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【知识网络】

综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力． 【典型例题】

[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是 （ ） A．（0，2 －1） B．（2 －1，2 ＋1）

C．（－2 －1，2 －1） D．（0，2 ＋1

（2）圆（x－1)2＋(y＋3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0

（3）“a=b”是“直线yx2与圆(xa)(yb)2相切”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为 ．

（5）过点（1，2 ）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= ． [例2]

设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为22 ，求圆的方程．

[例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

[例4] 已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l叫x轴，y轴于A，B两点，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2)． (1)求证：（a－2)(b－2)=2；

(2)求线段AB中点的轨迹方程； （3）求△AOB面积的最小值．

【课内练习】

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5

1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋ =0相切的直线的方程为 （ ）

211

A．y=－3x 或y= x B．y=3x 或y=－ x

3311

C．y=－3x 或y=－ x D．y=3x 或y= x

33

2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为

( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2 ＋(y－2)2=5 C． (x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2 ＋(y＋2)2=5 3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点轴对称 D．关于y=x轴对称 4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是 （ ）

A．（1，2） B．（－1，2） C．（－3，2） D．（2，－3） 5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是 ． 6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OAOB

＝ .

7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是 ． 8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．

9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0

（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；

（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求

使|PM|最小的P点的坐标．

10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．

(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

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11．5直线与圆的综合应用

A组

1．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2=2相切，则a的值为 （ ） A．±2 B．±2 C．±22 D．±4

2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为 A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11 3．从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A．π B． 2π C． 4π D． 6π

11 的值等于 ．ab5．设直线ax－y＋3=0与圆（x－1)2＋(y－2)2=4有两个不同的交点A，B，且弦AB的长为23 ，则a等于 ．

7

6．光线经过点A（1， ），经直线l：x＋y＋1=0反射，反射线经过点B（1，1）．

4

4．若三点A（2，2），B（a,0)，C（0，b)（a，b均不为0）共线，则

（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．

7．在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标． y B 

A  O x

C 

8．过圆O：x2＋y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l，M为l上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ垂心H的轨迹方程．

B组

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1．已知两定点A（－2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）

A．π B．4π C．8π D．9π

2．和x轴相切，且与圆x2＋y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A．x2=2y＋1 B．x2=－2y＋1 C．x2=2y－1 D．x2=2|y|＋1

3．设直线的方程是AxBy0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是 A．20

B．19

22 C．18

D．16

（ ）

4．设直线2x3y10和圆xy2x30相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 . 5．已知圆M：（x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2=1，直线l：y=kx，下面四个命题 A．对任意实数k和θ，直线l和圆M都相切； B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；

C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切； D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程． 7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为lBT：y＋1=0,lCK:x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．

8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（3a＋1)2外一点P（b3－b,c3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．

11．5直线与圆的综合应用

【典型例题】

例1 （1）A．提示：用点到直线的距离公式． （2）C．提示：依据圆心和半径判断．

（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．

（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． （5）2

．提示：过圆心（2，0）与点（1，2 ）的直线m的斜率是－2 ，要使劣弧所2

对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直． 例2、设圆的方程为（x－a)2＋(y－b)2=r2,

点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，

ab12

又（2－a)2＋(3－b)2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为22 ，，故r2－()=2,依

2据上述方程解得：

｛

b1=－3a1=6或r12=52

｛

b2=－7a2=14 r22=244

∴所求圆的方程为（x－6)2＋(y＋3)2=52，或（x－14)2＋(y＋7)2=224．

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例3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y),则（x2＋y2)－4λx＋(1＋4λ2）=0 x2y21(x2)2y2，整理得（λ2－1）5

当λ=1时，表示直线x= ；

4

132222132222当λ≠1时，方程化为(x2)y2，它表示圆心在(2半径为,0)，

|21|1(1)21的一个圆．

例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；

1

（2）设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a－2)(b－2)=2，得（x－1)(y－1)= (x＞1,y＞

21)；

(3)由（a－2)(b－2)=2得ab＋2=2(a＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋2 （ab ≤2－2 不合，舍去），当且仅当a=b时，ab取最小值6＋42 ，△AOB面积的最小值是3＋22 ． 【课内练习】

