初三寒假复习7 几何综合1

【点金成精】

南京市中考的大题对几何知识的考查一般分成3块，第1块是结合全等考查特殊平行四边形的知识，第2块是考查圆的知识，第3块是结合相似考查几何探索能力，有时第2块和第3块也可能结合起来考查．本讲主要强化第1块和三角形相似的相关知识．对特殊平行四边形的考查其核心是考查特殊与一般的思想，三角形相似则重在基本图形的提炼和掌握． 【抛砖引玉】

1．已知在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB. （1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是__________形；

（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是__________形；

（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_____形. A

A E D

E F

B C B C D

（第2题） （第1题）

2．（2012南京）如图，在□ABCD中，AD＝10 cm，CD＝6 cm． E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD．则

DE＝ cm． 【海纳百川】

问题1 如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．

A 求证：（1）△ABF≌△DCE； D

（2）四边形ABCD是矩形．

B C

E F

问题2 （2013 白下二模）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O

是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，点O所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．）

G B

F C D O

E A

问题3 （2013白下二模）

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，

那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．

画法初探

①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

A A

P

C P

C B B A B C

② ① ③

辩证思考

②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形； 特例分析

③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是 ；

BP④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．

AP

（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥

CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．

①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不画图工具的

前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？

你的解答是： ． ②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每．

个栏目提出一个问题并解决． ．．．．．．．．．．．．

D C b

A a ④

B

【潜龙】

（1）已知：如图，在正方形ABCD中，以DC为边一个等边三角形DCE，且使点E与点A在DC的异侧，

连接AE、BE，求∠AEB的度数．

B

C

A

D

E

（2）如果把（1）中的条件“正方形ABCD”改成“菱形ABCD”，其它条件不变，∠AEB的度数还是（1）

中求出的度数吗？请证明你的结论．

【博采众长】

1．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点

F，且AF＝DC，连接CF．

（1）D是BC的中点吗？为什么？

（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，△ABC再满足什么条件，四边形ADCF是正方形？（直接写出结论，不需要．

说理）

A E F B

D C

2．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

E （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形． A

D

O

B C

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, ∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

（1）①当α＝_____°时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_______；

②当α＝_____°时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_______； （2）当α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

4．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． （1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，

垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；

（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

B

①

C

B

②

P D E C

B

③

C

A

A

A