山东省泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题及答案

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数i2(1i)对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量a(1,0)，b(2,2)，则a与b的夹角为（ ） A．

23 B． C． D． 43343．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件A“所取的3个球中至少有1个红球”，则事件A的对立事件是（ ）

A．1个白球2个红球 B．3个都是白球 C．2个白球1个红球 D．至少有一个红球

4．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2asinB3b，则A（ ） A．

52 B．或 C． D．或 6663335．一个侧棱长为23的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形OABC，其中OA2，则该直棱柱的体积为（ ）

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A．43 B．83 C．163 D．323 6．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ）

A．19% B．26% C．68% D．75% 7．泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60，在塔底C处测得A处的俯角为45．已知山岭高CD为256米，则塔高BC为（ ）

A．256(21)米 B．256(31)米 C．256(61)米 D．256(231)米

8．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）AB，AC，AD，且AB，AC，AD两两夹角都为60，若BD体积为（ ） A．

2，则该球的

3332333 B． C． D．

2423二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

29．已知复数zm1(m3)(m1)i(mR)，则下列说法正确的是（ ）

A．若m0，则z的共轭复数z13i B．若复数z2，则m3 2C．若复数z为纯虚数，则m1 D．若m0，则42zz0

试题 2

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10．2021年是中国党成立100周年，1921年中国党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为n的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论一定成立的是（ ） A．样本容量n100

B．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的 C．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人

D．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分 11．如图，已知l，A,C，B,D，且A,B,C,Dl，M，N分别是线

段AB，CD的中点，则下列结论一定成立的是（ ）

A．当直线AC与BD相交时，交点一定在直线l上 B．当直线AB与CD异面时，MN可能与l平行 C．当A，B，C，D四点共面且AC//l时，BD//l D．当M，N两点重合时，直线AC与l不可能相交

12．平面内任意给定一点O和两个不共线的向量e1，e2，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量m都可以唯一表示成e1，e2的线性组合：mxe1ye2(x,yR)，则把有序数组(x,y)称为m在仿射坐标系O;e1,e2下的坐标，记为m(x,y)．在仿射坐标系

O;e,e下，ax,y，bx,y为非零向量，且a，b的夹角为，则下列结论

121122一定成立的是（ ）

A．abx1x2,y1y2 B．若ab，则x1x2y1y20 C．若a//b，则x1y2x2y10 D．cosx1x2y1y2xy2121xy2222 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．数据：86，98，84，91，88，90，94的75%分位数为________． 14．写出一个虚数z，使z的实部为0，则z________．

2试题 3

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15．已知点A(2,1)，B(3,4)，C(1,1)，D(3,3)，与AB同向的单位向量为e，则向量CD在向量AB方向上的投影向量为________．

16．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，约公元前417年—公元前369年）用来构造无理数2，3，5，…的平面图形．根据图中数据解决下列问题．

（1）计算图中线段BD的长度； （2）求DAB的余弦值．

218．（12分）已知复数z2ai(0a3)，且z是关于x的方程x4x50的一个根．

（1）求z及

z； z（2）若复数z0满足1z0|z|，则在复平面内z0对应的点Z0的集合是什么图形？并求出该图形的面积．

19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．

试题 4

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（1）求证：EF//平面PAB；

（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90，求证：平面PEF平面

PBC．

20．（12分）已知向量a(3,1)，b(1,)(R)． （1）若a与b的夹角为锐角，求实数的取值范围；

（2）已知ABmab，ACamb，其中A，B，C是坐标平面内不同的三点，且A，

B，C三点共线，当m时，求m的值．

21．（12分）某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取了n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级： 调查评分 满意度等级 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 良好 [90,100] 满意 不满意 一般 并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在[70,80)的顾客为40人．

（1）求n的值及频率分布直方图中t的频率值；

（2）据以往数据统计，调查评分在[60,70)的顾客购买该公司新品的概率为在[70,80)的顾客购买该公司新品的概率为

1，调查评分41，若每个顾客是否购买该公司新品相互，3在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人．试问在已抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？

（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，

试题

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则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整．根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（注：每组数据以区间的中点值代替） 22．（12分）如图，点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE平面ABCD，BF平面ABCD，ABBF2DE，M是线段EF上一点，且MF2ME．

（1）证明：三棱锥MACF是正三棱锥；

（2）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点N，使得CN//平面ABF．若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．

