注意到AN∥BM，DN∥CM，有ANDBMC，于是AMDBMC． 设△AMD的外接圆半径为R，则由正弦定理有

实用文档 专业整理 5

ADBC2r．故Rr．

sinAMDsinBMC这说明△AMD的外接圆半径也是r． 2R例7如图810，已知A为平面上两个半径不等的eO1与eO2的一个交点，两圆的两条外公切线分别为切点分别为P求证：P2Q2的中点．O1AO2M1AM2．M1和M2分别为PQPP2，Q1，Q2，1，1P2和Q1Q2，11，

P1MKEQ1

NAO1B

P2（IMO24试题）

O1MO22FQ2L图8-10

证明延长AO1交eO1于E，延长AO2交eO2于F，由性质2的推论2，知E，B，F三点共线． 由于两圆半径不等，设直线P2P1与Q2Q1相交于O，则O点在O2O1所在直线上．

连OB并延长交eO1于K，交eO2于L，连M1K，M1B，M2L．延长BA交P1P2于N，则由性质3知PNNP2，所以线段M1M2与弦AB互相垂直平分．于是， 1AM2M1M1M2LBM1M2BM1O180，

即A，M2，L三点共线．同理，A，M1，K三点共线．

故由性质2的推论1，知△AKL∽△AEF，即有O1AO2M1AM2．

例8如图811，圆1和圆2相交于点M和N．设l是圆1和圆2的两条公切线中距离M较近的公切线，l与1切于点A，与2切于点B．设过M且与l平行的直线与圆1还相交于点C，与圆

2还相交于点D．直线CA和DB交于点E，直线AN，BN分别交直线CD于点P和Q．求证：

EPEQ． （IMO41试题）

实用文档 专业整理 6

EATCPΓ1lBMQDGN图8-11Γ2

证明连NM并延长交AB于G，则由相交两圆的性质3，知G为AB的中点．

在△NAB中，由PQ∥AB又可得M为PQ的中点．

由AB∥CM及AB为1的切线，连AM，则推知ACAM，从而知MAGCATGAE （T在，故AB平分EAM． GA延长线上）

同理，连BM，知AB平分EBM．

此时，即知E，M关于直线AB对称，故EMAB． 于是，在△EPQ中，有EMPQ，从而EPEQ．

2．根据题设条件构作相交圆

例9如图812，自△ABC的外接圆eO上任一点P，引三边或其延长线的垂线PL，PM，PN，分别交BC于L，交AB于M，交CA于N，交eO分别于A，B，C．求证：AA∥BB∥CC． 证明注意到西姆松定理，知L，M，N三点共线．

PMOBLA'图8-12B'NAC'C

由P，B，L，M四点共圆，且此圆与△ABC的外接圆eO相交于P，B两点，BC，PC是过这两相交圆交点的两条割线，根据相交两圆性质5，知LM∥CC，同样，PA，BA也是过这两相交圆交点的两条割线，由性质6有LM∥AA．故AA∥CC． 又由P，M，A，N四点共圆，此时PN，AB是分别过ePMAN与ePABC的交点P，A的两条割线，由性质6知BB∥NL，故AA∥BB∥CC． 例10如图813，等腰△ABC中，ABAC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，且CEBD，DE交BC于F，经过B，D，F的圆交△ABC的外接圆于G．求证：GFDE．

实用文档 专业整理 7

AEBFCGD图8-13

证明由题设，知B，D，G，F及A，B，G，C分别四点共圆，连BG，DG，AG，有FDGFBGCBGGACGAE，从而知A，D，G，E四点共圆．此时，连EG，FG，则

所以G，于是，GECADGBDGCFG，C，BC是过两相交圆eBDGFE，DE，F四点共圆．

与eGCEF的交点F的两条割线． 由于CEBD， 由两相交圆性质5（2），知eBDGF与eGCEF是等圆．又由A，B，CFEBFD，

，知DGGE． G，C共圆，有DBGECG．再注意到性质5（2）

因B，D，G，F共圆，有ABCABFFGD．而ECFACBABC，故FGDECF，即有DFEF．此时，推知△DGF≌△EGF，有DFGEFG，故GFDE．

例11已知在凸四边形ABCD中，直线CD与以AB为直径的圆相切．求证：直线AB与以CD为直径的圆相切的充分必要条件是BC∥AD． （IMO 25试题） 证明必要性：如图814，将AB，CD的中点分别记为O，O，eO切CD于E，eO切AB于F．连OF，DF，AE，OE，则△ODF，△OEA均为等腰三角形．

CEO'DAFOB图8-14

由O，F，O，E四点共圆，有DOFFOEAOE，从而两等腰三角形的底角相等，即么EDFEAOEAF，由此有D，A，F，E四点共圆．

同理，E，F，B，C四点共圆．此两圆相交于E，F．而CD，AB是分别过这两交点的割线，故由性质6，知BC∥AD．

充分性：如图8-15，设O，O分别为AB，CD的中点，作OFAB于F．以AB为直径的圆切CD于E，连OE，则OECD于E．连OO，设BC与eO交于G，连AG，过C作CH∥GA交DA于H． 因BC∥AD，故OO∥AD．由AGBC，则OOAG，OOHC．

实用文档 专业整理 8

CEO'NDHGAF图8-15OB

而O，F，O，E四点共圆，有OFEOOEOCH [其中*是由OOE与OCH的两对应边互相垂直推得]．

设CH与OF的交点为M，则M，F，C，E四点共圆．又因MFB90BCM，知M，F，B，C四点共圆，此时，有M，F，B，C，E五点共圆．

同理，A，F，E，D四点共圆，且此圆与eFBCE的公共弦为EF．连AE，BE，则AEB90． 连DF，FC，则由相交两圆的性质2的推论1，知DFC90，故以CD为直径的圆过F点且AB切于点F．

