02198 线性代数

●已知齐次线性方程组2x1x2x30有非零解，则4。3x4xx0

231

1abcd3

●设2，则a=2,b=1，c=2，d=-1。cad1

●设A,B都是可逆矩阵，则下列等式不成立的是(A+B)

1

1

11

A1+B1。11

1

●设A、B、AB、AB均为n阶可逆矩阵，则(AB)=A(AB)B。222

●二次型f(x1,x2,x3)2x16x24x3是负定二次型。●设A,B均是n阶方阵，则必有ABAB●设A是n阶矩阵，则2A2A。n。●假设A是n阶方阵，其秩rn，那么在A的n个行向量中必有r个行向量线性无关。●线性方程组AmnXB无解的充要条件是R(A)R(A)。●非齐次线性方程组Axb中未知数有n个，有m个方程，其中系数矩阵A的秩为r，则rm时，方程组Axb有解。●向量空间V{(x,y,0)R,x,yR}的维数等于2。●设矩阵T

3

a11a21a12a221，a13a23

a11a21

2，则a11a21a12a13a22a23-1。●设3阶矩阵A的行列式|A|=2，则|2A|=16。●设矩阵A

124-2**

，是的伴随矩阵，则=AAA。34-31

●设1，2，3，4是4维列向量，矩阵A(1，2，3，4)，如果A2，则2AT=32。●设矩阵A是正交矩阵，则下列结论错误的是B.A一定是1。1

●3

15

16=6。1

31。392536

●设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵(A2)1必有一个特征值为1

●A2，B24，则AB=3

●2448。6122424-16-32

若A、B36，则AB81612

021

●二次型f(x1,x2,x3)4x1x22x1x36x2x3的矩阵是203。130

●若二次型f(x1,x2,x3)5x15x2cx32x1x26x1x36x2x3的矩阵的秩为2，则参数2

2

2

c的值为3。●设A为n阶方阵，且AA，则A的特征值只有0和1。●设A为正交阵，则A1。●设A是可逆矩阵，k是非零数，则(kA)1k1A1。T

●(AB)BTAT。2221●设A122，则A的秩等于3。234222

●二次型f(x1,x2,x3,x4)x12x2正惯性指数为3。2x2x3x3x4

●设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为A。●设=(3,1,0,2),=(3,1,1,4)，若向量满足2+=3，则=(3,5,-3,8)。●设A为m阶矩阵，则方程组Ax=0有非零解的充分必有条件是A的秩小于m。●设向量组线性相关1=(3,1,1),2=(4,1,0),3=(1,0,k)，则数k=-1。T

T

T

T

T

T

-10●已知A相似与=，则A-E=-2。02

-100T

●设矩阵A=212，则A的对应于特征值=0的特征向量为B.(0,2,1)。312100

●C.02-3是正定矩阵。0-35

122●行列式301的元素a21余子式M21=2。412●交换行列式的某两行或某两列，行列式的值不变10-023*

●设矩阵A。，则A=

30-10

2

●含有零向量的向量组一定线性相关；不含零向量的向量组不一定线性无关。●向量组的秩就是向量组的极大线性无关组中向量的个数。●若一个向量组线性无关，则由该向量组中任意部分向量构成的向量组也一定线性无关。●设向量是齐次线性方程组AX0的解，向量是非齐次线性方程组AXB的解，则非齐次线性方程组AXB的解是。020

22

●二次型f(x1,x2,x3)3x2x34x1x26x2x3的矩阵为A233

031

●一个向量组的最大无关组是不唯一的。●设A为43矩阵，则Ax0只有零解的充分必要条件是A的秩3。-21

A=●设矩阵1-2，则A的特征值为-1，-3。

●设向量组1，2，3的秩为2，则1，2，3中存在一个向量可由其余向量线性表出。●向量组a1(1,2,3,4)、a2(2,3,4,5)、a3(3,4,5,6)、a4(4,5,6,7)的秩等于。