试题

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答案

一、选择题：

题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 二、选择题：

题号 答案 9 ABD 10 ACD 11 ACD 12 AC 三、填空题：

13．94 14．1i或1i（答案不唯一，凡符合aai或aai（aR且a0）形式的均正确） 15．32e 16．

5151（3分）；（2分） 42四、解答题：

17．（10分）解：（1）在BCD，BCCD1，BCD222由余弦定理得BDBCCD2BCCDcosBCD

243 2分 421212211222， 4分

∴BD22． 5分

22，

（2）在ABD中，AB1，AD3，BDAB2AD2BD2由余弦定理得cosDAB 7分

2ABAD12(3)2(22)2236，

6213∴cosDAB236． 10分 6218．（12分）解：（1）∵z是关于x的方程x4x50的一个根， 22∴(2ai)4(2ai)50，即a10． 2分

解得a1．

∴z2i． 4分

试题 7

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z2i(2i)234i∴． 6分 z2i(2i)(2i)55（2）复数z0满足1z0|z|，即1z05 7分 ∴点Z0的集合是以原点为圆心，1和界． 10分

22该图形的面积S(5)14． 12分

5为半径的两个圆所夹的圆环，包括边

19．（12分）证明：（1）∵在ABC中，E，F分别为AC，BC的中点， ∴EF//AB． 2分

又EF平面PAB，AB平面PAB， ∴EF//平面PAB． 4分

（2）在PAC中，PAPC，E为AC的中点， ∴PEAC． 6分 ∵平面PAC平面ABC，平面PAC∴PE平面ABC， 8分 又BC平面ABC． ∴PEBC．

又EF//AB，ABC90， ∴EFBC． 10分 又EF平面ABCAC，

PEE，EF,PE平面PEF．

∴BC平面PEF． 又BC平面PBC

∴平面PEF平面PBC． 12分

20．（12分）解：（1）ab3，a与b的夹角为锐角，所以ab0，即30，解得3． 2分 当a//b时，31，即3． 3分 3此时，b1,333(3,1)a，a与b的夹角为0，也满足ab0，但不满333足题意．所以3． 4分 3试题 8

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综上，3且3． 5分 3（2）由题知，ABmab(3m,m)(1,)(3m1,m)，

ACamb(3,1)(m,m)(3m,m1) 7分

∵A，B，C三点共线， ∴AB//AC，

∴(3m1)(m1)(3m)(m)．

2当m时，3m10或m10． 9分

当3m10时，AB0，点A与点B重合，与题意矛盾；

2当m10时，m1或m1．

若m1，ABAC，点B与点C重合，与题意矛盾； 11分 若m1，ABAC，满足题意． 综上，m1． 12分

21．（12分）解：（1）由频率分布直方图得，评分在[70,80)的频率为0.020100.2， ∴n40200． 0.2又(t0.0060.0100.0200.0249t)101，解得t0.004． 2分 （2）由频率分布直方图可知，评分在[60,70)的频率为0.010100.1，评分在[70,80)的频率为0.020100.2，则评分在[60,70)的人数与评分在[70,80)的人数之比为

1:2． 4分

所以按照调查评分分层抽取3人中，评分在[60,70)有1人，评分在[70,80)有2人，

所以这3人中，没有一人购买该公司新品的概率为16分

所以至少有一人购买该公司新品的概率为1111111， 433312． 8分 33（3）由频率分布直方图可知，所选样本满意度评分的均值为

试题 9

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450.04550.06650.10750.20850.36950.2480． 10

分

因为顾客满意度评分的均值不低于80分，以该公司不需要对旗下产品进行调整． 12分

22．（12分）解：（1）证明：设ABBF2DE2a， 则AFFCAC22a ∴AFC是正三角形．

连接FO，EO，因为ODOB2a， ∴OE3a，OF6a，EF3a．

222在OEF中，由OEOFEF知，OEOF． 2分

又DE平面ABCD，所以DEAC． ∵ACBD，BD∴ACOE．

又AC,OF平面ACF，ACDED，

∴AC平面DOE，

OFO，

∴OE平面ACF． 4分

在线段OF上取点G，使得OG:GF1:2，则点G是AFC的重心，也就是AFC的中心．

连接MG，则MG//OE， ∴MG平面ACF，

∴三棱锥MACF是正三棱锥． 6分

（2）∵平面CDF与平面ABF有公共点F，

由基本事实3可知：平面CDF与平面ABF是相交平面． 8分 ∵CD//AB，CD平面ABF，AB平面ABF， ∴CD//平面ABF．

假设存在这样的点N，使得CN//平面ABF． ∵点N与点D不重合，

试题

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∴CD与CN是相交直线． 10分

又CD//平面ABF，CN//平面ABF，且CD平面CDF，CN平面CDF， ∴平面CDF//平面ABF．

这与平面CDF和平面ABF是相交平面矛盾．

∴不存在一点N，使得CN//平面ABF． 12分

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