3．仔细找出相交两圆的内接三角形

例12凸四边形ABCD的对角线交于O点，△OAD、△OBC的外接圆交于O、M两点，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于S、T两点．求证：M是线段TS的中点．

（2006年全国女子奥林匹克题）

证法1如图816，联结BT、BM、AM、CS，则由推论1，有△BTM∽△BAC，△CMS∽△CBD，从而

TMBMMSCM,． ACBCBDBCO1AOO2CNMO3O4D*BS图8-16

上述两式相除，得

TMBMAC． MSCMBDBMBD． CMCA又由△MDB∽△MAC，有

于是，将上式代入前一式，得

TM1，即证． MS实用文档 专业整理

9

证法2如图816，设△OAB、△OBC、△OCD，△ ODA的外心分别为O1、O2、O3、O4，则由性质1知O1O2BO，O4O3OD，从而O1O2∥O4O3．同理O1O4∥O2O3．即知O1O2O3O4为平行四边形，设O1O3与O2O4交于点N，则N为O1O2的中点，且由O2O4垂直平分OM知NONM．于是，由性质7知M为TS的中点．

例13两圆1、2交于点A、B，过点B的一条直线分别交圆1、2于点C、D，过点B的另一条»»、QB直线分别交圆1、2于点E、F，直线CF分别交圆1、2于点P、Q设M，N分别是弧PB的中点，若CDEF，求证：C、F、M、N四点共圆．

（2010年CMO试题）

证明如图817，由推论3，知AB平分CBF （注意△ACD≌△AEF）． 又CM平分FCB，FN平分CFB．

FΓ2AΓ1QNCPIEMB图8-17D

于是，AB，CM，FN三线共点于△CBF的内心I．

从而，由相交弦定理，有CIIMAIIBNIIF．

故由相交弦定理的逆定理，知C、F、M、N四点共圆．

»上两点D、E分别为弧¼例14如图818，在圆内接△ABC中，A为最大角，不含点A的弧BCABC、

¼记过A．B且与AC相切的圆为eO1，过点A、E且与AD相切的圆为eO2．eO1与eO2ACB的中点．

相交于A、P．证明：AP平分BAC．

Y （2012年CMO试题）

AO1GO2BDCPE图8-18F

证明联结BP，则由题设知ABPPAC．于是，只需证△PAB为等腰三角形，即PAPB即可．

实用文档 专业整理

10

联结AE、DE，延长AD至Y，延长AC交eO2于点F，联结EF． 由于点D为弧¼ABC的中点，有DACDCADEA．

又AY是eO2的切线，从而AEDAEFDACEAY180，所以，D、E、F三点共线． 延长BA交eO2于点G，联结PG、PF、AE，EG．由推论1，知 △ADF∽△EDA，△EBG∽△ADF．

AEEABEBG注意到AEBE （E为弧¼，有． ACB的中点）DFDAADDF从而AFBG．

又由推论1，有△PAF∽△PBG，于是△PAF≌△PBG． 故PAPB．即知AP平分BAC． 【模拟实战】

习题A

1．两圆eO1与eO2相交于点A和B，过点B作两直线与两圆的交点分别为P，Q；C，D（P，C在eO1上），且CDAB．求证：PC∶QD为定值．

2．两等圆相交于A，B，过A作直线与两圆分别交于C，D．若E为CD的中点，求证：BECD． 3．两圆相交于A，B，过A任作直线被两圆所截得的线段为PQ，又过A作AB的垂线，被两圆所截得的线段为CD．求证：PQ≤CD．

4．eO1与eO2相交于A，B两点，割线CE，FD都过B点（F，C在eO1上）．若ABCABD，求证：CEFD．

习题B

1．梯形ABCD中，AB∥CD，ABCD，K，M分别是腰AD，CB上的点， DAMCBK． 求证： DMACKB． 2．定长弦PQ （长度小于直径）的两端在半圆弧»AB上滑动．试证：不论PQ在什么位置，从P，Q分别向弦AB作垂线，其垂足P，Q与PQ中点N所成三角形都相似．

（1981年福州市竞赛题）

»上（不含M 3．三圆两两相交，并过公共点M，而另一交点分别为P，Q，R．过其中一圆的PQ

点）任取两点A与A（P，Q，M点除外），引直线AP，AQ，AP，AQ，与其他两圆依次相交于

B，C，B，C．求证：△ABC∽△ABC．

4．给定正△ABC，D是BC边上任意一点，△ABD的外心、内心分别为O1，I1，△ADC的外心、内心分别为O2，I2，直线O1I1与O2I2相交于P．求证：点D为△O1O2P的外心．

（2001年国家集训队选拔考试题改编） 5．点D是锐角△ABC的外心，过A，B，D作圆分别交AC，BC于M，N．证明：△ABD和

（第25届全俄奥林匹克题） △MNC的外接圆相等．

6．圆S1和S2交于点A1，A4，圆S2和S3交于点A2，A5，圆S3和S1交于点A3，A6．折线

实用文档 专业整理

11

M1M2M3M4M5M6M7使得每条直线MkMk1含有点Ak．而Mk和Mk1，在相交于点Ak的两圆周上，而

且点Mk1，异于点Ak1．证明：点M1与点M7重合．

（第17届全俄奥林匹克题）

实用文档 专业整理 12