●设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=0。●设A是3阶实对称矩阵，且A的特征值为121，35，A的对应于特征值121的特征向量为1(1，1，0)T，2(1，0，1)T，求矩阵A。解：设3(x1，x2，x3)为A的属于35的特征向量，则得线性方程组Tx1x20，



x1x30

解得其基础解系3(1，1，1)T．设P123，则P是可逆矩阵，且100

．P1AP010

050

于是1

11110030101A10131105001

32

31313T131222212312213

10041、设A(1，1，0)，B(1，2，3)，求(BA)

?解：根据矩阵乘法的定义，AB(3)3．根据矩阵乘法的结合律，得(BA)100(BA)(BA)(BA)B(AB)(AB)(AB)AB(AB)99A



100个

99个

110B399A399BA399220330●已知向量组1(1，4，0，2)，2(2，7，1，3)，3(0，1，1，a)，（1）不能由1，2，3线性表出？（2）可(3，10，b，4)．问a，b为何值时，由1，2，3唯一地线性表出？并写出表示式；（3）可由1，2，3线性表出，且表示方法有无穷多种？并写出表示式．解：设A1TTT，A1T2T3TT．对A施行初等行变换：231

4A

02312031

011207110

11b011b0



3a401a20

20

1

112．0a10



00b2

02

（1）当b2时，R(A)R(A)，从而不能由1，2，3线性表出．（2）当a1且b2时，R(A)R(A)3，从而可以由1，2，3唯一地线性表出，且122．（3）当a1且b2时，R(A)R(A)23，且122，3212从而(2k1)1(2k)2k3，即可以由1，2，3线性表出，且表示方法有无穷多种，其中k为任意常数．311230133A012T1●设A002，B01，计算AB和●02B212612357

解：显然，A2，B4，所以ABAB8，从而12T12T

ABAB

82

331631

AB(2)6438，88

333A033A2B=33A（2）B33(2)3AB1728．02B

●已知10

2140A，B11134

4

3

112T，求（AB）。

3102

11，34

2

41011

TTTT解：(AB)BA，BT3130，A

41212

024101

1T(AB)31304

1212

0

1

6201-7-7。

3

8144

●已知向量组a1(2,1,0,1)、a2(1,3,2,0)、a3(5,1,6,2)、a4(7,0,14,3)，求该向量组的一个最大无关组。解：向量组对应的向量矩阵为：215701110111131003330000

A(a1,a2,a3,a4)

026140261400412102310231023

01020000

，即R(A)3，最大线性无关组为：a、a、a。123

00131003

x14x2x33●线性方程组x13x2x36，问a、b为何值时线性方程组有无穷多解。3x2xaxb231解：1411413，系数矩阵：A131，增广矩阵：A1316

32a32ab

当R(A)R(A)r时，方程组有解；当rn时，方程组有无穷多解（n为未知数个数，n3）①、当系数行列式A0时，方程组有唯一解；当A0时，方程组有无穷多解或无解。141

A1317a70，即当a1时，方程组有无穷多解或无解。32a

②、当a1时：14131413

0729，当b9时，R(A)R(A)23，A1316

321b000b9

故：当a1、b9时，方程组有无穷多解。234

125TB=●设A=101，，求AB。

012-221

1211010202110101

●求向量组a1(1,1,1),a2(1,1,0),a3(1,0,0),a4(1,2,3)的秩及一个极大线性无关组，并用这个极大线性无关组来线性表示其余的向量。●设1、2是线性方程组AXb的两个解，则12是AX0的解。121242

●设矩阵A

210

333

组向量组。0

266，求矩阵A的秩及A的列向量组的一个极大线性无关2334

x12x2x30

●当为何值时，线性方程组2x13x2x30有非零解，并求出一般解。3xxx0

312●解方程组x13x21



2x13x32。xx323

解：x13x201

2x103x32，线性方程组矩阵变换如下：0xx3

23

1301130110310100420320210001201013011011301130012

线性方程组的解为：x14，x21，x32。a11若D1=a21

a31a12a22a32a13

a235，则a33a21a22a23

D2=a11a12a13-10。

2a312a322a33321231

的逆矩阵A13/235/2。A221

113431