1．A．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D．提示：求圆心关于原点的对称点．

3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A．提示：圆心在直线l2上．

4

5．0＜k＜ ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．

36．1．提示：求弦所对圆心角． 27．2x＋y－10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．

8．2x＋11y＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对称点，用两点式写l2的方程；或直接设l2上的任意一点，求其关于l的对称点，对称点在直线l1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分． 9．（1）提示：∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x＋y－3=0, x＋y＋1=0, x－y＋5=0, x－y＋1=0．

(2)将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=2 ， ∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2， 又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．

|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即35． 1092233x1y1从而解方程组． 20，得满足条件的点P坐标为（－10 ，5 ）

2x14y130

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10．（1）由题意设P（x0,y0)在圆外,切线l：y－y0=k(x－x0)，∴（x02－10)k2－2x0·y0k＋y02－10=0

|kx0y0|k1210，

由k1＋k2＋k1k2=－1得点P的轨迹方程是x＋y±25 =0．

y02101,即：（2）∵P（x0,y0)在直线x＋y=m上，∴y0=m－x0,又PA⊥PB，∴k1k2=－1,2x010x02＋y02=20,将y0=m－x0代入化简得,2x02－2mx0＋m2－20=0

∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x02＋y02＞10恒成立，∴m＞2,或m＜－25 ∴m的取值范围是[－210 ，－25 ]∪（25 ，210 ]

11．5直线与圆的综合应用

A组

1．B．提示：用点到直线的距离公式或用△法．

2．A．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．

1

4． ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a＋2b=ab，两边同除以ab即可．

25．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．

21

6．（1）入射线所在直线的方程是：5x－4y＋2=0；（2）反射点（－ ，－ ）．提示：用入

33射角等于反射角原理．

7．点A既在BC边上的高所在的直线上，又在∠A的平分线所在直线上，由

x－2y＋1=0 得A（－1，0） y=0

∴kAB=1

又∠A的平分线所在直线方程为y=0 ∴kAC=－1

∴AC边所在的直线方程为 y=－（x＋1） ① 又kBC=－2,

∴BC边所在的直线方程为 y－2=－2（x－1） ② ①②联列得C的坐标为（5，－6）

8．设所求轨迹上的任意一点H（x,y)，圆上的切点Q（x0,y0)

∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH为菱形． ∴x0=x,y0=y－2．

∵点Q（x0,y0)在圆上，x02＋y02=4

∴H点的轨迹方程是：x2＋（y－2）2=4（x≠0)．

B组

1．B．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．

2．D．提示：设圆心（x,y)，则x2y2|y|1

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3．C．提示：考虑斜率不相等的情况．

4．3x2y30．提示：弦的垂直平分线过圆心．

5． B，D．提示：圆心到直线的距离d|kcossin|1k21k2|sin()|1k2=|sin(θ＋）

|≤1． 6．作MC⊥AB交PQ于M，则MC是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M为PQ的中点．设－3＋x3＋xM（x,y),则点C，O1，O2的坐标分别为（x,0),( ,0),( ,0)

22

连O1M，O2M，由平面几何知识知∠O1MO2=90°．

∴|O1M|2＋|O2M|2=|O1O2|2，代入坐标化简得：x2＋4y2=9(－3＜x＜3)

7．∵BT,CK分别是∠B和∠C的平分线，∴点A关于BT,CK的对称点A′，A″必在BC所在直线上，所以BC的方程是x＋2y－3=0．

111

8．线段OP的中点坐标为（ （b3－b), (c3－c)),以OP为直径的圆的方程是[x－ （b3－

222111

b)]2＋[y－ (c3－c)]2=[ （b3－b)]2＋[ (c3－c)]2……①

222

将x2＋y2=（3a＋1)2代入①得：（b3－b)x＋(c3－c)y=（3a＋1)2

这就是过两切点的切线方程．

因b3－b=b(b＋1)(b－1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除． 同理，c3－c也能被3整除．

于是（3a＋1)2要能被3整除，3a＋1要能被3整除，因a是整数，故这是不可能的． 从而原命题得证．

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